¿Qué significa la derivada de una función en un punto?

Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto y mide la rapidez con que cambia la función. Si $f'(a) > 0$, la función crece cerca de $a$; si $f'(a) < 0$, decrece. En los problemas con contexto, la derivada es una velocidad: personas por hora, euros por unidad.

¿Cómo se aplica la regla de la cadena?

Cuando una función está dentro de otra, deriva la de fuera dejando dentro lo mismo y multiplica por la derivada de lo de dentro. Por ejemplo, $\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

¿Cómo se halla la ecuación de la recta tangente?

Necesitas un punto y una pendiente. El punto es $(a, f(a))$ y la pendiente es $f'(a)$. Con los dos, escribe $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ y despeja $y$. Comprueba al final que la recta pasa por el punto de tangencia.

¿Una función continua es siempre derivable?

No. Toda función derivable en un punto es continua en él, pero no al revés: $f(x) = |x|$ es continua en $x = 0$ y no es derivable allí, porque su derivada por la izquierda vale $-1$ y por la derecha vale $1$. Por eso en las funciones a trozos se estudian las dos condiciones.

¿Las derivadas trigonométricas entran en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II?

Solo en Matemáticas II. Las orientaciones de CCSS piden funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas; el seno y el coseno no figuran en las orientaciones de CCSS. En Matemáticas II pueden aparecer en cualquier ejercicio de análisis.

¿Qué se pide de las derivadas en la PAU de Andalucía?

Casi siempre se usan dentro de un ejercicio más largo: hallar los coeficientes de una función a partir de unas condiciones, la recta tangente en un punto, la derivabilidad de una función a trozos o los extremos de una función. Repasa también el estudio de funciones y la optimización.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Derivadas: tabla de derivadas, regla de la cadena y recta tangente

Q: ¿Cómo se aplica la regla de la cadena?

Cuando una función está dentro de otra, deriva la de fuera dejando dentro lo mismo y multiplica por la derivada de lo de dentro. Por ejemplo, $\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Q: ¿Cómo se halla la ecuación de la recta tangente?

Necesitas un punto y una pendiente. El punto es $(a, f(a))$ y la pendiente es $f'(a)$. Con los dos, escribe $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ y despeja $y$. Comprueba al final que la recta pasa por el punto de tangencia.

Q: ¿Una función continua es siempre derivable?

No. Toda función derivable en un punto es continua en él, pero no al revés: $f(x) = |x|$ es continua en $x = 0$ y no es derivable allí, porque su derivada por la izquierda vale $-1$ y por la derecha vale $1$. Por eso en las funciones a trozos se estudian las dos condiciones.

Q: ¿Las derivadas trigonométricas entran en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II?

Solo en Matemáticas II. Las orientaciones de CCSS piden funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas; el seno y el coseno no figuran en las orientaciones de CCSS. En Matemáticas II pueden aparecer en cualquier ejercicio de análisis.

Q: ¿Qué se pide de las derivadas en la PAU de Andalucía?

Casi siempre se usan dentro de un ejercicio más largo: hallar los coeficientes de una función a partir de unas condiciones, la recta tangente en un punto, la derivabilidad de una función a trozos o los extremos de una función. Repasa también el estudio de funciones y la optimización.

La derivada mide cómo cambia una función: $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $a$ . En la PAU de Andalucía casi nunca se pide derivar por derivar: la derivada es la herramienta para hallar coeficientes, tangentes, máximos y mínimos. Aquí tienes la tabla de derivadas, las reglas, el método para la recta tangente y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 2 de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

B. Sentido de la medida

Distinción entre función derivada y el valor de la derivada de una función en un punto
Conocimiento y uso del teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena)
Derivadas laterales
Determinación de la ecuación de la recta tangente y de la ecuación de la recta normal a la gráfica de una función en un punto
Continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos
Conocimiento de la relación existente entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto

Salió en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Distinción entre función derivada y el valor de la derivada de una función en un punto. Determinación del dominio de derivabilidad de una función.
- Conocimiento y uso del teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena).
- Derivadas laterales.
- Determinación de la ecuación de la recta tangente y de la ecuación de la recta normal a la gráfica de una función en un punto.
- Continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos.
- Conocimiento de la relación existente entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
Ejercicios
- Ordinaria 2026: ejercicio 4.1 (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 2 (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Derivación de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas.
- Reglas de derivación de las operaciones elementales con funciones y regla de la cadena.
- Estudio de la derivabilidad de una función (incluyendo funciones definidas a trozos).
- Derivadas laterales.
- Aplicaciones de las derivadas: ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma; cálculo de los coeficientes de una función para que cumpla una serie de propiedades.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 2, apartado d) (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 3, apartado c) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

La derivada de $f$ en $a$ es el límite $f'(a) ={}$ $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ , si existe y es finito. Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto $(a, f(a))$ . La función derivada $f'$ da esa pendiente en cada punto.
Tabla de derivadas de las funciones que más salen: $(k)' = 0$ , $(x^n)' = nx^{n - 1}$ , $(\sqrt{x})' ={}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(a^x)' = a^x \ln a$ y $(\ln x)' ={}$ $\dfrac{1}{x}$ .
En Matemáticas II entran también las trigonométricas: $(\operatorname{sen} x)' ={}$ $\cos x$ , $(\cos x)' ={}$ $-\operatorname{sen} x$ y $(\operatorname{tg} x)' ={}$ $1 +{}$ $\operatorname{tg}^2 x$ .
Reglas: $(f + g)' = f' + g'$ , $(kf)' = kf'$ , $(f \cdot g)' ={}$ $f'g + fg'$ y $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ .
Regla de la cadena: $\big(f(g(x))\big)' ={}$ $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Se deriva la función de fuera, se deja dentro lo mismo y se multiplica por la derivada de dentro: $\left(e^{3x^2}\right)' = 6x\,e^{3x^2}$ y $\big(\ln(x^2 + 1)\big)' ={}$ $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .
Recta tangente en $x = a$ : $y - f(a) ={}$ $f'(a)(x - a)$ . Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
Si $f$ es derivable en $a$ , es continua en $a$ ; al revés no. En una función definida a trozos, $f$ es derivable en el punto de unión si es continua allí y sus derivadas laterales coinciden.

El método, paso a paso

en orden

1.Identifica la estructura
Antes de derivar, mira qué operación manda: una suma, un producto, un cociente o una función compuesta. Esa operación decide la regla que aplicas primero; las demás vienen dentro.
2.Deriva de fuera hacia dentro
Aplica la regla de la operación principal y, en cada función compuesta, la regla de la cadena: deriva la función de fuera y multiplica por la derivada de lo de dentro. No olvides ese último factor.
3.Simplifica antes de sustituir
Saca factor común (por ejemplo, $e^x$ en un producto con una exponencial) y reduce el numerador de un cociente. Una derivada simplificada es más fácil de anular y de sustituir.
4.Traduce cada condición en una ecuación
Un punto de la gráfica da $f(a) = b$ ; un punto crítico o un extremo da $f'(a) = 0$ ; una tangente paralela a una recta de pendiente $m$ da $f'(a) = m$ . Resuelve el sistema que resulta.
5.Comprueba el resultado
Sustituye los valores obtenidos en cada condición del enunciado. Si te piden una recta, comprueba que pasa por el punto de tangencia. Recuerda que en la PAU tienes que justificar cada paso.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Producto y cociente
Calcula la función derivada de $f(x) = x^2 e^x$ y la de $g(x) ={}$ $\dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , definida para $x \neq 1$ .
2.La regla de la cadena
Sea $h(x) = \ln(x^2 + 4)$ . Calcula $h'(x)$ y el valor de $h'(1)$ .
3.Recta tangente en un punto
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en el punto de abscisa $x = 2$ .
4.Derivabilidad de una función a trozos
Considera la función $f(x) = x^2 + ax$ si $x \leq 1$ , $f(x) = \dfrac{b}{x}$ si $x > 1$ . Halla $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en $x = 1$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Ejercicio 2

Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}

definida por

f(x) ={}

x^3 + ax^2 + bx + c

, verifica que:

f(1) = 0

x = 0

es un punto crítico de la función y la recta tangente a su gráfica en

x = -1

, es paralela a la recta de ecuación

y + 3x = 0

. Determina

a

b

c

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 2. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones piden derivar funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas con las mismas reglas y la regla de la cadena, estudiar la derivabilidad de funciones a trozos con las derivadas laterales y hallar la recta tangente o los coeficientes de una función que cumple unas condiciones.

Las funciones trigonométricas y la recta normal no figuran en las orientaciones de CCSS. Lo que más sale es la derivada dentro de un problema con contexto: la derivada como velocidad de cambio, como en este apartado del examen de 2025, o para hallar máximos y mínimos.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia

t

horas después de su lanzamiento viene modelado por la función:

N(t) ={}

500\ 000 \cdot (1 - e^{-0.2t}); \ \ t > 0

Ejercicio 2, apartado d)

d) (0.5 puntos) La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es

N'(t)

. ¿Qué conclusión se obtiene al comparar

N'(t)

en los instantes

t = 1

t = 10

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 2, apartado d). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Sea

f

la función definida por

f(x) = x\cos(5x)

. Calcula la función derivada de

f

f'(x) =

¿Cuesta escribir una fracción, una raíz o una potencia? Pulsa el lápiz junto a la casilla y escribe la respuesta a mano.

O escribe la respuesta en una hoja y hazle una foto: pulsa la cámara junto a la casilla.

Cómo escribir: una potencia como x^2 o x², un producto como 3x o 3*x, un cociente como (x + 1)/2, un exponente de más de un símbolo entre paréntesis, e^(-0,4t); ln(x), sen(x), √x o sqrt(x), pi para π.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera la función

f(x) ={}

(-4x + 1)\mathrm{e}^{3x}

. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

, escrita en la forma

y = mx + n

. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

m =

n =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

Sea

f

la función definida por

f(x) ={}

\dfrac{4x + 1}{x - 3}

. Calcule la función derivada de

f

f'(x) =

¿Cuesta escribir una fracción, una raíz o una potencia? Pulsa el lápiz junto a la casilla y escribe la respuesta a mano.

O escribe la respuesta en una hoja y hazle una foto: pulsa la cámara junto a la casilla.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Sea

f

la función definida por

f(x) ={}

\ln(x^2 + 5x + 8)

. Calcule

f'(-2)

. Si el resultado no es un número entero, escríbalo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Más ejercicios: haz gratis el modelo de examen entero

Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Olvidas multiplicar por la derivada de dentro. La derivada de $e^{5x}$ es $5e^{5x}$ , no $e^{5x}$ ; la de $\ln(2x + 3)$ es $\dfrac{2}{2x + 3}$ , no $\dfrac{1}{2x + 3}$ .
Derivas un producto multiplicando las derivadas: $(x^2 e^x)'$ no es $2x\,e^x$ . Aplica $(f \cdot g)' ={}$ $f'g + fg'$ .
En el cociente cambias el orden del numerador. Es $f'g - fg'$ , en ese orden; al revés, el resultado sale con el signo cambiado.
Confundes la pendiente con la ordenada del punto. En la recta tangente, $f(a)$ da el punto y $f'(a)$ da la pendiente: calcula las dos.
En una función a trozos compruebas solo que las derivadas laterales coinciden. Si la función no es continua en el punto, no es derivable aunque coincidan.

Para recordar

$(x^n)' = nx^{n - 1}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' ={}$ $\dfrac{1}{x}$ .
Producto: $f'g + fg'$ . Cociente: $\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ .
Regla de la cadena: $\big(f(g(x))\big)' ={}$ $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .
Recta tangente: $y - f(a) ={}$ $f'(a)(x - a)$ .
Derivable implica continua; derivable a trozos exige continuidad y derivadas laterales iguales.

Preguntas frecuentes

1.¿Qué significa la derivada de una función en un punto?+
Respuesta:Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto y mide la rapidez con que cambia la función. Si $f'(a) > 0$ , la función crece cerca de $a$ ; si $f'(a) < 0$ , decrece. En los problemas con contexto, la derivada es una velocidad: personas por hora, euros por unidad.
2.¿Cómo se aplica la regla de la cadena?+
Respuesta:Cuando una función está dentro de otra, deriva la de fuera dejando dentro lo mismo y multiplica por la derivada de lo de dentro. Por ejemplo, $\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ .
3.¿Cómo se halla la ecuación de la recta tangente?+
Respuesta:Necesitas un punto y una pendiente. El punto es $(a, f(a))$ y la pendiente es $f'(a)$ . Con los dos, escribe $y - f(a) ={}$ $f'(a)(x - a)$ y despeja $y$ . Comprueba al final que la recta pasa por el punto de tangencia.
4.¿Una función continua es siempre derivable?+
Respuesta:No. Toda función derivable en un punto es continua en él, pero no al revés: $f(x) = |x|$ es continua en $x = 0$ y no es derivable allí, porque su derivada por la izquierda vale $-1$ y por la derecha vale $1$ . Por eso en las funciones a trozos se estudian las dos condiciones.
5.¿Las derivadas trigonométricas entran en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II?+
Respuesta:Solo en Matemáticas II. Las orientaciones de CCSS piden funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas; el seno y el coseno no figuran en las orientaciones de CCSS. En Matemáticas II pueden aparecer en cualquier ejercicio de análisis.
6.¿Qué se pide de las derivadas en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:Casi siempre se usan dentro de un ejercicio más largo: hallar los coeficientes de una función a partir de unas condiciones, la recta tangente en un punto, la derivabilidad de una función a trozos o los extremos de una función. Repasa también el estudio de funciones y la optimización.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Derivadas: tabla de derivadas, regla de la cadena y recta tangente

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Identifica la estructura

2.Deriva de fuera hacia dentro

3.Simplifica antes de sustituir

4.Traduce cada condición en una ecuación

5.Comprueba el resultado

Ejemplos

1.Producto y cociente

2.La regla de la cadena

3.Recta tangente en un punto

4.Derivabilidad de una función a trozos

Un ejercicio de la PAU

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Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

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