Kleksa

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen

Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme beschreiben Zusammenhänge, in denen die Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du solche Probleme aus einem Text aufstellst, ein System in zwei Variablen löst, die drei Lösungsfälle erkennst und geometrisch als Geraden deutest.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HUM: in 6 der 8.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB
Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

  • Mathe-Matura (AHS)

    • AG 2.2lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
    • AG 2.4lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
    • AG 2.5lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können

    Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.

    Haupttermin 2026: Aufgaben 3, 26a2; Haupttermin 2025: Aufgaben 3, 28a1; Haupttermin 2024: Aufgaben 3, 27c2; Haupttermin 2023: Aufgabe 3; Haupttermin 2022: Aufgabe 28b2

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Alle Themen dieser KlausurDie FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

  • Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

    • Deskriptor 2.4Probleme aus Anwendungsgebieten durch lineare Gleichungen mit einer Unbekannten modellieren, diese lösen und die Lösungen interpretieren; im Kontext argumentieren
    • Deskriptor 2.7Probleme aus Anwendungsgebieten durch lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen modellieren, diese lösen, die möglichen Lösungsfälle grafisch veranschaulichen und interpretieren; im Kontext argumentieren
    • Deskriptor 2.8Probleme aus Anwendungsgebieten durch lineare Gleichungssysteme in mehreren Variablen modellieren, diese mittels Technologieeinsatz lösen; das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren; im Kontext argumentieren

    Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgaben 1a1, 5b1; Haupttermin 2026: Aufgabe 5b1; Wintertermin 2026: Aufgabe 3b1; Herbsttermin 2025: Aufgabe 4a1; Haupttermin 2025: Aufgabe 2a1; Wintertermin 2025: Aufgabe 2a2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 1a1, 1a2, 1b1; Haupttermin 2024: Aufgaben 1a1, 1a2, 5a1

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Die FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

  • Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B

    • B_W1_2.1lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen modellieren, deren Lösungsbereich mittels Technologieeinsatz ermitteln; interpretieren und im Kontext argumentieren

    Gefragt in 6 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgaben 9a1, 9b1, 9b2, 9b3, 9b4, 9c1; Haupttermin 2026: Aufgaben 9a1, 9a2, 9b1, 9b2, 9b3; Herbsttermin 2025: Aufgaben 9a1, 9b1, 9b2, 9b3; Haupttermin 2025: Aufgaben 9a1, 9b1, 9b2, 9c1, 9c2, 9c3; Wintertermin 2025: Aufgaben 9a1, 9a2, 9b1, 9b2, 9b3, 9c1; Haupttermin 2024: Aufgaben 9a1, 9b1, 9b2, 9b3, 9b4, 9c1

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Alle Themen dieser KlausurDie FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

  • Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B

    • B_T2_2.5lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise übertragen und umgekehrt und diese Darstellungsform mithilfe der Matrizenmultiplikation begründen

    Gefragt in einer der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Haupttermin 2025: Aufgabe 7a3

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Alle Themen dieser KlausurDie FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst
  • Eine lineare Gleichung hat die Form a⋅x+b=ca \cdot x + b = c und wird durch Äquivalenzumformungen gelöst: Du darfst auf beiden Seiten dasselbe addieren oder subtrahieren und mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren oder dividieren.
  • Bei einer linearen Ungleichung gelten dieselben Umformungen, mit einer Ausnahme: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Die Lösung ist meist ein Intervall.
  • Ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen besteht aus zwei Gleichungen a1⋅x+a_1 \cdot x +{}b1⋅y= b_1 \cdot y ={}c1 c_1 und a2⋅x+a_2 \cdot x +{}b2⋅y= b_2 \cdot y ={}c2 c_2. Du löst es durch Einsetzen, Gleichsetzen oder Eliminieren (Addieren oder Subtrahieren passender Vielfacher der Gleichungen).
  • Es gibt drei Lösungsfälle: genau eine Lösung (die Geraden schneiden einander), keine Lösung (die Geraden sind parallel und verschieden) oder unendlich viele Lösungen (die Geraden fallen zusammen). Beim Eliminieren erkennst du die beiden letzten an einer Zeile 0=c0 = c mit c≠0c \neq 0 bzw. 0=00 = 0.
  • Zum Aufstellen legst du zuerst fest, was xx und yy bedeuten, und übersetzt dann jeden Satz der Angabe in eine Gleichung. Für eine eindeutige Lösung brauchst du so viele Gleichungen wie Unbekannte.
  • Systeme mit mehr als zwei Variablen löst du mit deiner Technologie; die Aufgabe bleibt dieselbe: aufstellen, lösen lassen, das Ergebnis im Kontext deuten. Eine Probe in allen Gleichungen zeigt dir, ob das Ergebnis stimmt.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

  1. 1.Unbekannte festlegen

    Schreib an, was xx und yy bedeuten, mit Einheit. Ohne diese Festlegung ist auch ein richtiges Gleichungssystem schwer zu lesen.

  2. 2.Gleichungen aufstellen

    Übersetze jeden Satz der Angabe in eine Gleichung oder Ungleichung. Prüfe, ob du so viele Gleichungen wie Unbekannte hast.

  3. 3.Ein Verfahren wählen

    Ist eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst, setzt du ein. Haben beide Gleichungen gleiche Koeffizienten bei einer Variablen, eliminierst du.

  4. 4.Lösen und den Lösungsfall prüfen

    Rechne zuerst eine Variable aus, dann die zweite. Entsteht eine falsche Aussage wie 0=50 = 5, gibt es keine Lösung; entsteht 0=00 = 0, gibt es unendlich viele.

  5. 5.Probe und Deutung

    Setze das Ergebnis in beide Ausgangsgleichungen ein und formuliere einen Antwortsatz mit Einheit.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

  1. 1.Ein System aus einem Text aufstellen und eliminieren

    Drei Erwachsene und zwei Kinder zahlen im Kino zusammen € 41, zwei Erwachsene und vier Kinder zahlen € 46. Berechne den Preis einer Karte für Erwachsene und für Kinder.

  2. 2.Das Einsetzverfahren

    Löse das Gleichungssystem I: y=3⋅x−5y = 3 \cdot x - 5 und II: 2⋅x+3⋅y=2 \cdot x + 3 \cdot y ={}18 18.

  3. 3.Die drei Lösungsfälle

    Gegeben ist I: x+2⋅y=4x + 2 \cdot y = 4 und II: 3⋅x+6⋅y=3 \cdot x + 6 \cdot y ={}c c mit c∈Rc \in \mathbb{R}. Für welche Werte von cc hat das System keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen?

  4. 4.Eine lineare Ungleichung

    Löse die Ungleichung −3⋅x+7≤22-3 \cdot x + 7 \leq 22 und gib die Lösungsmenge als Intervall an.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe
So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.
ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 1.

Orangensaft Marc mischt aa Liter Orangensaft mit einem Zuckergehalt von 54 g/L und bb Liter Orangensaft mit einem Zuckergehalt von 136 g/L. Er erhält cc Liter dieser Mischung, deren Zuckergehalt 87 g/L beträgt (a,b,c∈R+a, b, c \in \mathbb{R}^+). Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine in jedem Fall richtige Aussage entsteht.
Zur Berechnung von aa und bb bei gegebenem cc können die Gleichungen und verwendet werden.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Haupttermin 2023/24 (7. Mai 2024)

Aufgabe 3

Gleichungssystem Gegeben ist ein Gleichungssystem in xx und yy mit a,c∈Ra, c \in \mathbb{R}. I: 2⋅x−y=\text{I: } 2 \cdot x - y ={}3 3 II: a⋅x+\text{II: } a \cdot x +{}2⋅y= 2 \cdot y ={}c c Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung. Geben Sie jeweils einen Wert von aa und cc an.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Haupttermin 2023/24 (7. Mai 2024), Aufgabe 3 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, nennt der Kompetenzkatalog unter Deskriptor 2.4 lineare Gleichungen mit einer Unbekannten, unter Deskriptor 2.7 lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen mit grafischer Veranschaulichung der Lösungsfälle und unter Deskriptor 2.8 Systeme in mehreren Variablen, die du mit Technologie löst. Dazu gehört, das System aufzustellen: Lege die Variablen fest und schreib jede Gleichung an. Das ist dein Rechenansatz. Bei drei Unbekannten genügt es, den Lösungsvorgang mit der verwendeten Funktion und den Eingaben zu dokumentieren.
ZentralmaturaBHS Teil A

Spielfiguren (Aufgabe 5, Teil b)

Spielfiguren für Trivial Pursuit können mit bis zu 6 färbigen Steinen befüllt werden. In der nebenstehenden Abbildung sind eine befüllte und eine nicht befüllte Spielfigur dargestellt.
Bildquelle: BMB — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)
Anna, Paula und Lilli spielen Trivial Pursuit. Nach einigen Runden ergibt sich folgender Spielstand: Paula hat doppelt so viele Steine wie Anna. Lilli hat um 1 Stein mehr als Anna. Anna, Paula und Lilli haben zusammen 9 Steine. AA ... Anzahl der Steine von Anna PP ... Anzahl der Steine von Paula LL ... Anzahl der Steine von Lilli

Aufgabe 5, Teilaufgabe b1

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von AA, PP und LL.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BHS), Teil A (alle Cluster), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 5, Teilaufgabe b1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

In Teil B der HUM steht unter B_W1_2.1, dass du lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen modellierst, ihren Lösungsbereich mit Technologie ermittelst und das Ergebnis im Kontext interpretierst. Jede Ungleichung beschreibt eine Halbebene, der Lösungsbereich ist ihr gemeinsamer Teil. Mengen, die nicht negativ sein können, geben die Nichtnegativitätsbedingung x≥0x \geq 0 und y≥0y \geq 0 vor. Lies im Bild ab, welche Gerade zu welcher Bedingung gehört.

Angewandte Mathematik (HTL 2)

In Teil B der HTL 2 steht unter B_T2_2.5, dass du lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise überträgst und umgekehrt. Das System I: 2⋅x+y=72 \cdot x + y = 7, II: x−y=2x - y = 2 wird zu (211−1)⋅(xy)=(72)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}. Die erste Matrix enthält die Koeffizienten, der Vektor rechts die Zahlen der rechten Seiten. Das Kapitel 12 der Formelsammlung (Seite 10) gibt die allgemeine Form für nn Gleichungen in nn Variablen an.

Teste dich selbst

gleich auswerten
Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.
AHS

Aufgabe 1.

Gegeben ist das Gleichungssystem I: 3⋅x−2⋅y=3 \cdot x - 2 \cdot y ={}5 5 und II: −6⋅x+4⋅y=-6 \cdot x + 4 \cdot y ={}c c mit c∈Rc \in \mathbb{R}. Für welchen Wert von cc hat das System unendlich viele Lösungen?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 2.

Gegeben sind die Gleichungen I: y=2⋅x+1y = 2 \cdot x + 1 und II: y=2⋅x−3y = 2 \cdot x - 3. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 3.

Ein Kiosk verkauft Zeitungen zu € 2,50 und Magazine zu € 4. An einem Tag werden 36 Stück um zusammen € 105 verkauft. Wie viele Magazine waren es?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 4.

Gegeben ist die Ungleichung −4⋅x+9<25-4 \cdot x + 9 < 25 mit x∈Zx \in \mathbb{Z}. Gib die kleinste ganze Zahl an, die diese Ungleichung erfüllt.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen
  • Das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen. Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl wird aus << ein >> und aus ≤\leq ein ≥\geq.
  • Nur eine Variable ausrechnen. Ein Gleichungssystem ist erst gelöst, wenn du xx und yy hast; mach die Probe in beiden Gleichungen.
  • Den Text falsch übersetzen. „Dreimal so viele Äpfel wie Birnen“ ist a=3⋅ba = 3 \cdot b, nicht b=3⋅ab = 3 \cdot a. Schreib die Bedeutung der Variablen an, bevor du die Gleichungen aufstellst.
  • Beim Eliminieren nur eine Seite multiplizieren. Multipliziere die ganze Gleichung, links und rechts, mit derselben Zahl.
  • Das Ergebnis 0=00 = 0 oder 0=50 = 5 falsch deuten. 0=00 = 0 heißt unendlich viele Lösungen, 0=50 = 5 heißt keine Lösung, nicht „Lösung null“.

Merk dir

  • Ungleichung: Bei einer negativen Zahl dreht sich das Zeichen um.
  • Lösungsverfahren: Einsetzen, Gleichsetzen, Eliminieren.
  • Drei Lösungsfälle: eine Lösung (Geraden schneiden), keine (parallel), unendlich viele (identisch).
  • Für zwei Unbekannte brauchst du zwei Gleichungen, für drei Unbekannte drei.
  • Immer eine Probe in allen Gleichungen und einen Antwortsatz mit Einheit.

Häufige Fragen

  1. 1.Welches Lösungsverfahren soll ich nehmen?+
    Antwort:Das, bei dem du am wenigsten rechnen musst. Ist eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst, passt das Einsetzen. Stehen in beiden Gleichungen dieselben Ausdrücke, passt das Gleichsetzen. Sonst eliminierst du, indem du eine Gleichung so multiplizierst, dass eine Variable beim Addieren oder Subtrahieren wegfällt. Alle drei Verfahren liefern dieselbe Lösung.
  2. 2.Woran erkennst du, dass es keine oder unendlich viele Lösungen gibt?+
    Antwort:Beim Rechnen fällt am Ende die Variable weg. Bleibt eine falsche Aussage wie 0=50 = 5 stehen, gibt es keine Lösung, die Geraden sind parallel. Bleibt eine wahre Aussage wie 0=00 = 0 stehen, gibt es unendlich viele Lösungen, die Geraden fallen zusammen. In der Zeichnung siehst du dasselbe an den Steigungen der Geraden.
  3. 3.Wie viele Gleichungen brauche ich?+
    Antwort:So viele, wie du Unbekannte hast. Mit zwei Gleichungen für drei Unbekannte gibt es im Allgemeinen unendlich viele Lösungen. Prüfe beim Aufstellen, ob jede Angabe des Textes in genau einer Gleichung vorkommt und ob du keine Bedingung doppelt verwendet hast.
  4. 4.Darf ich ein Gleichungssystem mit der Technologie lösen?+
    Antwort:Ja, deine Technologie ist in der ganzen Klausur erlaubt. In Teil A der BHS nennt der Kompetenzkatalog sogar ausdrücklich, dass Systeme in mehreren Variablen mit Technologie gelöst werden. Schreib aber das aufgestellte System an und nenne die verwendete Funktion mit ihren Eingaben, damit der Rechenansatz nachvollziehbar bleibt.
  5. 5.Wie stelle ich ein Gleichungssystem aus einem Text auf?+
    Antwort:Lege zuerst die Variablen fest, mit Bedeutung und Einheit. Danach nimmst du jeden Satz einzeln: Aus „zusammen“ wird eine Summe, aus „dreimal so viel“ ein Faktor 3, aus „um 5 mehr“ ein Summand 5. Zum Schluss prüfst du, ob du so viele Gleichungen wie Unbekannte hast.
  6. 6.Was steht in der Formelsammlung dazu?+
    Antwort:Für die Lösungsverfahren und die Lösungsfälle nichts. Das Kapitel 12 der Formelsammlung (Seite 10) zeigt nur die Matrizenschreibweise für nn Gleichungen in nn Variablen, und die gehört zum Katalog der HTL 2. Wie du ein System aufstellst und löst, musst du selbst können.
  7. 7.Wie deute ich die Lösung geometrisch?+
    Antwort:Jede Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Die Lösung des Systems sind die Koordinaten ihres Schnittpunkts. Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt, zusammenfallende Geraden haben alle Punkte gemeinsam. Bei einer Ungleichung beschreibt die Lösung eine Halbebene.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

Schreib kostenlos die Klausur vom Herbsttermin 2026 — 270 Minuten, mit Auswertung