Kleksa

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Laplace, Pfadregeln und Erwartungswert

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ordnest du Ereignissen eine Zahl zwischen 0 und 1 zu und rechnest damit. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du Wahrscheinlichkeiten nach Laplace bestimmst, Additions- und Multiplikationsregel anwendest, mehrstufige Versuche im Baumdiagramm rechnest und Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsvariablen berechnest. Die Binomialverteilung und die Normalverteilung haben eigene Seiten.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in 7 der 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B Cluster P: in 5 der 8.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB
Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

  • Mathe-Matura (AHS)

    • WS 2.1Grundraum (Menge der möglichen Versuchsausgänge) und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal bzw. formal angeben können
    • WS 2.2relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können
    • WS 2.3Wahrscheinlichkeiten unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können
    • WS 2.4Binomialkoeffizienten berechnen und interpretieren können
    • WS 3.1die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen können

    Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.

    Haupttermin 2026: Aufgaben 22, 23, 27c1; Haupttermin 2025: Aufgaben 22, 23, 26c1, 26c2; Haupttermin 2024: Aufgaben 22, 23, 25c1, 27b1; Haupttermin 2023: Aufgaben 21, 22, 23; Haupttermin 2022: Aufgaben 21, 22, 23, 28a2

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Alle Themen dieser KlausurDie FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

  • Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

    • Deskriptor 5.3den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace verstehen und anwenden; den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten verstehen und anwenden
    • Deskriptor 5.4mehrstufige Zufallsexperimente („Ziehen mit/ohne Zurücklegen“) mit Baumdiagrammen modellieren, Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Pfadregeln (Additions- und Multiplikationssatz) berechnen und Baumdiagramme interpretieren und damit argumentieren

    Gefragt in 7 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgabe 4a1; Haupttermin 2026: Aufgaben 2b1, 2c1; Wintertermin 2026: Aufgaben 2c1, 2c2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 1a1, 1a2; Haupttermin 2025: Aufgaben 2b1, 2b2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 3c1, 3c2; Haupttermin 2024: Aufgaben 1b1, 1b2

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Die FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

  • Angewandte Mathematik (HAK), Teil B

    • B_W2_5.4den Additionssatz für einander nicht ausschließende Ereignisse und den Multiplikationssatz für abhängige Ereignisse (bedingte Wahrscheinlichkeit) verstehen und anwenden, Berechnungen durchführen; im Kontext interpretieren und argumentieren

    Gefragt in 4 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgabe 9a1; Haupttermin 2026: Aufgabe 9c1; Haupttermin 2025: Aufgaben 9c1, 9c2; Wintertermin 2025: Aufgaben 9b2, 9b3

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

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  • Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B

    • B_P_5.2den Begriff der Zufallsvariablen verstehen und anwenden; Verteilungsfunktion und Kenngrößen (Erwartungswert und Varianz) einer diskreten Zufallsvariablen bestimmen, interpretieren und damit argumentieren

    Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2, 8a3; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7b1, 7b2; Haupttermin 2025: Aufgaben 7c1, 7c2; Wintertermin 2025: Aufgaben 7c1, 7c2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7c1, 7c2

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Alle Themen dieser KlausurDie FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst
  • Der Grundraum ist die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsversuchs, ein Ereignis ist eine Teilmenge davon. Das Gegenereignis ¬A\neg A tritt genau dann ein, wenn AA nicht eintritt, und es gilt P(¬A)=1−P(A)P(\neg A) = 1 - P(A). Das hilft bei „mindestens einmal“.
  • Bei einem Laplace-Versuch haben alle Ausgänge dieselbe Wahrscheinlichkeit: Ein Ereignis mit gg günstigen unter mm möglichen Ausgängen hat P(A)=gmP(A) = \frac{g}{m}. Wiederholst du einen Versuch oft, nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit; sie dient als Schätzwert.
  • Additionssatz: P(A∪B)P(A \cup B) ist P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) + P(B) - P(A \cap B); für unvereinbare Ereignisse fällt der letzte Term weg. Multiplikationssatz: P(A∩B)P(A \cap B) ist P(A)⋅P(B∣A)P(A) \cdot P(B \mid A); für unabhängige Ereignisse ist es P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B).
  • Im Baumdiagramm schreibst du die Wahrscheinlichkeit an jeden Ast. Entlang eines Pfades multiplizierst du (Pfadregel), verschiedene Pfade zum selben Ereignis addierst du. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe, beim Ziehen mit Zurücklegen nicht.
  • Der Binomialkoeffizient (nk)=\binom{n}{k} ={}n!k!⋅(n−k)! \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} zählt die Möglichkeiten, kk Dinge aus nn ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, etwa (73)=35\binom{7}{3} = 35.
  • Eine Zufallsvariable XX ordnet jedem Ausgang eine Zahl zu. Die Verteilung von XX gibt die Wahrscheinlichkeiten pi=P(X=xi)p_i = P(X = x_i) an. Der Erwartungswert ist μ=∑xi⋅pi\mu = \sum x_i \cdot p_i, die Varianz σ2=\sigma^2 ={}∑(xi−μ)2⋅pi \sum (x_i - \mu)^2 \cdot p_i, die Standardabweichung σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}. Der Erwartungswert muss kein möglicher Wert sein.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

  1. 1.Versuch und Ereignis festlegen

    Beschreibe den Zufallsversuch und das gesuchte Ereignis in Worten. Prüfe, ob es um einen Versuch oder um mehrere hintereinander geht und ob die Ausgänge gleich wahrscheinlich sind.

  2. 2.Das passende Modell wählen

    Gleich wahrscheinlich: zähle günstige und mögliche Ausgänge. Mehrstufig: zeichne ein Baumdiagramm. Bei „mindestens“ prüfst du, ob das Gegenereignis einfacher ist.

  3. 3.Die Wahrscheinlichkeiten eintragen

    Schreibe an jeden Ast seine Wahrscheinlichkeit und achte darauf, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird. An jedem Knoten ergeben die Äste zusammen 1.

  4. 4.Multiplizieren und addieren

    Entlang eines Pfades multiplizierst du, mehrere Pfade zum selben Ereignis addierst du. Bei einer Zufallsvariablen multiplizierst du jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst.

  5. 5.Im Kontext deuten

    Gib das Ergebnis als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent an, so wie die Aufgabe es verlangt, und beschreibe, was es im Sachzusammenhang bedeutet.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

  1. 1.Laplace, Gegenereignis und Additionssatz

    In einer Urne liegen 9 rote, 6 blaue und 5 grüne Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie rot ist, dass sie nicht blau ist und dass sie rot oder blau ist.

  2. 2.Ziehen ohne Zurücklegen

    Eine Lostrommel enthält 12 Lose, davon 4 Gewinne. Es werden nacheinander 2 Lose ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinne, für genau einen Gewinn und für mindestens einen Gewinn.

  3. 3.Erwartungswert und Standardabweichung

    Bei einem Spiel kostet die Teilnahme € 2. Dann wird ein fairer Würfel geworfen: Bei einer 6 werden € 5 ausgezahlt, bei einer 4 oder 5 werden € 1 ausgezahlt, sonst nichts. XX ist der Auszahlungsbetrag. Berechne den Erwartungswert von XX, die Standardabweichung und den Erwartungswert des Reingewinns.

  4. 4.Die relative Häufigkeit als Schätzwert

    Ein Reißnagel wird 200-mal geworfen und landet 124-mal mit der Spitze nach oben. Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass er so landet, und gib an, wie oft das bei 500 Würfen zu erwarten ist.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe
So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.
ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 22

Lotterie Im Rahmen einer Lotterie werden nach dem Zufallsprinzip aus den natürlichen Zahlen 1 bis 45 nacheinander 6 verschiedene Zahlen ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, spielt dabei keine Rolle. Sofija wettet darauf, dass bei einer bestimmten Ziehung die Zahlen 5, 11, 16, 22, 25 und 27 gezogen werden. Bei dieser Ziehung wurden bereits die vier Zahlen 11, 16, 22 und 25 gezogen. Die letzten beiden Zahlen wurden noch nicht gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei dieser Ziehung noch die Zahlen 5 und 27 gezogen werden.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 22 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 23

Glücksspiel Um an einem bestimmten Glücksspiel teilnehmen zu dürfen, muss ein Einsatz von aa Euro bezahlt werden. Charlie nimmt an diesem Glücksspiel teil. Die Zufallsvariable XX gibt den Auszahlungsbetrag in Euro an. Die nachstehende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX.
kk in Euro0525
P(X=k)P(X = k)0,50,40,1
Zieht man vom Auszahlungsbetrag den Einsatz ab, erhält man den sogenannten Reingewinn von Charlie. Der Erwartungswert für den Reingewinn von Charlie beträgt –0,5 Euro. Ermitteln Sie den Einsatz aa.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 23 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, nennt der Kompetenzkatalog zwei Deskriptoren: den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace anwenden und den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten verstehen (Deskriptor 5.3) sowie mehrstufige Zufallsexperimente („Ziehen mit/ohne Zurücklegen“) im Baumdiagramm modellieren und mit den Pfadregeln rechnen (Deskriptor 5.4). Schreib den Rechenansatz auf, etwa die Produkte entlang der Pfade, und deute das Ergebnis im Kontext.

Angewandte Mathematik (HAK)

In Teil B der HAK kommen der Additionssatz für einander nicht ausschließende Ereignisse, der Multiplikationssatz für abhängige Ereignisse und die bedingte Wahrscheinlichkeit dazu (Deskriptor B_W2_5.4). Die Formelsammlung gibt in Kapitel 19 auf Seite 16 P(A∣B)=P(A \mid B) ={}P(A∩B)P(B) \frac{P(A \cap B)}{P(B)} an. Beispiel: Von 400 Beschäftigten arbeiten 240 im Büro (A), 90 in Teilzeit (B), 36 in beidem. Der Additionssatz gibt 0,6+0,225−0,09=0{,}6 + 0{,}225 - 0{,}09 ={}0,735 0{,}735 für P(A∪B)P(A \cup B), und die bedingte Wahrscheinlichkeit ist P(B∣A)=P(B \mid A) ={}0,090,6= \frac{0{,}09}{0{,}6} ={}0,15 0{,}15: Von den Beschäftigten im Büro arbeiten 15 % in Teilzeit.

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)

In Teil B von Cluster P steht die diskrete Zufallsvariable mit ihrer Verteilungsfunktion und den Kenngrößen Erwartungswert und Varianz (Deskriptor B_P_5.2). Die Verteilungsfunktion F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x) addiert die Wahrscheinlichkeiten bis zu xx. Beispiel: XX nimmt die Werte 0, 1 und 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,50{,}5, 0,30{,}3 und 0,20{,}2 an. Dann ist F(1)=0,8F(1) = 0{,}8, μ=0,7\mu = 0{,}7 und σ2=0,61\sigma^2 = 0{,}61, also σ≈0,78\sigma \approx 0{,}78.

Teste dich selbst

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Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.
AHS

Aufgabe 1.

Ereignis und Gegenereignis Bei einem Kartenspiel mit mehreren roten und mehreren schwarzen Karten werden nacheinander zwei Karten nach dem Zufallsprinzip gezogen. Die Buchstaben rr und ss haben folgende Bedeutung: rr … Ziehen einer roten Karte ss … Ziehen einer schwarzen Karte Die Schreibweise (r,s)(r, s) bedeutet beispielsweise, dass die erste gezogene Karte rot und die zweite gezogene Karte schwarz ist. Das Ereignis, dass höchstens 1 der beiden gezogenen Karten rot ist, wird mit EE bezeichnet. Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Das Ereignis EE wird beschrieben durch ; das Gegenereignis von EE lautet: der beiden gezogenen Karten ist schwarz.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 21 — matura.gv.at, CC BY 4.0

AHS

Aufgabe 2.

In einer Schachtel liegen 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind? Runde auf drei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 3.

Die Zufallsvariable XX nimmt die Werte 1, 2 und 4 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,50{,}5, 0,30{,}3 und 0,20{,}2 an. Welchen Erwartungswert hat XX?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 4.

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Kreuze die beiden Terme an, die die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal Kopf“ berechnen.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen
  • Wahrscheinlichkeiten addieren, wo man multiplizieren muss. Entlang eines Pfades im Baumdiagramm multiplizierst du, nur verschiedene Pfade addierst du.
  • Beim Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit der ersten Stufe wiederverwenden. Nach dem ersten Zug hat sich die Anzahl der Kugeln geändert.
  • „Mindestens einmal“ mühsam über viele Fälle rechnen. Das Gegenereignis „keinmal“ gibt dir die Lösung mit einer Rechnung: 1−P(keinmal)1 - P(\text{keinmal}).
  • Unvereinbar mit unabhängig verwechseln. Unvereinbare Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten, unabhängige beeinflussen einander nicht; mit Wahrscheinlichkeit größer 0 sind beide Eigenschaften nie zugleich möglich.
  • Den Erwartungswert für einen Wert halten, der eintreten muss. Er ist ein Durchschnitt über viele Wiederholungen und kann zwischen den möglichen Werten liegen.

Merk dir

  • P(¬A)=1−P(A)P(\neg A) = 1 - P(A) und P(A)=P(A) ={}gu¨nstigmo¨glich \frac{\text{günstig}}{\text{möglich}} beim Laplace-Versuch.
  • Additionssatz: P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) + P(B) - P(A \cap B) ist die Wahrscheinlichkeit von A∪BA \cup B.
  • Pfadregel: Entlang eines Pfades wird multipliziert, und die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden addiert.
  • P(A∩B)=P(A \cap B) ={}P(A)⋅P(B∣A) P(A) \cdot P(B \mid A); unabhängig: P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B).
  • Mit pi=P(X=xi)p_i = P(X = x_i): μ=∑xi⋅pi\mu = \sum x_i \cdot p_i und σ2=\sigma^2 ={}∑(xi−μ)2⋅pi \sum (x_i - \mu)^2 \cdot p_i.

Häufige Fragen

  1. 1.Wann addiere ich Wahrscheinlichkeiten und wann multipliziere ich sie?+
    Antwort:Multipliziere, wenn zwei Dinge nacheinander eintreten sollen („und“): entlang eines Pfades im Baumdiagramm. Addiere, wenn ein Ereignis auf verschiedene Arten eintreten kann („oder“) und die Fälle einander ausschließen: verschiedene Pfade, die zum selben Ereignis führen. Schließen sie einander nicht aus, ziehst du den gemeinsamen Teil ab.
  2. 2.Was ist der Unterschied zwischen unvereinbar und unabhängig?+
    Antwort:Unvereinbare Ereignisse haben keinen gemeinsamen Ausgang, P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0. Unabhängige Ereignisse erfüllen P(A∩B)=P(A \cap B) ={}P(A)⋅P(B) P(A) \cdot P(B): Das Eintreten von AA ändert die Wahrscheinlichkeit von BB nicht. Haben beide Ereignisse eine Wahrscheinlichkeit größer als null, können sie nicht beides zugleich sein.
  3. 3.Wann rechne ich mit dem Gegenereignis?+
    Antwort:Immer dann, wenn das gesuchte Ereignis viele Fälle hat und das Gegenereignis wenige, typisch bei „mindestens“ und „höchstens“. „Mindestens ein Gewinn“ hat als Gegenereignis „kein Gewinn“, und das ist ein einziger Pfad. Danach rechnest du 1−P(¬A)1 - P(\neg A).
  4. 4.Worin unterscheiden sich Ziehen mit und ohne Zurücklegen?+
    Antwort:Mit Zurücklegen ist die Ausgangslage vor jedem Zug dieselbe, die Wahrscheinlichkeiten der Stufen bleiben gleich und die Züge sind unabhängig. Ohne Zurücklegen schrumpft die Menge, und die Wahrscheinlichkeit der zweiten Stufe hängt vom ersten Ergebnis ab. Lies in der Angabe genau, welcher Fall vorliegt.
  5. 5.Was sagt der Erwartungswert aus?+
    Antwort:Der Erwartungswert ist der Mittelwert, den du auf lange Sicht bei vielen Wiederholungen erwartest, nicht ein Ergebnis, das in jedem Versuch eintritt. Bei einem Glücksspiel liegt er oft zwischen den möglichen Auszahlungen. Ein negativer Erwartungswert des Reingewinns heißt, dass du im Mittel verlierst.
  6. 6.Darf ich die relative Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit verwenden?+
    Antwort:Als Schätzwert ja: Je mehr Versuche du machst, desto besser nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit. Sie ist aber keine exakte Wahrscheinlichkeit, und bei wenigen Versuchen kann sie stark abweichen. Schreib deshalb in der Antwort „geschätzt“.
  7. 7.Stehen die Regeln in der Formelsammlung?+
    Antwort:Ja, Kapitel 19 „Wahrscheinlichkeit“ ab Seite 16 der Formelsammlung des BMB enthält den Binomialkoeffizienten, die Laplace-Formel, die elementaren Regeln, die bedingte Wahrscheinlichkeit, den Satz von Bayes sowie Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen. Die Formelsammlung darfst du in der Klausur verwenden.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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