Woran erkenne ich, dass eine Binomialverteilung vorliegt?

Suche nach einem Versuch mit nur zwei Ausgängen, der unabhängig wiederholt wird, und nach einer gleichbleibenden Erfolgswahrscheinlichkeit. Gefragt ist dann die Anzahl der Erfolge bei $n$ Wiederholungen. Typische Signale in der Angabe sind „unabhängig“, „jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit“ und eine feste Anzahl von Versuchen.

Wie rechne ich „mindestens“ und „höchstens“?

„Höchstens $k$“ ist $P(X \leq k)$, die Summe von $P(X = 0)$ bis $P(X = k)$. „Mindestens $k$“ ist $P(X \geq k)$ und am bequemsten über das Gegenereignis: $1 - P(X \leq k - 1)$. Bei „mindestens einmal“ bleibt nur $1 - (1 - p)^n$ übrig. Schreib das Ereignis zuerst mit $X$ an.

Wie berechne ich Binomialwahrscheinlichkeiten mit Technologie?

Deine Technologie bietet die Binomialverteilung als Funktion an, für einzelne Werte $P(X = k)$ und für die Summe $P(X \leq k)$. Du gibst $n$, $p$ und $k$ ein. Dokumentiere, was du gerechnet hast, etwa „Binomialverteilung mit $n = 8$, $p = 0{,}7$, $P(X \leq 5)$“. Das ist der Technologieeinsatz, den die Klausur nachvollziehbar sehen will.

Was bedeutet der Erwartungswert $n \cdot p$ konkret?

Er ist die Anzahl der Erfolge, die du bei vielen Wiederholungen des ganzen Versuchs im Durchschnitt erwartest. Bei 150 Besucher:innen und einer Kaufwahrscheinlichkeit von 18 % sind das 27 Käufe pro Tag im Mittel. An einem einzelnen Tag können es mehr oder weniger sein.

Wie bestimme ich $n$, wenn eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben ist?

Stelle die Ungleichung auf, meist über das Gegenereignis, etwa $1 - (1 - p)^n \geq P$. Forme um zu $(1 - p)^n \leq 1 - P$ und logarithmiere. Weil $\ln(1 - p)$ negativ ist, dreht sich beim Dividieren das Zeichen. Runde auf die nächste ganze Zahl auf und prüfe mit $n$ und $n - 1$.

Ist das Ziehen ohne Zurücklegen auch binomialverteilt?

Nein, genau genommen nicht: Die Wahrscheinlichkeit ändert sich von Zug zu Zug. Ist die Gesamtmenge sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, ändert sich $p$ kaum, und das Binomialmodell ist eine gute Näherung. Bei einer kleinen Menge rechnest du mit dem Baumdiagramm und den Pfadregeln.

Steht die Formel der Binomialverteilung in der Formelsammlung?

Ja, Kapitel 19 „Wahrscheinlichkeit“ auf Seite 17 der Formelsammlung des BMB enthält $P(X = k)$, den Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung. Die Formelsammlung darfst du in der Klausur verwenden. Wann das Modell passt und was ein Ergebnis bedeutet, musst du aber selbst begründen.

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Binomialverteilung: Formel, Erwartungswert und Standardabweichung

Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein Ereignis bei mehreren unabhängigen Wiederholungen desselben Versuchs eintritt, etwa wie viele Stücke einer Lieferung fehlerhaft sind. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, woran du das Modell erkennst, wie du Wahrscheinlichkeiten mit dem Binomialkoeffizienten oder mit Technologie berechnest, Erwartungswert und Standardabweichung bestimmst und Aufgaben mit „mindestens“ löst.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in 7 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Mathe-Matura (AHS)
- WS 2.4Binomialkoeffizienten berechnen und interpretieren können
- WS 3.2Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen
- WS 3.3Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann
Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.
Haupttermin 2026: Aufgaben 23, 24; Haupttermin 2025: Aufgaben 24, 26c1; Haupttermin 2024: Aufgaben 23, 24, 25c2; Haupttermin 2023: Aufgaben 20, 22, 24, 26b1; Haupttermin 2022: Aufgaben 22, 24, 26c1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 5.5mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswert berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
Gefragt in 7 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgabe 4b1; Haupttermin 2026: Aufgaben 2a1, 2a2; Wintertermin 2026: Aufgabe 3c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 1b1, 1b2; Wintertermin 2025: Aufgabe 3b1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 3b1, 3b2; Haupttermin 2024: Aufgabe 3d1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Das Modell passt, wenn ein Versuch $n$ -mal unabhängig wiederholt wird, jeder Versuch nur zwei Ausgänge hat („Erfolg“ und „Misserfolg“) und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ in jedem Versuch gleich ist. Die Zufallsvariable $X$ zählt die Erfolge: $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ .
Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Erfolge ist $P(X = k) ={}$ $\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$ . Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt die Pfade mit $k$ Erfolgen, $p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$ ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
Erwartungswert und Varianz: $\mu = n \cdot p$ und $\sigma^2 ={}$ $n \cdot p \cdot (1 - p)$ . Die Standardabweichung ist $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ . Der Erwartungswert liegt in der Nähe des wahrscheinlichsten Werts; für $p = 0{,}5$ ist die Verteilung symmetrisch.
Bei „höchstens $k$ “ addierst du $P(X = 0)$ bis $P(X = k)$ . „Mindestens $k$ “ rechnest du über das Gegenereignis: $P(X \geq k) ={}$ $1 - P(X \leq k - 1)$ . Besonders einfach ist $P(X \geq 1) ={}$ $1 - (1 - p)^n$ .
Mit Technologie nutzt du die Binomialverteilung als Funktion: Du gibst $n$ , $p$ und die Stelle $k$ ein und erhältst $P(X = k)$ oder $P(X \leq k)$ . Schreib die Ausgangsparameter und die verwendete Funktion auf.
Soll $n$ bestimmt werden, damit „mindestens ein Erfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit $P$ eintritt, löst du $1 - (1 - p)^n \geq P$ nach $n$ auf: $n \geq \frac{\ln(1 - P)}{\ln(1 - p)}$ . Da $\ln(1 - p)$ negativ ist, dreht sich das Zeichen, und du rundest auf.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Das Modell prüfen
Stelle fest, was ein Versuch ist und was „Erfolg“ heißt. Prüfe, dass es nur zwei Ausgänge gibt, die Versuche unabhängig sind und $p$ gleich bleibt, und lege $n$ und $p$ fest.
2.Die Frage übersetzen
Schreibe das Ereignis mit $X$ an: genau $k$ ( $X = k$ ), höchstens $k$ ( $X \leq k$ ) oder mindestens $k$ ( $X \geq k$ ).
3.Berechnen
Für „genau“ setzt du in die Formel ein. Für „höchstens“ und „mindestens“ addierst du oder nimmst das Gegenereignis. Mit Technologie wählst du die passende Funktion und gibst $n$ , $p$ und $k$ ein.
4.Erwartungswert und Streuung
Bestimme $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ , wenn sie verlangt sind oder dir bei der Deutung helfen.
5.Im Kontext deuten
Gib das Ergebnis als Wahrscheinlichkeit oder in Prozent an und sag, was es im Sachzusammenhang bedeutet. Begründe, wenn gefragt, warum das Binomialmodell anwendbar ist.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Modell begründen, Erwartungswert und Standardabweichung
Bei der Produktion von Trinkgläsern ist ein zufällig ausgewähltes Glas mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % fehlerhaft. Es werden 12 Gläser zufällig aus der laufenden Produktion entnommen, $X$ ist die Anzahl der fehlerhaften Gläser. Begründe, dass $X$ binomialverteilt ist, und berechne $P(X = 0)$ , $P(X \geq 1)$ , den Erwartungswert und die Standardabweichung.
2.Genau und mindestens, mit der Formel und mit Technologie
Ein Basketballspieler trifft bei einem Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %. Er wirft 8-mal, die Würfe sind voneinander unabhängig. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 6-mal trifft, und die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 6-mal trifft.
3.Die ganze Verteilung
Ein Versuch gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 %. Er wird 4-mal unabhängig durchgeführt, $X$ ist die Anzahl der Erfolge. Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ an und prüfe damit Erwartungswert und Standardabweichung.
4.Wie oft mindestens?
Ein Spiel wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % gewonnen, die Spiele sind voneinander unabhängig. Wie oft muss man mindestens spielen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einmal gewinnt?

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 24.

Farbfehlsichtigkeit Rund 8 % aller Männer weisen eine angeborene Farbfehlsichtigkeit auf. Es wird die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Zufallsstichprobe von 6 Männern mehr als 3 Männer eine angeborene Farbfehlsichtigkeit aufweisen, berechnet. Kreuzen Sie die beiden richtigen Terme zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit an. [2 aus 5]

Wähle höchstens 2

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 24 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, verlangt der Kompetenzkatalog: mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswert berechnen und die Ergebnisse im Kontext interpretieren (Deskriptor 5.5). Die Anwendung zu begründen heißt, die drei Voraussetzungen zu nennen: zwei Ausgänge, unabhängige Wiederholungen, gleichbleibendes

p

. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz: Schreib die Formel mit

n

p

und

k

an oder dokumentiere den Technologieeinsatz mit den Ausgangsparametern und der verwendeten Funktion.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

AHS

Aufgabe 1.

Eine Bogenschützin trifft die Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9, unabhängig von Schuss zu Schuss. Sie schießt 5 Pfeile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 davon treffen? Runde auf drei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 2.

In einem Geschäft kaufen 18 % der Besucher:innen etwas, unabhängig voneinander. An einem Tag kommen 150 Besucher:innen. Wie groß ist die Standardabweichung der Anzahl der Käufe? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 3.

Bei welcher Zufallsvariablen ist die Binomialverteilung ein passendes Modell?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 4.

X

ist binomialverteilt mit

n = 20

und

p = 0{,}4

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Mehr Aufgaben: schreib kostenlos eine ganze Klausur

Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Die Voraussetzungen nicht prüfen. Ohne Unabhängigkeit oder bei wechselndem $p$ , etwa beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge, ist das Modell nicht anwendbar.
Den Binomialkoeffizienten vergessen. Die Formel $P(X = k)$ braucht $\binom{n}{k}$ , sonst zählst du nur einen Pfad.
$p$ und $1 - p$ vertauschen: Der Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit $p$ tritt $k$ -mal ein, der Misserfolg $(n - k)$ -mal.
„Mindestens“ falsch umkehren. Das Gegenereignis von $X \geq k$ ist $X \leq k - 1$ , nicht $X \leq k$ .
Varianz und Standardabweichung verwechseln. $n \cdot p \cdot (1 - p)$ ist die Varianz; die Wurzel daraus ist die Standardabweichung.

Merk dir

$P(X = k) ={}$ $\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$ .
$\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .
$P(X \geq k) ={}$ $1 - P(X \leq k - 1)$ .
$P(X \geq 1) ={}$ $1 - (1 - p)^n$ .
Voraussetzungen: zwei Ausgänge, unabhängig, gleichbleibendes $p$ .

Häufige Fragen

1.Woran erkenne ich, dass eine Binomialverteilung vorliegt?+
Antwort:Suche nach einem Versuch mit nur zwei Ausgängen, der unabhängig wiederholt wird, und nach einer gleichbleibenden Erfolgswahrscheinlichkeit. Gefragt ist dann die Anzahl der Erfolge bei $n$ Wiederholungen. Typische Signale in der Angabe sind „unabhängig“, „jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit“ und eine feste Anzahl von Versuchen.
2.Wie rechne ich „mindestens“ und „höchstens“?+
Antwort:„Höchstens $k$ “ ist $P(X \leq k)$ , die Summe von $P(X = 0)$ bis $P(X = k)$ . „Mindestens $k$ “ ist $P(X \geq k)$ und am bequemsten über das Gegenereignis: $1 - P(X \leq k - 1)$ . Bei „mindestens einmal“ bleibt nur $1 - (1 - p)^n$ übrig. Schreib das Ereignis zuerst mit $X$ an.
3.Wie berechne ich Binomialwahrscheinlichkeiten mit Technologie?+
Antwort:Deine Technologie bietet die Binomialverteilung als Funktion an, für einzelne Werte $P(X = k)$ und für die Summe $P(X \leq k)$ . Du gibst $n$ , $p$ und $k$ ein. Dokumentiere, was du gerechnet hast, etwa „Binomialverteilung mit $n = 8$ , $p = 0{,}7$ , $P(X \leq 5)$ “. Das ist der Technologieeinsatz, den die Klausur nachvollziehbar sehen will.
4.Was bedeutet der Erwartungswert $n \cdot p$ konkret?+
Antwort:Er ist die Anzahl der Erfolge, die du bei vielen Wiederholungen des ganzen Versuchs im Durchschnitt erwartest. Bei 150 Besucher:innen und einer Kaufwahrscheinlichkeit von 18 % sind das 27 Käufe pro Tag im Mittel. An einem einzelnen Tag können es mehr oder weniger sein.
5.Wie bestimme ich $n$ , wenn eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben ist?+
Antwort:Stelle die Ungleichung auf, meist über das Gegenereignis, etwa $1 - (1 - p)^n \geq P$ . Forme um zu $(1 - p)^n \leq 1 - P$ und logarithmiere. Weil $\ln(1 - p)$ negativ ist, dreht sich beim Dividieren das Zeichen. Runde auf die nächste ganze Zahl auf und prüfe mit $n$ und $n - 1$ .
6.Ist das Ziehen ohne Zurücklegen auch binomialverteilt?+
Antwort:Nein, genau genommen nicht: Die Wahrscheinlichkeit ändert sich von Zug zu Zug. Ist die Gesamtmenge sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, ändert sich $p$ kaum, und das Binomialmodell ist eine gute Näherung. Bei einer kleinen Menge rechnest du mit dem Baumdiagramm und den Pfadregeln.
7.Steht die Formel der Binomialverteilung in der Formelsammlung?+
Antwort:Ja, Kapitel 19 „Wahrscheinlichkeit“ auf Seite 17 der Formelsammlung des BMB enthält $P(X = k)$ , den Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung. Die Formelsammlung darfst du in der Klausur verwenden. Wann das Modell passt und was ein Ergebnis bedeutet, musst du aber selbst begründen.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

Schreib kostenlos die Klausur vom Herbsttermin 2026 — 270 Minuten, mit Auswertung

Klausur kostenlos schreiben

Binomialverteilung: Formel, Erwartungswert und Standardabweichung

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Das Modell prüfen

2.Die Frage übersetzen

3.Berechnen

4.Erwartungswert und Streuung

5.Im Kontext deuten

Beispiele

1.Modell begründen, Erwartungswert und Standardabweichung

2.Genau und mindestens, mit der Formel und mit Technologie

3.Die ganze Verteilung

4.Wie oft mindestens?

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Teste dich selbst

Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen