¿Cuándo se puede aplicar la regla de L’Hôpital?

Cuando el límite de un cociente da $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ y las dos funciones son derivables cerca del punto. Entonces el límite del cociente es el límite del cociente de las derivadas, si este existe. Si tras derivar sigue la indeterminación, se repite la regla; si ya no hay indeterminación, se sustituye y se termina.

¿Qué es una indeterminación y cuáles hay?

Es una expresión como $\dfrac{0}{0}$ cuyo valor no se puede decidir solo por la forma que tiene. Las orientaciones de Matemáticas II nombran cuatro: infinito menos infinito, infinito dividido por infinito, cero por infinito y cero dividido por cero. Resolverla es transformar la expresión hasta que el límite se vea.

¿Cómo se clasifica una discontinuidad?

Se calculan los límites laterales en el punto. Si coinciden y son finitos, pero $f(a)$ no existe o es distinto, es evitable. Si son finitos y distintos, es de salto finito. Si alguno es infinito, es de salto infinito, y la recta vertical por ese punto es una asíntota vertical.

¿Cómo se halla un parámetro para que una función a trozos sea continua?

Se escribe, en cada punto de unión, el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función. Se igualan y se resuelve la ecuación que resulta. Si hay dos parámetros, hay dos puntos de unión y dos ecuaciones. Comprueba al final sustituyendo los valores hallados.

¿Qué diferencia hay entre el límite en un punto y el valor de la función?

El límite describe lo que hace la función cerca del punto, sin mirar el punto; el valor $f(a)$ es lo que la función toma en él. Pueden ser distintos, o puede que $f(a)$ ni exista. La continuidad es justo la condición de que ambos coincidan.

¿Qué se pide de límites y continuidad en la PAU de Andalucía?

En Matemáticas II, límites con L’Hôpital para hallar parámetros, límites en el infinito y continuidad de funciones a trozos. En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, la continuidad y la derivabilidad de una función a trozos, a menudo con un contexto económico. Los dos aparecen en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

¿Hay que saber algún teorema sobre funciones continuas?

Las orientaciones no nombran ningún teorema sobre funciones continuas: el teorema de Bolzano no figura en las orientaciones de Matemáticas II ni en las de CCSS. Lo que sí se pide en las dos es estudiar la continuidad con límites laterales y clasificar las discontinuidades; en Matemáticas II, además, conocer las propiedades algebraicas de las funciones continuas y usarlas para hallar extremos absolutos.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Límites y continuidad: indeterminaciones, regla de L’Hôpital y tipos de discontinuidad

Un límite dice a qué valor se acerca una función cuando la variable se acerca a un punto o crece sin freno; la continuidad pide que ese valor sea el que la función toma. En la PAU de Andalucía los límites se piden con un fin: hallar un parámetro, clasificar una discontinuidad o estudiar una función a trozos. Aquí tienes las indeterminaciones, la regla de L’Hôpital, el método paso a paso y ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 2 de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

B. Sentido de la medida

Tipos de indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones
Aplicación de los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales
Continuidad de una función en un punto
Tipos de discontinuidad
Derivadas
Continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos

Salió en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Tipos de indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones: infinito menos infinito, infinito dividido por infinito, cero por infinito, cero dividido por cero.
- Aplicación de los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales.
- Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo.
- Tipos de discontinuidad: evitable, no evitable de salto finito o infinito.
- Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites (regla de L’Hôpital).
- Continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 2 (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 6 (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites.
- Estudio de la derivabilidad de una función (incluyendo funciones definidas a trozos).
- Relación entre derivabilidad y continuidad de una función en un punto.
Ejercicios
- Extraordinaria 2025: ejercicio 3, apartado c) (obligatorio)
- Ordinaria 2026: ejercicio 2, apartado a) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

El límite de $f$ cuando $x$ tiende a $a$ es el valor $L$ al que se acerca $f(x)$ al acercarse $x$ a $a$ por los dos lados. Existe si coinciden los límites laterales, $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) ={}$ $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ . El valor de $f(a)$ no interviene en el límite.
Continuidad en $a$ : $f$ es continua en $a$ si existe $f(a)$ , existe el límite en $a$ y los dos coinciden, $\lim\limits_{x \to a} f(x) ={}$ $f(a)$ . Las polinómicas y las exponenciales son continuas en todo $\mathbb{R}$ ; una racional lo es donde no se anula el denominador; $\ln x$ lo es para $x > 0$ .
Límites en el infinito de un cociente de polinomios: si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite es $0$ ; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales; si el del numerador es mayor, el límite es $+\infty$ o $-\infty$ según el signo. Un cociente $\dfrac{k}{0}$ con $k \neq 0$ da infinito, y el signo lo deciden los límites laterales.
Las indeterminaciones que nombran las orientaciones de Matemáticas II son $\infty - \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ y $\dfrac{0}{0}$ . Que salga una no quiere decir que el límite no exista: hay que resolverla factorizando, multiplicando por el conjugado, dividiendo entre la mayor potencia o aplicando la regla de L’Hôpital.
Regla de L’Hôpital: si $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ da $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ , entonces $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} ={}$ $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ , siempre que este último exista. Se deriva el numerador y el denominador por separado, no el cociente, y se repite mientras siga la indeterminación.
Tipos de discontinuidad en $a$ : evitable si el límite existe y es finito pero $f(a)$ no existe o es distinto; de salto finito si los límites laterales son finitos y distintos; de salto infinito si algún límite lateral es infinito (la recta $x = a$ es una asíntota vertical).
En una función a trozos, cada trozo es continuo en su intervalo si es una función elemental; solo hay que estudiar los puntos de unión, igualando el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función.

El método, paso a paso

en orden

1.Sustituye primero
Calcula el límite sustituyendo el valor al que tiende $x$ . Si sale un número, ya está. Si sale $\dfrac{k}{0}$ con $k \neq 0$ , el límite es infinito y falta el signo; si sale una indeterminación, sigue con el paso siguiente.
2.Identifica la indeterminación
Escribe de qué tipo es: $\dfrac{0}{0}$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ o $\infty - \infty$ . Del tipo depende la técnica: en un cociente de polinomios que se anula, se factoriza; en el infinito, se divide entre la mayor potencia.
3.Resuélvela con la técnica adecuada
Factoriza y simplifica el factor que se anula, multiplica por el conjugado si hay raíces o aplica la regla de L’Hôpital en $\dfrac{0}{0}$ y $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Comprueba tras cada derivación si la indeterminación se repite.
4.Usa los límites laterales cuando la función cambia
En un punto donde la función cambia de fórmula, o donde se anula un denominador, calcula el límite por la izquierda y por la derecha por separado. El límite existe solo si los dos coinciden.
5.Para la continuidad, iguala tres cantidades
En el punto de unión escribe el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función. Si hay un parámetro, iguala las tres y despéjalo. Si no se pide el parámetro, mira cuál de ellas falla y clasifica la discontinuidad.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Una indeterminación 0/0 en un punto
Calcula $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$ .
2.Límites en el infinito de cocientes
Calcula $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x^2 - 3x}{2x^2 + 7}$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - x}{x^2 + 1}$ y $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + 1}{x^3 - 2}$ .
3.La regla de L’Hôpital, dos veces
Calcula $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}$ .
4.Continuidad con un parámetro y tipo de discontinuidad
Sea $f(x) = x^2 - k$ si $x < 2$ y $f(x) = 3x + 2$ si $x \geq 2$ . Halla $k$ para que $f$ sea continua en $x = 2$ y di qué tipo de discontinuidad tiene $f$ en ese punto cuando $k = 0$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Ejercicio 2

Sabiendo que

\displaystyle\mathop{\text{lím}}\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^x - x\cos(x) - 1}

es finito, calcula

a

y el valor del límite.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 2. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Ejercicio 6

Calcula

a

b

sabiendo que

\displaystyle\mathop{\text{lím}}\limits_{x \to 0} \frac{x\operatorname{sen}(x) + a(e^x - 1) + \operatorname{sen}(x)}{bx^2 + x - \operatorname{sen}(x)} = 1.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 6. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones sitúan los límites dentro de las derivadas («interpretación y aplicación al cálculo de límites») y de la representación de funciones. Lo que se pide es calcular límites de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas, estudiar la continuidad de una función a trozos y relacionarla con la derivabilidad, como en el apartado de 2025 que ves aquí.

Las orientaciones de CCSS fijan la nomenclatura de las discontinuidades: evitable, de salto finito o de salto infinito. Las funciones trigonométricas no figuran en las orientaciones de CCSS: los límites con seno y coseno de los ejemplos de Matemáticas II quedan fuera.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

Trinidad, una persona ahorradora, deposita

5000

€ en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren

t

años viene dado por la siguiente función:

f(t) = \left\{\begin{array}{cc} 5000 \cdot (1 + 0.05t) & 0 \leq t \leq 1 \\ 5000 \cdot 1.05^t & t > 1 \end{array}\right.

Ejercicio 3, apartado c)

c) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función

f

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 3, apartado c). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera la función

f(x) ={}

\dfrac{3x^2 + 9x - 30}{x^2 - 3x + 2}

. Calcula

\lim\limits_{x \to 2} f(x)

. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Calcula

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + 4x) - 4x}{x^2}

. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

Se considera la función

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} a\mathrm{e}^{x + 1} & \text{si } x < -1 \\ -x^2 - 4x + 1 & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ bx - 9 & \text{si } x > 1 \end{array}\right.

, donde

a

b

son números reales. Halle los valores de

a

b

para que

f

sea continua en todo

\mathbb{R}

a =

b =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Se considera la función

f(x) ={}

\dfrac{x^2 - 16}{2x^2 - 18x + 40}

. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta

f

x = 4

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Aplicas la regla de L’Hôpital sin comprobar que hay una indeterminación $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Si el límite del cociente ya es un número o es infinito, derivar da un resultado falso.
Derivas el cociente con la regla del cociente en lugar de derivar numerador y denominador por separado. En L’Hôpital se calcula $\dfrac{f'}{g'}$ , no $\left(\dfrac{f}{g}\right)'$ .
Dices que un límite «no existe» cuando sale $\dfrac{0}{0}$ . Es una indeterminación: el límite puede existir y vale lo que resulte de resolverla.
Al estudiar la continuidad en un punto de unión, comparas solo los dos límites laterales y olvidas $f(a)$ . Si el valor de la función es otro, hay una discontinuidad evitable aunque los límites laterales coincidan.
Con un denominador que se anula, concluyes el signo del infinito sin mirar los límites laterales. $\dfrac{1}{x}$ tiende a $+\infty$ por la derecha de $0$ y a $-\infty$ por la izquierda.

Para recordar

Límite existe ⇔ los dos límites laterales existen y coinciden.
Continua en $a$ : $\lim\limits_{x \to a} f(x) ={}$ $f(a)$ .
Indeterminaciones: $\infty - \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ , $\dfrac{0}{0}$ .
L’Hôpital: $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f}{g} ={}$ $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'}{g'}$ en $\dfrac{0}{0}$ y $\dfrac{\infty}{\infty}$ .
Discontinuidad: evitable, de salto finito o de salto infinito.

Preguntas frecuentes

1.¿Cuándo se puede aplicar la regla de L’Hôpital?+
Respuesta:Cuando el límite de un cociente da $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ y las dos funciones son derivables cerca del punto. Entonces el límite del cociente es el límite del cociente de las derivadas, si este existe. Si tras derivar sigue la indeterminación, se repite la regla; si ya no hay indeterminación, se sustituye y se termina.
2.¿Qué es una indeterminación y cuáles hay?+
Respuesta:Es una expresión como $\dfrac{0}{0}$ cuyo valor no se puede decidir solo por la forma que tiene. Las orientaciones de Matemáticas II nombran cuatro: infinito menos infinito, infinito dividido por infinito, cero por infinito y cero dividido por cero. Resolverla es transformar la expresión hasta que el límite se vea.
3.¿Cómo se clasifica una discontinuidad?+
Respuesta:Se calculan los límites laterales en el punto. Si coinciden y son finitos, pero $f(a)$ no existe o es distinto, es evitable. Si son finitos y distintos, es de salto finito. Si alguno es infinito, es de salto infinito, y la recta vertical por ese punto es una asíntota vertical.
4.¿Cómo se halla un parámetro para que una función a trozos sea continua?+
Respuesta:Se escribe, en cada punto de unión, el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función. Se igualan y se resuelve la ecuación que resulta. Si hay dos parámetros, hay dos puntos de unión y dos ecuaciones. Comprueba al final sustituyendo los valores hallados.
5.¿Qué diferencia hay entre el límite en un punto y el valor de la función?+
Respuesta:El límite describe lo que hace la función cerca del punto, sin mirar el punto; el valor $f(a)$ es lo que la función toma en él. Pueden ser distintos, o puede que $f(a)$ ni exista. La continuidad es justo la condición de que ambos coincidan.
6.¿Qué se pide de límites y continuidad en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En Matemáticas II, límites con L’Hôpital para hallar parámetros, límites en el infinito y continuidad de funciones a trozos. En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, la continuidad y la derivabilidad de una función a trozos, a menudo con un contexto económico. Los dos aparecen en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.
7.¿Hay que saber algún teorema sobre funciones continuas?+
Respuesta:Las orientaciones no nombran ningún teorema sobre funciones continuas: el teorema de Bolzano no figura en las orientaciones de Matemáticas II ni en las de CCSS. Lo que sí se pide en las dos es estudiar la continuidad con límites laterales y clasificar las discontinuidades; en Matemáticas II, además, conocer las propiedades algebraicas de las funciones continuas y usarlas para hallar extremos absolutos.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Límites y continuidad: indeterminaciones, regla de L’Hôpital y tipos de discontinuidad

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Sustituye primero

2.Identifica la indeterminación

3.Resuélvela con la técnica adecuada

4.Usa los límites laterales cuando la función cambia

5.Para la continuidad, iguala tres cantidades

Ejemplos

1.Una indeterminación 0/0 en un punto

2.Límites en el infinito de cocientes

3.La regla de L’Hôpital, dos veces

4.Continuidad con un parámetro y tipo de discontinuidad

Un ejercicio de la PAU

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Para recordar

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