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PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Problemas de optimización: plantear la función y hallar el máximo o el mínimo

Un problema de optimización pide el valor que hace máxima o mínima una cantidad: el área de un recinto, el coste de un envase, el beneficio de una empresa. Lo difícil casi nunca es derivar, sino plantear la función de una sola variable. En la PAU de Andalucía el problema llega con una geometría o con un contexto económico; aquí tienes el método, cuatro ejemplos y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 2 de los 4 exámenes

Según tu examen

contado en los exámenes
Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

  • Matemáticas II

    en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026

    • Resolución de problemas de optimización relacionados con la geometría o con las ciencias experimentales y sociales, e interpretación del resultado obtenido dentro del contexto.
    • Uso de la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos relativos y absolutos.

    Ejercicios

    • Ordinaria 2026: ejercicio 1 (obligatorio)

    Todos los temas de este examenEl modelo gratuito de este examen

  • Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

    en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026

    • La derivada como razón de cambio en resolución de problemas de optimización en contextos diversos.

    Ejercicios

    • Ordinaria 2025: ejercicio 3, apartado b) (optativo)
    • Extraordinaria 2026: ejercicio 2, opción A, apartado b) (optativo); ejercicio 2, opción B, apartados a) y b) (optativo)

    Todos los temas de este examenEl modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber
  • En un problema de optimización hay una función objetivo, la cantidad que quieres hacer máxima o mínima (área, volumen, coste, beneficio, distancia), y una condición del enunciado que relaciona las variables (un perímetro dado, un volumen fijo, un precio).
  • La condición permite despejar una variable y dejar la función objetivo en función de una sola. El dominio lo marca el enunciado: una longitud, una cantidad o un precio no pueden ser negativos.
  • Los candidatos a extremo son los puntos críticos, donde f′(x)=0f'(x) = 0, y, si el dominio es un intervalo cerrado, también sus extremos. Se anula la derivada y se comparan los valores.
  • Para decidir si un punto crítico aa es máximo o mínimo: si f′′(a)<0f''(a) < 0 es un máximo relativo; si f′′(a)>0f''(a) > 0, un mínimo relativo. También sirve el signo de f′f': de positivo a negativo es un máximo; de negativo a positivo, un mínimo.
  • Si el único punto crítico del dominio es un máximo relativo y la función crece antes y decrece después, es también el máximo absoluto. En un intervalo cerrado, el absoluto sale de comparar ff en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.
  • La respuesta se da en el contexto: contesta lo que pregunta el enunciado (las dimensiones, el precio, el valor del máximo), con sus unidades.
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El método, paso a paso

en orden

  1. 1.Lee, dibuja y nombra las variables

    Haz un dibujo si el problema es geométrico y llama xx, yy a las magnitudes que pueden cambiar. Escribe qué te piden: casi siempre son los valores de las variables, y a veces también el valor del máximo o del mínimo.

  2. 2.Escribe la función objetivo

    Expresa la cantidad que quieres optimizar con una fórmula: S=xyS = xy para un área, V=x2hV = x^2h para un volumen, B=I−CB = I - C para un beneficio. De momento puede tener dos variables.

  3. 3.Usa la condición para dejar una sola variable

    La condición del enunciado (un perímetro, un volumen, un material disponible) es una ecuación: despeja una variable y sustitúyela. Anota el dominio, por ejemplo 0<x<200 < x < 20.

  4. 4.Deriva e iguala a cero

    Calcula f′(x)f'(x), resuelve f′(x)=0f'(x) = 0 y quédate solo con las soluciones que están en el dominio. Si el dominio es un intervalo cerrado, añade a la lista sus dos extremos.

  5. 5.Decide si es máximo o mínimo

    Calcula f′′f'' en el punto crítico o estudia el signo de f′f' a cada lado. No supongas que el punto que has hallado es el que pide el enunciado: justifícalo.

  6. 6.Responde y comprueba

    Calcula las demás variables y el valor óptimo, con unidades. Comprueba que se cumple la condición del enunciado y que el resultado tiene sentido: una longitud positiva, un precio razonable.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

  1. 1.Dos números con suma fija

    Dos números positivos suman 3030. Halla los que hacen máximo el producto del primero por el cuadrado del segundo.

  2. 2.El depósito de chapa mínima

    Un depósito abierto por arriba, de base cuadrada, debe tener un volumen de 32 m332\ \text{m}^3. Halla sus dimensiones para que la chapa necesaria (la base y las cuatro paredes) sea mínima.

  3. 3.El punto de una curva más cercano a otro

    Halla el punto de la gráfica de y=x2y = x^2 que está más cerca del punto A(0,3)A(0, 3).

  4. 4.Extremos absolutos en un intervalo cerrado

    Halla el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f(x)=f(x) ={}x3−3x2−9x+1 x^3 - 3x^2 - 9x + 1 en el intervalo [−2,6][-2, 6].

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía
Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.
Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz

Ejercicio 1

Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 88 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 1. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia
En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones piden usar la derivada como razón de cambio para resolver problemas de optimización en contextos diversos. En los exámenes de 2025 y 2026 llegan con un contexto (la glucosa en sangre de un paciente, los ingresos o el beneficio de una empresa): el enunciado da la función, o las dos que la forman, y se pide derivarla, hallar el máximo o el mínimo y decir qué significa en ese contexto.
Plantear la función a partir de una figura, como la ventana de Matemáticas II de arriba, es más propio de Matemáticas II; en CCSS el trabajo está en entender el contexto y en comprobar que el valor hallado está en el dominio y es el óptimo. El método es el mismo, y el apartado que ves aquí, del examen extraordinario de 2026, es un buen modelo.
Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

B) El coste en euros de producción de xx toneladas de un determinado producto en una factoría es C(x)=C(x) ={}0.2x2+40x+5000 0.2x^2 + 40x + 5000 El ingreso por venta es de 150150 euros por tonelada. Se vende todo lo que se produce.

Ejercicio 2, opción B, apartado b)

b) (1 punto) Halle la cantidad de toneladas de producto que debe venderse para maximizar el beneficio. Obtenga dicho beneficio.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 2, opción B, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento
Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.
Matemáticas II

Pregunta 1.

Un vivero de plantas quiere vallar una zona rectangular junto a un canal de riego, que hace de uno de sus lados y no necesita valla, y dividirla en tres partes iguales con dos vallas perpendiculares al canal. Para ello dispone de 352352 metros de valla. Halla las dimensiones del recinto de área máxima.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Una pastelería fabrica cajas sin tapa a partir de láminas rectangulares de cartulina de 5454 cm por 3737 cm: recorta un cuadrado igual en cada esquina y dobla los bordes hacia arriba. Halla, en centímetros, el lado del cuadrado que hay que recortar para que el volumen de la caja sea máximo. Da el resultado redondeado a las centésimas.
cm

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

Una heladería estima que, si vende cada tarrina de helado a pp euros, venderá d(p)=d(p) ={}364−5p−2p2 364 - 5p - 2p^2 tarrinas al día. Determine el precio que hace máximo el ingreso diario y el valor de ese ingreso máximo.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

El coste diario, en euros, de fabricar xx cajas de baldosas en una fábrica es C(x)=C(x) ={}4x2+9x+484 4x^2 + 9x + 484. Determine el valor de xx que hace mínimo el coste medio C‾(x)=\overline{C}(x) ={}C(x)x \dfrac{C(x)}{x} y el valor de ese coste medio mínimo.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos
  • Derivas la función con dos variables. Antes de derivar, usa la condición del enunciado para dejar una sola variable; si no, la derivada no tiene sentido.
  • Das como respuesta el punto crítico sin comprobar que es un máximo o un mínimo. Con f′′f'' o con el signo de f′f' justifica cuál de los dos es; si tienes dos candidatos, compara los valores.
  • Olvidas el dominio. Si la solución de f′(x)=0f'(x) = 0 sale negativa o mayor de lo que permite el enunciado, no vale; y en un intervalo cerrado hay que mirar también los extremos.
  • Respondes con el valor de xx cuando el enunciado pide el valor del óptimo, o al revés. Relee la pregunta: a veces piden las dimensiones y a veces el beneficio máximo.
  • Maximizas el ingreso cuando te piden el beneficio. El beneficio es ingreso menos coste, B=I−CB = I - C, y el máximo de uno no coincide con el máximo del otro.

Para recordar

  • Función objetivo, condición, una sola variable y dominio.
  • Puntos críticos: f′(x)=0f'(x) = 0; en un intervalo cerrado, añade sus extremos.
  • Si f′′(a)<0f''(a) < 0 hay un máximo; si f′′(a)>0f''(a) > 0, un mínimo.
  • Beneficio: B(x)=I(x)−C(x)B(x) = I(x) - C(x). Coste medio: C‾(x)=\overline{C}(x) ={}C(x)x \dfrac{C(x)}{x}.
  • Responde con las unidades y comprueba la condición del enunciado.

Preguntas frecuentes

  1. 1.¿Cómo se resuelve un problema de optimización paso a paso?+
    Respuesta:Escribe la función que quieres optimizar, usa la condición del enunciado para dejarla en una sola variable y anota el dominio. Después deriva, iguala a cero y decide con f′′f'' o con el signo de f′f' si el punto es máximo o mínimo. Termina contestando lo que pregunta el enunciado, con sus unidades.
  2. 2.¿Cómo sé si el punto que he hallado es un máximo o un mínimo?+
    Respuesta:Calcula la derivada segunda en ese punto: si f′′(a)<0f''(a) < 0 es un máximo y si f′′(a)>0f''(a) > 0 es un mínimo. También puedes estudiar el signo de f′f' a los dos lados: si pasa de positivo a negativo es un máximo, y si pasa de negativo a positivo, un mínimo.
  3. 3.¿Qué diferencia hay entre un extremo relativo y uno absoluto?+
    Respuesta:Un extremo relativo es el valor mayor o menor en los puntos cercanos; el absoluto lo es en todo el dominio. En un intervalo cerrado, el absoluto está entre los puntos críticos y los extremos del intervalo: calcula ff en todos ellos y compara.
  4. 4.¿Hay que comprobar que el resultado es un máximo aunque solo salga un punto crítico?+
    Respuesta:Sí. La PAU puntúa la justificación. Con un único punto crítico basta con f′′f'' o con el signo de f′f', pero hay que escribirlo: sin eso, el apartado no está completo.
  5. 5.¿Cuántas veces ha caído la optimización en la PAU de Andalucía?+
    Respuesta:Entre los 4 exámenes de cada materia de 2025 y 2026: en Matemáticas II, en uno (el problema de la ventana, en la convocatoria ordinaria de 2026); en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, en dos, como parte de un ejercicio de funciones con contexto: la glucosa en sangre de un paciente (ordinaria de 2025) y los ingresos o el beneficio de una empresa (extraordinaria de 2026).
  6. 6.¿En qué se parece la optimización a estudiar una función?+
    Respuesta:Es la misma herramienta: derivar, resolver f′(x)=0f'(x) = 0 y estudiar el signo de la derivada. La diferencia es que en un estudio de funciones la función te la dan, y aquí tienes que plantearla con la condición del enunciado antes de derivar.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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