Care sunt formulele de derivare pe care trebuie să le știu pe de rost?

La bacalaureat nu primești formule, deci le știi pe de rost: derivata unei puteri, a radicalului, a lui $e^x$, a lui $a^x$ și a logaritmului natural, plus regulile pentru sumă, produs și cât. La acestea se adaugă derivarea unei funcții din interior, de forma $\ln u$ sau $e^u$, care apare în enunțurile CNCE.

Cum aflu ecuația tangentei la un grafic?

Calculezi $f(x_0)$ și $f'(x_0)$ și le pui în $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. Dacă ți se dă doar abscisa $x_0$, ordonata o afli din $f(x_0)$. Dacă tangenta trebuie să fie paralelă cu $Ox$, rezolvi $f'(x_0) = 0$; dacă trebuie să fie paralelă cu o dreaptă de pantă dată, egalezi $f'(x_0)$ cu acea pantă.

Cum determin intervalele de monotonie?

Rezolvi ecuația $f'(x) = 0$, ordonezi soluțiile pe axă și studiezi semnul lui $f'$ pe fiecare interval dintre ele, din semnele factorilor. Unde $f' \geq 0$, funcția este crescătoare, unde $f' \leq 0$, descrescătoare. CNCE scrie intervalele închise la capetele în care funcția este definită.

Cum folosesc derivata ca să demonstrez o inegalitate?

Definești o funcție ajutătoare, de obicei diferența dintre cele două părți ale inegalității, îi studiezi monotonia cu derivata și afli valoarea minimă sau maximă. Dacă minimul este $0$ sau o constantă convenabilă, inegalitatea rezultă, ca la exemplul cu $x - \ln x$ de mai sus.

Ce înseamnă că o funcție este convexă sau concavă?

Pe un interval pe care $f'' \geq 0$ funcția este convexă, iar pe unul pe care $f'' \leq 0$ este concavă. Pentru a le afla, calculezi derivata a doua și îi studiezi semnul, la fel ca pentru prima derivată. Derivata a doua este în programă la toate cele trei profiluri.

Ce anume din analiză apare numai în programa de M_mate-info?

Teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange din capitolul despre funcții derivabile și punctele de inflexiune sunt numite în programa de M_mate-info. Derivatele, tangenta, monotonia, extremele, derivata a doua și regula lui l'Hospital sunt în programa tuturor celor trei profiluri cu analiză: M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic.

În ce subiect apar derivatele la bacalaureat?

În problema 1 din subiectul al III-lea, în fiecare iunie din 2023 până în 2026, la M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic. M_pedagogic nu are analiză matematică în programă.

Bacalaureat 2027 · matematică

Derivate la bacalaureat: formule, ecuația tangentei, monotonie și puncte de extrem

Problema 1 din subiectul al III-lea dă o funcție și cere, în trei itemi, derivata ei, apoi, de regulă, o limită sau o tangentă, apoi monotonia, extremele, o inegalitate sau numărul de soluții ale unei ecuații. Aici ai formulele și regulile de derivare, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu barem.

La M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic: în fiecare an 2023–2026, subiectul al III-lea, problema 1.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Derivata funcției $f$ în $x_0$ este $f'(x_0) ={}$ $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ , când limita există și este finită. Geometric, $f'(x_0)$ este panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0$ .
Formule: $(c)' = 0$ , $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$ , $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ , $\left(e^x\right)' = e^x$ , $\left(a^x\right)' = a^x \ln a$ , $(\ln x)' ={}$ $\dfrac{1}{x}$ .
Reguli: $(f \pm g)' ={}$ $f' \pm g'$ , $(cf)' = c f'$ , $(fg)' = f'g + fg'$ , $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ . Pentru funcții de forma $e^{u}$ și $\ln u$ : $\left(e^{u}\right)' = u'e^{u}$ , $(\ln u)' ={}$ $\dfrac{u'}{u}$ .
Tangenta la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0$ are ecuația $y - f(x_0) ={}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ . Ea este paralelă cu axa $Ox$ exact când $f'(x_0) = 0$ .
Monotonia: dacă $f'(x) \geq 0$ pe un interval, $f$ este crescătoare pe el; dacă $f'(x) \leq 0$ , este descrescătoare. Un punct $x_0$ în care $f'(x_0) = 0$ este punct de extrem când $f'$ își schimbă semnul în $x_0$ : minim, de la $-$ la $+$ , maxim, de la $+$ la $-$ .
Derivata a doua: dacă $f''(x) \geq 0$ pe un interval, $f$ este convexă pe el; dacă $f''(x) \leq 0$ , este concavă. Programa de M_mate-info numește și punctele de inflexiune.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Scrie domeniul și forma funcției
Notează unde este definită $f$ și ce formă are: produs, raport, sumă. Alege formula sau regula potrivită; la un raport folosești regula câtului, la $e^x \cdot (\ldots)$ regula produsului.
2.Derivează și adu la forma cerută
Calculează $f'$ cu regulile de mai sus. Când enunțul îți dă rezultatul („Arată că $f'(x) = \ldots$ ”), simplifică până ajungi la el: desfă parantezele la numărător și descompune în factori.
3.Rezolvă $f'(x) = 0$ și studiază semnul
Află punctele în care derivata se anulează. Semnul lui $f'$ pe fiecare interval dintre ele îl afli dintr-un tabel de semne, din semnele factorilor. Scrie intervalele cu capetele incluse, cum cere CNCE: $f$ este crescătoare pe $[a, b]$ .
4.Trage concluziile din semnul lui $f'$
Monotonia o citești direct. Un punct în care semnul se schimbă este extrem; valoarea lui o calculezi cu $f(x_0)$ . Valoarea minimă sau maximă servește la demonstrarea inegalităților: dacă minimul lui $f$ este $m$ , atunci $f(x) \geq m$ .
5.Pentru tangentă calculează $f(x_0)$ și $f'(x_0)$
Înlocuiește în $y - f(x_0) ={}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ și scrie ecuația sub forma $y = mx + n$ , cu $m = f'(x_0)$ . Dacă tangenta este paralelă cu o dreaptă dată, impui $f'(x_0)$ egal cu panta ei.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Derivata unui raport
Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \setminus \{-{}$ $1\} \to \mathbb{R}$ , $f(x) ={}$ $\dfrac{x^2}{x + 1}$ . Arată că $f'(x) ={}$ $\dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$ .
2.Ecuația tangentei
Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ . Determină ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 3$ .
3.Monotonie și puncte de extrem
Pentru aceeași funcție, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ , determină intervalele de monotonie și punctele de extrem.
4.O inegalitate cu valoarea minimă
Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x - \ln x$ . Arată că $\ln x \leq x - 1$ , pentru orice $x > 0$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul al III-lea, 1.a)

Problema 1.a) (0–5 p)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) ={}

\dfrac{x^3 - 4x}{x^2 + 5}

. a) Arătați că

f'(x) = \dfrac{\left(x^2 - 1\right)\left(x^2 + 20\right)}{\left(x^2 + 5\right)^2}

x \in \mathbb{R}

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 1.a) (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_tehnologic

Bacalaureat 2025, matematică M_tehnologic — subiectul al III-lea, 1.b)

Problema 1.b) (0–5 p)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) ={}

\dfrac{x - 2}{e^x}

. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

f

în punctul de abscisă

x = 0

, situat pe graficul funcției

f

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2025, Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 1.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în fiecare an 2023–2026
- Derivabilitate (clasa a XI-a)
- Reprezentarea grafică a funcțiilor (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: III.1 · 2024: III.1 · 2025: III.1 · 2026: III.1
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în fiecare an 2023–2026
- Funcții derivabile (clasa a XI-a)
- Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: III.1 · 2024: III.1 · 2025: III.1 · 2026: III.1
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în fiecare an 2023–2026
- Funcții derivabile (clasa a XI-a)
- Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: III.1 · 2024: III.1 · 2025: III.1 · 2026: III.1
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră funcția

f : \left(-1, +\infty\right) \to \mathbb{R}

f(x) ={}

\dfrac{-2x - 4}{x + 1}

. Calculați

f'(2)

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 2. (0–1)

Se consideră funcția

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

f(x) = x^2 + 2\ln x

. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

f

în punctul de abscisă

x = 1

, situat pe graficul funcției

f

. Scrieți ecuația sub forma

y = mx + n

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

m =

n =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră funcția

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

f(x) ={}

3x + \dfrac{3}{x}

. Determinați valoarea minimă a funcției

f

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 4. (0–1)

Se consideră funcția

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

f(x) = x^2 + 3\ln x

. Calculați

f''(2)

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 5. (0–1)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = xe^x

. Determinați intervalul pe care funcția

f

este crescătoare, cel mai mare cu această proprietate.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Derivezi un produs ca pe un produs de derivate. $(fg)'$ nu este $f' \cdot g'$ , ci $f'g + fg'$ . De exemplu, $(x \ln x)' = \ln x + 1$ , nu $1 \cdot \dfrac{1}{x}$ .
Uiți derivata funcției din interior. Pentru $\ln(2x + 1)$ derivata este $\dfrac{2}{2x + 1}$ , nu $\dfrac{1}{2x + 1}$ : $(\ln u)' ={}$ $\dfrac{u'}{u}$ . La fel, $\left(e^{3x}\right)' = 3e^{3x}$ .
Greșești semnul la regula câtului. Numărătorul este $f'g - fg'$ , în această ordine. Scris invers, rezultatul își schimbă semnul și monotonia iese pe dos.
Confunzi $f(x_0)$ cu $f'(x_0)$ la tangentă. Ecuația tangentei are nevoie de amândouă: valoarea funcției, pentru punct, și valoarea derivatei, pentru pantă. Dacă îți iese o dreaptă care nu trece prin punct, ai încurcat valorile.
Spui că $x_0$ este extrem pentru că $f'(x_0) = 0$ . Condiția nu este suficientă: la $f(x) = x^3$ derivata se anulează în $0$ , dar $0$ nu este extrem, pentru că semnul lui $f'$ nu se schimbă. Verifică schimbarea semnului.

Reține

$\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$ , $\left(e^x\right)' = e^x$ , $(\ln x)' ={}$ $\dfrac{1}{x}$ , $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$(fg)' = f'g + fg'$ și $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ .
$(\ln u)' ={}$ $\dfrac{u'}{u}$ și $\left(e^u\right)' = u'e^u$ .
Tangenta: $y - f(x_0) ={}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ ; paralelă cu $Ox$ când $f'(x_0) = 0$ .
$f' \geq 0$ : $f$ crescătoare; $f' \leq 0$ : $f$ descrescătoare. Extrem: $f'$ schimbă semnul.

Întrebări și răspunsuri

1.Care sunt formulele de derivare pe care trebuie să le știu pe de rost?+
Răspuns:La bacalaureat nu primești formule, deci le știi pe de rost: derivata unei puteri, a radicalului, a lui $e^x$ , a lui $a^x$ și a logaritmului natural, plus regulile pentru sumă, produs și cât. La acestea se adaugă derivarea unei funcții din interior, de forma $\ln u$ sau $e^u$ , care apare în enunțurile CNCE.
2.Cum aflu ecuația tangentei la un grafic?+
Răspuns:Calculezi $f(x_0)$ și $f'(x_0)$ și le pui în $y - f(x_0) ={}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ . Dacă ți se dă doar abscisa $x_0$ , ordonata o afli din $f(x_0)$ . Dacă tangenta trebuie să fie paralelă cu $Ox$ , rezolvi $f'(x_0) = 0$ ; dacă trebuie să fie paralelă cu o dreaptă de pantă dată, egalezi $f'(x_0)$ cu acea pantă.
3.Cum determin intervalele de monotonie?+
Răspuns:Rezolvi ecuația $f'(x) = 0$ , ordonezi soluțiile pe axă și studiezi semnul lui $f'$ pe fiecare interval dintre ele, din semnele factorilor. Unde $f' \geq 0$ , funcția este crescătoare, unde $f' \leq 0$ , descrescătoare. CNCE scrie intervalele închise la capetele în care funcția este definită.
4.Cum folosesc derivata ca să demonstrez o inegalitate?+
Răspuns:Definești o funcție ajutătoare, de obicei diferența dintre cele două părți ale inegalității, îi studiezi monotonia cu derivata și afli valoarea minimă sau maximă. Dacă minimul este $0$ sau o constantă convenabilă, inegalitatea rezultă, ca la exemplul cu $x - \ln x$ de mai sus.
5.Ce înseamnă că o funcție este convexă sau concavă?+
Răspuns:Pe un interval pe care $f'' \geq 0$ funcția este convexă, iar pe unul pe care $f'' \leq 0$ este concavă. Pentru a le afla, calculezi derivata a doua și îi studiezi semnul, la fel ca pentru prima derivată. Derivata a doua este în programă la toate cele trei profiluri.
6.Ce anume din analiză apare numai în programa de M_mate-info?+
Răspuns:Teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange din capitolul despre funcții derivabile și punctele de inflexiune sunt numite în programa de M_mate-info. Derivatele, tangenta, monotonia, extremele, derivata a doua și regula lui l'Hospital sunt în programa tuturor celor trei profiluri cu analiză: M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic.
7.În ce subiect apar derivatele la bacalaureat?+
Răspuns:În problema 1 din subiectul al III-lea, în fiecare iunie din 2023 până în 2026, la M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic. M_pedagogic nu are analiză matematică în programă.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Derivate la bacalaureat: formule, ecuația tangentei, monotonie și puncte de extrem

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Scrie domeniul și forma funcției

2.Derivează și adu la forma cerută

3.Rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0 și studiază semnul

4.Trage concluziile din semnul lui f′f'f′

5.Pentru tangentă calculează f(x0)f(x_0)f(x0​) și f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)

Exemple rezolvate

1.Derivata unui raport

2.Ecuația tangentei

3.Monotonie și puncte de extrem

4.O inegalitate cu valoarea minimă

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse

3.Rezolvă $f'(x) = 0$ și studiază semnul

4.Trage concluziile din semnul lui $f'$

5.Pentru tangentă calculează $f(x_0)$ și $f'(x_0)$