Was bedeutet $N(\mu; \sigma^2)$?

Die Schreibweise sagt, dass die Zufallsvariable normalverteilt ist mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma^2$, also der Standardabweichung $\sigma$. Die Formelsammlung des BMB verwendet sie so. Gibst du die Parameter in die Technologie ein, achte darauf, ob sie $\sigma$ oder $\sigma^2$ verlangt.

Warum ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts null?

Bei einer stetigen Zufallsvariablen, wie sie in Teil A der BHS und ab dem Haupttermin 2027 in der AHS vorkommt, ist die Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichte. Über einem einzelnen Punkt hat die Fläche keine Breite. Deshalb ändern „<“ und „≤“ das Ergebnis nicht.

Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten mit der Technologie?

Du gibst $\mu$, $\sigma$ und die Grenze in die Verteilungsfunktion deiner Technologie ein und erhältst $P(X \leq x)$. Für ein Intervall rechnest du $F(b) - F(a)$, für „größer als“ $1 - F(x)$. In Teil A schreibst du in deine Bearbeitung, was du eingegeben hast, nach dem Muster „Normalverteilung mit $\mu = 250$, $\sigma = 3$, $P(X \leq 245)$“.

Wie finde ich eine Intervallgrenze zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit?

Du suchst das Quantil: Zu $P(X \leq x) = p$ liefert die Technologie die Grenze $x$ direkt, oder du nimmst $z$ aus der Standardnormalverteilung und rechnest $x = \mu + z \cdot \sigma$. Bei einem symmetrischen Intervall verteilst du die restliche Wahrscheinlichkeit zur Hälfte auf beide Seiten.

Was sagen die σ-Umgebungen aus?

Sie geben an, wie viel Wahrscheinlichkeit in den Intervallen $\mu \pm \sigma$, $\mu \pm 2\sigma$ und $\mu \pm 3\sigma$ liegt: rund 68,3 %, 95,4 % und 99,7 %. Du findest sie in der Formelsammlung, in der AHS gehören die σ-Umgebungen ab dem Haupttermin 2027 zu den Grundkompetenzen (WS 3.5).

Wie bestimme ich $\mu$ oder $\sigma$, wenn eine Bedingung gegeben ist?

Übersetze die Bedingung in $P(X \leq x) = p$. Ist $\sigma$ bekannt, löst du $\frac{x - \mu}{\sigma} = z$ nach $\mu$ auf, ist $\mu$ bekannt, nach $\sigma$. Dabei ist $z$ das Quantil der Standardnormalverteilung zu $p$. Eine Skizze hilft zu entscheiden, ob $z$ positiv oder negativ ist.

Steht die Normalverteilung in der Formelsammlung?

Ja, für Teil A der BHS und die AHS ab dem Haupttermin 2027 enthält Kapitel 19 „Wahrscheinlichkeit“ auf Seite 17 der Formelsammlung des BMB die Verteilungsfunktion, die σ-Umgebungen und die Standardnormalverteilung mit den Quantilen für 90, 95 und 99 %. Die Formelsammlung darfst du in der Klausur verwenden. Die Wahrscheinlichkeiten selbst berechnest du mit Technologie.

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Normalverteilung: Wahrscheinlichkeit, σ-Umgebung und Quantile

Q: Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten mit der Technologie?

Du gibst $\mu$, $\sigma$ und die Grenze in die Verteilungsfunktion deiner Technologie ein und erhältst $P(X \leq x)$. Für ein Intervall rechnest du $F(b) - F(a)$, für „größer als“ $1 - F(x)$. In Teil A schreibst du in deine Bearbeitung, was du eingegeben hast, nach dem Muster „Normalverteilung mit $\mu = 250$, $\sigma = 3$, $P(X \leq 245)$“.

Q: Wie finde ich eine Intervallgrenze zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit?

Du suchst das Quantil: Zu $P(X \leq x) = p$ liefert die Technologie die Grenze $x$ direkt, oder du nimmst $z$ aus der Standardnormalverteilung und rechnest $x = \mu + z \cdot \sigma$. Bei einem symmetrischen Intervall verteilst du die restliche Wahrscheinlichkeit zur Hälfte auf beide Seiten.

Q: Was sagen die σ-Umgebungen aus?

Sie geben an, wie viel Wahrscheinlichkeit in den Intervallen $\mu \pm \sigma$, $\mu \pm 2\sigma$ und $\mu \pm 3\sigma$ liegt: rund 68,3 %, 95,4 % und 99,7 %. Du findest sie in der Formelsammlung, in der AHS gehören die σ-Umgebungen ab dem Haupttermin 2027 zu den Grundkompetenzen (WS 3.5).

Q: Wie bestimme ich $\mu$ oder $\sigma$, wenn eine Bedingung gegeben ist?

Übersetze die Bedingung in $P(X \leq x) = p$. Ist $\sigma$ bekannt, löst du $\frac{x - \mu}{\sigma} = z$ nach $\mu$ auf, ist $\mu$ bekannt, nach $\sigma$. Dabei ist $z$ das Quantil der Standardnormalverteilung zu $p$. Eine Skizze hilft zu entscheiden, ob $z$ positiv oder negativ ist.

Q: Steht die Normalverteilung in der Formelsammlung?

Ja, für Teil A der BHS und die AHS ab dem Haupttermin 2027 enthält Kapitel 19 „Wahrscheinlichkeit“ auf Seite 17 der Formelsammlung des BMB die Verteilungsfunktion, die σ-Umgebungen und die Standardnormalverteilung mit den Quantilen für 90, 95 und 99 %. Die Formelsammlung darfst du in der Klausur verwenden. Die Wahrscheinlichkeiten selbst berechnest du mit Technologie.

Die Normalverteilung beschreibt Größen, die sich um einen Mittelwert häufen und nach beiden Seiten gleichmäßig abnehmen, etwa Füllmengen, Körpermaße oder Lebensdauern. In der AHS gehört sie ab dem Haupttermin 2027 zu den Grundkompetenzen, in der Klausur in Angewandter Mathematik zu Teil A. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und die BHS, wie du Wahrscheinlichkeiten mit Technologie berechnest, σ-Umgebungen und symmetrische Intervalle bestimmst und μ oder σ aus Bedingungen ermittelst.

Mathe-Matura (AHS): neu ab dem Haupttermin 2027 (WS 3.4, WS 3.5); Teil B HTL 1: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HTL 2: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

Aus dem Katalog

Mathematik (AHS)

WS 3.4die Normalverteilung kennen und anwenden; Wahrscheinlichkeiten als Flächeninhalte unter dem Graphen der Dichtefunktion deuten und anwenden; die Bedeutung des Erwartungswerts und der Standardabweichung für den Graphen der Dichtefunktion kennen und anwenden
WS 3.5Wahrscheinlichkeiten, Quantile und um den Erwartungswert symmetrische Intervalle einer normalverteilten Zufallsvariablen interpretieren und mit Technologieeinsatz ermitteln; die $\sigma$ -Regeln ( $\sigma$ , $2\sigma$ , $3\sigma$ ; siehe Formelsammlung) für normalverteilte Zufallsvariablen kennen und anwenden

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Mathe-Matura (AHS)
- WS 3.4die Normalverteilung kennen und anwenden; Wahrscheinlichkeiten als Flächeninhalte unter dem Graphen der Dichtefunktion deuten und anwenden; die Bedeutung des Erwartungswerts und der Standardabweichung für den Graphen der Dichtefunktion kennen und anwenden
- WS 3.5Wahrscheinlichkeiten, Quantile und um den Erwartungswert symmetrische Intervalle einer normalverteilten Zufallsvariablen interpretieren und mit Technologieeinsatz ermitteln; die $\sigma$ -Regeln ( $\sigma$ , $2\sigma$ , $3\sigma$ ; siehe Formelsammlung) für normalverteilte Zufallsvariablen kennen und anwenden
Neu ab dem Haupttermin 2027 (WS 3.4, WS 3.5).
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 5.6mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten und Quantile berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und deren Auswirkungen auf den Graphen der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte erklären
Gefragt in 6 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 2b1, 2b2; Wintertermin 2026: Aufgaben 5a1, 5a2, 5a3; Haupttermin 2025: Aufgaben 1a1, 1b1, 1b2; Wintertermin 2025: Aufgaben 1c1, 1c2; Herbsttermin 2024: Aufgabe 6b1; Haupttermin 2024: Aufgaben 2c1, 2c2, 3c1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HAK), Teil B
- B_W_5.1Erwartungswert bzw. Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen bei bekannten Bedingungen (Wahrscheinlichkeit, Intervallgrenzen) mittels Technologieeinsatz bestimmen
Gefragt in 4 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgabe 7c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 9c1, 9c2; Haupttermin 2025: Aufgabe 9b1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 9b1, 9b2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B
- B_W_5.1Erwartungswert bzw. Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen bei bekannten Bedingungen (Wahrscheinlichkeit, Intervallgrenzen) mittels Technologieeinsatz bestimmen
Gefragt in 3 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgaben 7c1, 9c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 9c1, 9c2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 9b1, 9b2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B
- B_T_5.1Normalverteilung: Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion verstehen und anwenden, Erwartungswert $\mu$ bzw. Standardabweichung $\sigma$ bei bekannten Bedingungen (Wahrscheinlichkeit, Intervallgrenzen) ermitteln
- B_T_5.2Verteilung des Stichprobenmittelwertes normalverteilter Werte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären
- B_T_5.3Schätzwerte für Verteilungsparameter ( $\mu$ , $\sigma$ ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert $\mu$ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7d1, 7d2; Haupttermin 2026: Aufgaben 7c1, 7c2, 9b1; Wintertermin 2026: Aufgaben 7c1, 7c2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8c1, 8c2; Haupttermin 2025: Aufgaben 7b1, 7b2, 8c1, 8c2; Wintertermin 2025: Aufgaben 7b1, 7b2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 8b1, 8b2, 9d1; Haupttermin 2024: Aufgaben 7b1, 7b2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T_5.1Normalverteilung: Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion verstehen und anwenden, Erwartungswert $\mu$ bzw. Standardabweichung $\sigma$ bei bekannten Bedingungen (Wahrscheinlichkeit, Intervallgrenzen) ermitteln
- B_T_5.2Verteilung des Stichprobenmittelwertes normalverteilter Werte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären
- B_T_5.3Schätzwerte für Verteilungsparameter ( $\mu$ , $\sigma$ ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert $\mu$ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7d1, 7d2; Haupttermin 2026: Aufgaben 7c1, 7c2, 9c1; Wintertermin 2026: Aufgaben 7c1, 7c2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7c1, 7c2, 7c3; Haupttermin 2025: Aufgaben 7b1, 7b2; Wintertermin 2025: Aufgaben 7b1, 7b2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 9a1, 9a2, 9b1; Haupttermin 2024: Aufgaben 7b1, 7b2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit $N(\mu; \sigma^2)$ hat den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma > 0$ ; so steht sie im Kompetenzkatalog Teil A und ab dem Haupttermin 2027 auch bei den Grundkompetenzen der AHS. Der Graph ihrer Dichtefunktion ist die Gauß’sche Glockenkurve, symmetrisch um $\mu$ : $\mu$ bestimmt, wo der Gipfel liegt, $\sigma$ , wie breit und flach die Kurve ist.
Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Dichte: $P(a \leq X \leq b)$ ist die Fläche zwischen $a$ und $b$ , die gesamte Fläche ist 1. Mit der Verteilungsfunktion $F(x) = P(X \leq x)$ gilt $P(a \leq X \leq b) ={}$ $F(b) - F(a)$ . Für einen einzelnen Wert ist $P(X = x) = 0$ , daher ist es egal, ob „ $<$ “ oder „ $\leq$ “ steht.
Mit Technologie gibst du $\mu$ , $\sigma$ und die Grenze in die Verteilungsfunktion ein und erhältst $P(X \leq x)$ . Dokumentiere die Ausgangsparameter und die verwendete Funktion. Für „ $X > x$ “ nimmst du das Gegenereignis: $1 - P(X \leq x)$ .
Die σ-Umgebungen der Gauß-Verteilung stehen in der Formelsammlung: $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683$ , für $2\sigma$ etwa $0{,}954$ und für $3\sigma$ etwa $0{,}997$ .
Standardisieren: Mit $z ={}$ $\frac{x - \mu}{\sigma}$ rechnest du auf die Standardnormalverteilung mit $\mu = 0$ und $\sigma = 1$ um. Für ihre Verteilungsfunktion $\Phi$ gilt $\Phi(-z) ={}$ $1 - \Phi(z)$ und $P(-z \leq Z \leq z) ={}$ $2 \cdot \Phi(z) - 1$ . Für das um $\mu$ symmetrische Intervall mit $90\,\%$ , $95\,\%$ und $99\,\%$ ist $z \approx 1{,}645$ , $1{,}960$ und $2{,}576$ ; das Intervall ist $[\mu - z \cdot \sigma; \mu + z \cdot \sigma]$ .
Ist eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben, kehrst du die Rechnung um: Aus der Grenze und $P$ findest du mit dem Quantil $z$ den Wert $\mu = x - z \cdot \sigma$ oder $\sigma = \frac{x - \mu}{z}$ . Eine Skizze der Kurve mit der markierten Fläche zeigt dir, ob $z$ positiv oder negativ ist.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen. Ab dem Haupttermin 2027 gehört die Normalverteilung zu den Grundkompetenzen (WS 3.4, WS 3.5).

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Größe und Parameter festlegen
Lies ab, welche Größe normalverteilt ist und welche Werte für $\mu$ und $\sigma$ gegeben sind. Skizziere die Kurve der Dichte und markiere die gesuchte Fläche.
2.Die Frage mit $X$ anschreiben
Schreibe das Ereignis als $X \leq x$ , $X > x$ oder $a \leq X \leq b$ an. Das Zeichen („<“ oder „≤“) spielt bei einer stetigen Zufallsvariablen keine Rolle.
3.Mit Technologie rechnen
Gib $\mu$ , $\sigma$ und die Grenzen in die Verteilungsfunktion deiner Technologie ein. Bei „größer als“ rechnest du $1 - P(X \leq x)$ , bei einem Intervall $F(b) - F(a)$ .
4.Umkehren, wenn $P$ gegeben ist
Für eine Grenze oder einen Parameter nutzt du das Quantil: $z$ aus der Wahrscheinlichkeit, dann $x ={}$ $\mu + z \cdot \sigma$ oder die Gleichung nach $\mu$ bzw. $\sigma$ auflösen.
5.Im Kontext deuten
Gib das Ergebnis mit Einheit als Wahrscheinlichkeit oder Prozentsatz an und sag, was es im Sachzusammenhang heißt.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Wahrscheinlichkeiten mit Technologie (Teil A)
Die Füllmenge von Kaffeepackungen ist normalverteilt mit $\mu = 250$ g und $\sigma = 3$ g. Berechne $P(X < 245)$ , $P(247 \leq X \leq 256)$ und $P(X > 254)$ .
2.σ-Umgebung und symmetrisches Intervall (Teil A)
Gib für die Kaffeepackungen aus dem ersten Beispiel das um $\mu$ symmetrische Intervall an, in dem 95 % der Füllmengen liegen, und die Wahrscheinlichkeit der $2\sigma$ -Umgebung.
3.Den Erwartungswert aus einer Bedingung bestimmen (HAK, HUM)
Die Masse von Mehlpackungen ist normalverteilt mit $\sigma = 2$ g. Höchstens 1 % der Packungen sollen weniger als 500 g enthalten. Auf welchen Erwartungswert $\mu$ muss die Anlage eingestellt werden?
4.Die Standardabweichung aus einer Bedingung bestimmen (HAK, HUM)
Die Wartezeit am Schalter ist normalverteilt mit $\mu = 12$ Minuten. 80 % der Kund:innen warten höchstens 16 Minuten. Bestimme $\sigma$ .

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, nennt der Kompetenzkatalog das Modellieren mit Dichte und Verteilungsfunktion der Normalverteilung, das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten und Quantilen sowie das Deuten von

\mu

und

\sigma

und ihrer Auswirkung auf den Graphen der Dichte (Deskriptor 5.6). Gemeint sind

P(X < k)

P(X > k)

P(k_1 < X < k_2)

und die Intervallgrenzen zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit. Dokumentiere den Technologieeinsatz mit Ausgangsparametern und Funktion.

ZentralmaturaBHS Teil A

Bremsen (Aufgabe 2, Teil b)

Bremsbeläge haben eine begrenzte Lebensdauer, die in der Einheit km angegeben wird. Die Lebensdauer von Bremsbelägen vom Typ A wird durch die normalverteilte Zufallsvariable

X

modelliert. 10 % dieser Bremsbeläge haben eine Lebensdauer von weniger als 35 000 km. 10 % dieser Bremsbeläge haben eine Lebensdauer von mehr als 47 000 km. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion dargestellt.

Aufgabe 2, Teilaufgabe b2

Die Lebensdauer von Bremsbelägen vom Typ B wird durch die normalverteilte Zufallsvariable

Y

mit dem Erwartungswert

\mu = 50\,000

km und der Standardabweichung

\sigma = 4\,000

km modelliert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach dem Zufallsprinzip ausgewählter Bremsbelag vom Typ B eine Lebensdauer von höchstens 43 000 km hat.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BHS), Teil A (alle Cluster), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 2, Teilaufgabe b2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Angewandte Mathematik (HAK)

In Teil B der HAK und der HUM verlangt der Katalog, Erwartungswert oder Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen bei bekannten Bedingungen, etwa einer Wahrscheinlichkeit oder Intervallgrenzen, mit Technologie zu bestimmen (Deskriptor B_W_5.1). Das sind die beiden letzten Beispiele oben: Du übersetzt die Bedingung in

P(X \leq x) = p

und löst nach dem unbekannten Parameter auf.

Angewandte Mathematik (HTL 1)

In Teil B der HTL 1 und der HTL 2 kommen der Zusammenhang von Dichte und Verteilungsfunktion (B_T_5.1), die Verteilung des Stichprobenmittelwerts normalverteilter Werte (B_T_5.2) sowie Schätzwerte und zweiseitige Konfidenzintervalle für

\mu

(B_T_5.3) dazu. Der Stichprobenmittelwert hat die Standardabweichung

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Beispiel: Mit

\mu = 50

\sigma = 6

und

n = 9

liegt der Stichprobenmittelwert zu 95 % im Intervall mit der Halbbreite

1{,}960 \cdot \frac{6}{3} ={}

3{,}92

, also in

[46{,}08; 53{,}92]

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

BHS Teil A

Aufgabe 1.

Die Zufallsvariable

X

ist normalverteilt mit

\mu = 60

und

\sigma = 5

. Berechne

P(X \leq 52)

. Runde auf drei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 2.

Die Größe

X

ist normalverteilt mit

\mu = 100

und

\sigma = 15

. Bestimme den Wert

x

mit

P(X \leq x) = 0{,}95

. Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 3.

Der Graph der Dichte einer normalverteilten Zufallsvariablen wird flacher und breiter, die Fläche darunter bleibt gleich. Was wurde verändert?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 4.

X

ist normalverteilt mit

\mu = 20

und

\sigma = 4

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Einen einzelnen Wert mit positiver Wahrscheinlichkeit rechnen. Bei einer stetigen Zufallsvariablen ist $P(X = x) = 0$ ; nur Intervalle haben eine Wahrscheinlichkeit.
„Größer als“ direkt in die Verteilungsfunktion einsetzen. Die Verteilungsfunktion gibt $P(X \leq x)$ an, für „ $X > x$ “ brauchst du $1 - F(x)$ .
Die Varianz statt der Standardabweichung eingeben. In $N(\mu; \sigma^2)$ steht die Varianz, die Technologie verlangt meist $\sigma$ .
Zu früh runden. Rechne mit dem vollen Wert der Technologie und runde erst das Endergebnis auf die verlangte Stelle.
Die $\sigma$ -Umgebungen auf Verteilungen anwenden, die nicht normalverteilt sind. Die Werte 0,683, 0,954 und 0,997 gelten nur für die Gauß-Verteilung.

Merk dir

Wahrscheinlichkeit = Fläche unter der Dichte; $P(X = x) = 0$ .
$P(a \leq X \leq b) ={}$ $F(b) - F(a)$ und $P(X > x) = 1 - F(x)$ .
$\sigma$ -Umgebungen: $0{,}683$ , $0{,}954$ , $0{,}997$ .
Quantile für 90 %, 95 %, 99 % symmetrisch: $1{,}645$ , $1{,}960$ , $2{,}576$ .
$z ={}$ $\frac{x - \mu}{\sigma}$ ; Technologie: $\mu$ , $\sigma$ , Grenzen eingeben und dokumentieren.

Häufige Fragen

1.Was bedeutet $N(\mu; \sigma^2)$ ?+
Antwort:Die Schreibweise sagt, dass die Zufallsvariable normalverteilt ist mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma^2$ , also der Standardabweichung $\sigma$ . Die Formelsammlung des BMB verwendet sie so. Gibst du die Parameter in die Technologie ein, achte darauf, ob sie $\sigma$ oder $\sigma^2$ verlangt.
2.Warum ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts null?+
Antwort:Bei einer stetigen Zufallsvariablen, wie sie in Teil A der BHS und ab dem Haupttermin 2027 in der AHS vorkommt, ist die Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichte. Über einem einzelnen Punkt hat die Fläche keine Breite. Deshalb ändern „<“ und „≤“ das Ergebnis nicht.
3.Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten mit der Technologie?+
Antwort:Du gibst $\mu$ , $\sigma$ und die Grenze in die Verteilungsfunktion deiner Technologie ein und erhältst $P(X \leq x)$ . Für ein Intervall rechnest du $F(b) - F(a)$ , für „größer als“ $1 - F(x)$ . In Teil A schreibst du in deine Bearbeitung, was du eingegeben hast, nach dem Muster „Normalverteilung mit $\mu = 250$ , $\sigma = 3$ , $P(X \leq 245)$ “.
4.Wie finde ich eine Intervallgrenze zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit?+
Antwort:Du suchst das Quantil: Zu $P(X \leq x) = p$ liefert die Technologie die Grenze $x$ direkt, oder du nimmst $z$ aus der Standardnormalverteilung und rechnest $x ={}$ $\mu + z \cdot \sigma$ . Bei einem symmetrischen Intervall verteilst du die restliche Wahrscheinlichkeit zur Hälfte auf beide Seiten.
5.Was sagen die σ-Umgebungen aus?+
Antwort:Sie geben an, wie viel Wahrscheinlichkeit in den Intervallen $\mu \pm \sigma$ , $\mu \pm 2\sigma$ und $\mu \pm 3\sigma$ liegt: rund 68,3 %, 95,4 % und 99,7 %. Du findest sie in der Formelsammlung, in der AHS gehören die σ-Umgebungen ab dem Haupttermin 2027 zu den Grundkompetenzen (WS 3.5).
6.Wie bestimme ich $\mu$ oder $\sigma$ , wenn eine Bedingung gegeben ist?+
Antwort:Übersetze die Bedingung in $P(X \leq x) = p$ . Ist $\sigma$ bekannt, löst du $\frac{x - \mu}{\sigma} ={}$ $z$ nach $\mu$ auf, ist $\mu$ bekannt, nach $\sigma$ . Dabei ist $z$ das Quantil der Standardnormalverteilung zu $p$ . Eine Skizze hilft zu entscheiden, ob $z$ positiv oder negativ ist.
7.Steht die Normalverteilung in der Formelsammlung?+
Antwort:Ja, für Teil A der BHS und die AHS ab dem Haupttermin 2027 enthält Kapitel 19 „Wahrscheinlichkeit“ auf Seite 17 der Formelsammlung des BMB die Verteilungsfunktion, die σ-Umgebungen und die Standardnormalverteilung mit den Quantilen für 90, 95 und 99 %. Die Formelsammlung darfst du in der Klausur verwenden. Die Wahrscheinlichkeiten selbst berechnest du mit Technologie.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Normalverteilung: Wahrscheinlichkeit, σ-Umgebung und Quantile

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Größe und Parameter festlegen

2.Die Frage mit XXX anschreiben

3.Mit Technologie rechnen

4.Umkehren, wenn PPP gegeben ist

5.Im Kontext deuten

Beispiele

1.Wahrscheinlichkeiten mit Technologie (Teil A)

2.σ-Umgebung und symmetrisches Intervall (Teil A)

3.Den Erwartungswert aus einer Bedingung bestimmen (HAK, HUM)

4.Die Standardabweichung aus einer Bedingung bestimmen (HAK, HUM)

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Angewandte Mathematik (HAK)

Angewandte Mathematik (HTL 1)

Teste dich selbst

Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen

2.Die Frage mit $X$ anschreiben

4.Umkehren, wenn $P$ gegeben ist