Care este diferența dintre primitivă și integrala definită?

Primitiva unei funcții $f$ este o funcție $F$ cu $F' = f$; este o familie de funcții, care diferă prin constante. Integrala definită este un număr: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, pentru o primitivă oarecare $F$. Constanta se reduce la scădere, deci nu o scrii la integrala definită.

Ce primitive trebuie să știu pe de rost?

La bacalaureat nu primești formule: știi primitivele puterilor, ale lui $\frac{1}{x}$, ale lui $e^x$ și $a^x$, apoi liniaritatea și cazul $\dfrac{u'}{u}$. Cu ele și cu integrarea prin părți se rezolvă majoritatea cerințelor. Verifică-ți primitiva derivând-o.

Când folosesc integrarea prin părți?

Când integrandul este un produs în care una dintre funcții se simplifică prin derivare, de obicei polinomul, iar cealaltă se integrează ușor: $xe^x$, $x\ln x$, $(x + 1)e^x$. Alegi $f$ funcția care se simplifică prin derivare și $g'$ cealaltă, și aplici formula $fg - \int f'g$.

Cum calculez volumul unui corp de rotație?

Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $f$, pe $[a, b]$, în jurul axei $Ox$ este $V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$. Verificare cu un con: pentru $f(x) = x$ pe $[0, 3]$ obții $\pi \cdot \dfrac{27}{3} = 9\pi$, adică $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ cu $r = h = 3$.

Cum calculez aria dintre grafic și axa $Ox$?

Calculezi $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$. Dacă $f \geq 0$ pe tot intervalul, este chiar $\displaystyle\int_a^b f$. Dacă $f$ își schimbă semnul, găsești punctele în care se anulează, integrezi pe fiecare bucată și aduni valorile absolute, ca la exemplul cu parabola.

Cum se arată o egalitate de forma $\int_0^1 f(x)\,dx = \ldots$ într-un subiect CNCE?

Întâi simplifici integrandul, scriind funcția dată. Apoi găsești primitiva și aplici formula Leibniz–Newton, scriind $F(b) - F(a)$ cu valorile înlocuite. Baremul dă punctaj separat pentru alegerea primitivei și pentru rezultat, deci scrie ambele etape, nu doar rezultatul.

Ce nu este în programa de M_tehnologic?

La M_tehnologic, calculul integralelor de forma $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ se limitează la gradul lui $Q$ cel mult $2$, spre deosebire de M_mate-info și M_șt-nat, unde este cel mult $4$. Restul — primitivele, formula Leibniz–Newton, părțile, schimbarea de variabilă, aria și volumul — este comun celor trei profiluri. Calculul unor limite de șiruri cu ajutorul integralei definite apare numai în programa de M_mate-info.

Bacalaureat 2027 · matematică

Integrale la bacalaureat: primitive, formula Leibniz–Newton, aria și volumul

Problema 2 din subiectul al III-lea dă o funcție și cere trei calcule cu integrale legate de ea: una de calcul direct, după ce simplifici integrandul, una care cere o primitivă mai atentă (un logaritm, părți, o rădăcină) și una cu o arie, un volum, o limită sau un parametru. Aici ai primitivele uzuale, formula Leibniz–Newton, metodele de calcul, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu barem.

La M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic: în fiecare an 2023–2026, subiectul al III-lea, problema 2.

Programa de examen

M_mate-info

Primitive (antiderivate) · clasa a XII-a
Integrala definită · clasa a XII-a
Aplicații ale integralei definite · clasa a XII-a

M_șt-nat

Primitive (antiderivate) · clasa a XII-a
Integrala definită · clasa a XII-a
Aplicații ale integralei definite · clasa a XII-a

M_tehnologic

Primitive (antiderivate) · clasa a XII-a
Integrala definită · clasa a XII-a
Aplicații ale integralei definite · clasa a XII-a

OMEN nr. 4430/2014, păstrată de OMEC nr. 6059/2025 · sesiunile din iunie: în fiecare an 2023–2026

La bacalaureat nu primești formule și nu ai voie cu calculatorul.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

O funcție $F$ este primitivă a lui $f$ pe un interval când $F' = f$ . Dacă $F$ este o primitivă, toate primitivele sunt $F + c$ , cu $c$ constantă; mulțimea lor este integrala nedefinită $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + c$ .
Primitive uzuale: $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ pentru $n \neq -1$ , $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln x + c$ pe $(0, +\infty)$ , $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + c$ , $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + c$ , $\displaystyle\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx = \sqrt{x} + c$ . Integrala este liniară: $\displaystyle\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$ .
Formula Leibniz–Newton: dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ și $F$ este o primitivă a ei, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_a^b$ . Integrala este liniară, aditivă în raport cu intervalul, $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ , și monotonă: dacă $f \geq 0$ pe $[a, b]$ , atunci $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ .
Integrarea prin părți, pentru $f$ și $g$ cu derivate continue: $\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \left. f(x)g(x) \right|_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$ . Se alege $g'$ astfel încât $g$ să se găsească ușor, iar $f'$ să fie mai simplă decât $f$ . De regulă, funcția $\ln x$ se ia drept $f$ , iar $e^x$ drept $g'$ .
Dacă numărătorul este, până la o constantă, derivata numitorului, $\displaystyle\int_a^b \dfrac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \left. \ln|u(x)| \right|_a^b$ . Raportul $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ se calculează prin descompunere în fracții simple, cu gradul lui $Q$ cel mult $4$ , la M_mate-info și M_șt-nat; la M_tehnologic gradul lui $Q$ este cel mult $2$ .
Aria: pentru $f$ continuă pe $[a, b]$ , suprafața delimitată de grafic, axa $Ox$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ are aria $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ ; dacă $f \geq 0$ , nu mai scrii modulul. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ este $V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ .

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Simplifică integrandul
La itemul a) din iunie 2023–2026, funcția $f$ este combinată cu o expresie care se reduce: $f(x)(x + 1)^3$ la M_mate-info în 2025, $f(x) - 3x - 3$ la M_șt-nat în 2025. Simplifică integrandul înainte să cauți primitiva; deseori rămâne o sumă de puteri.
2.Recunoaște forma integrandului
Sumă de puteri sau de exponențiale: primitive uzuale. Fracție cu numărătorul derivata numitorului (până la o constantă): $\ln|u|$ . Produs între polinom și $e^x$ sau $\ln x$ : integrare prin părți. Altfel, încearcă o schimbare de variabilă $t = u(x)$ , cu capetele schimbate odată cu ea.
3.Verifică primitiva prin derivare
Derivează primitiva găsită: trebuie să obții integrandul. O constantă pierdută, de exemplu $\dfrac{2}{3}$ sau $\dfrac{1}{2}$ , se descoperă imediat.
4.Aplică formula Leibniz–Newton
Scrie $F(b) - F(a)$ cu parantezele la loc, mai ales când $F(a)$ este negativă. Simplifică logaritmii cu $\ln 1 = 0$ , $\ln a^k = k\ln a$ și $\ln a - \ln b ={}$ $\ln\dfrac{a}{b}$ , ca să ajungi la forma din enunț.
5.La arie studiază semnul, la volum ridică la pătrat
Pentru arie stabilește unde $f \geq 0$ și unde $f \leq 0$ pe interval și integrează $|f|$ pe bucăți, cu semnul schimbat acolo unde $f < 0$ . Pentru volum calculezi $\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ ; $f^2$ nu are probleme de semn.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Integrală de polinom
Calculează $\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 - 4x + 5\right) dx$ .
2.Logaritm din raportul $u'/u$
Calculează $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{x}{x^2 + 5}\,dx$ .
3.Integrare prin părți
Calculează $\displaystyle\int_1^e x \ln x\,dx$ .
4.Aria cu semn schimbat
Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Calculează aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 2$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2024, matematică M_mate-info — subiectul al III-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–5 p)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) ={}

\frac{4x}{3x^2 + 1}

. b) Arătați că

\int_0^1 f(x) \, dx ={}

\frac{4}{3} \ln 2

Sursa: CNPEE, Bacalaureat 2024, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 2.b) (varianta 10). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEM_tehnologic

Bacalaureat 2026, matematică M_tehnologic — subiectul al III-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–5 p)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x + 1 + xe^x

. b) Arătați că

\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - x - 1\right) dx = 1

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 2.b) (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în fiecare an 2023–2026
- Primitive (antiderivate) (clasa a XII-a)
- Integrala definită (clasa a XII-a)
- Aplicații ale integralei definite (clasa a XII-a)
Itemi: 2023: III.2 · 2024: III.2 · 2025: III.2 · 2026: III.2
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în fiecare an 2023–2026
- Primitive (antiderivate) (clasa a XII-a)
- Integrala definită (clasa a XII-a)
- Aplicații ale integralei definite (clasa a XII-a)
Itemi: 2023: III.2 · 2024: III.2 · 2025: III.2 · 2026: III.2
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în fiecare an 2023–2026
- Primitive (antiderivate) (clasa a XII-a)
- Integrala definită (clasa a XII-a)
- Aplicații ale integralei definite (clasa a XII-a)
Itemi: 2023: III.2 · 2024: III.2 · 2025: III.2 · 2026: III.2
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = 6x^2 + 4x + 3

. Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției

f

, axa

Ox

și dreptele de ecuații

x = -1

și

x = 0

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 2. (0–1)

Calculați

\displaystyle\int_{3}^{6} \dfrac{1}{x - 1} \,dx

I =

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră funcția

g : [0, 1] \to \mathbb{R}

g(x) = \sqrt{3x + 2}

. Calculați volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției

g

în jurul axei

Ox

V =

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 4. (0–1)

Calculați

\displaystyle\int_{0}^{1} \left(e^x + 6x + 3\right) \,dx

I =

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 5. (0–1)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = -3x^2 + 6x

. Determinați primitiva

F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

a funcției

f

pentru care

F(0) = 8

F(x) =

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Scazi primitiva în ordinea greșită. Formula este $F(b) - F(a)$ , nu $F(a) - F(b)$ . Dacă îți iese o arie negativă, caută greșeala aici.
Pierzi constanta la o primitivă compusă. Pentru $\displaystyle\int \dfrac{1}{2x + 1}\,dx$ primitiva este $\dfrac{1}{2}\ln(2x + 1)$ , nu $\ln(2x + 1)$ : derivata lui $\ln(2x + 1)$ are factorul $2$ în plus. Derivează primitiva ca să verifici.
Calculezi aria cu integrala fără modul. Dacă $f$ schimbă semnul pe intervalul dat, integrala dă o diferență de arii, nu aria. Află unde se anulează $f$ și integrează pe bucăți, cu semnul schimbat unde $f < 0$ .
Uiți $\pi$ sau pătratul la volum. Volumul este $\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ . Dacă ai scris $\pi\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ sau ai uitat $\pi$ , valoarea iese greșită.
La integrarea prin părți alegi invers cele două funcții. Dacă $f(x) = x$ și $g'(x) = e^x$ , apare $\displaystyle\int e^x\,dx$ , ușor de calculat; dacă iei $f(x) = e^x$ și $g'(x) = x$ , integrala rămasă este mai grea decât cea de la care ai plecat. Încearcă să alegi astfel încât să scadă gradul polinomului.

Reține

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ , cu $F' = f$ .
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x$ , $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln x$ .
$\displaystyle\int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln|u|$ .
Părți: $\displaystyle\int f g' = fg - \int f'g$ .
Aria: $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ . Volumul: $\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ .

Întrebări și răspunsuri

1.Care este diferența dintre primitivă și integrala definită?+
Răspuns:Primitiva unei funcții $f$ este o funcție $F$ cu $F' = f$ ; este o familie de funcții, care diferă prin constante. Integrala definită este un număr: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ , pentru o primitivă oarecare $F$ . Constanta se reduce la scădere, deci nu o scrii la integrala definită.
2.Ce primitive trebuie să știu pe de rost?+
Răspuns:La bacalaureat nu primești formule: știi primitivele puterilor, ale lui $\frac{1}{x}$ , ale lui $e^x$ și $a^x$ , apoi liniaritatea și cazul $\dfrac{u'}{u}$ . Cu ele și cu integrarea prin părți se rezolvă majoritatea cerințelor. Verifică-ți primitiva derivând-o.
3.Când folosesc integrarea prin părți?+
Răspuns:Când integrandul este un produs în care una dintre funcții se simplifică prin derivare, de obicei polinomul, iar cealaltă se integrează ușor: $xe^x$ , $x\ln x$ , $(x + 1)e^x$ . Alegi $f$ funcția care se simplifică prin derivare și $g'$ cealaltă, și aplici formula $fg - \int f'g$ .
4.Cum calculez volumul unui corp de rotație?+
Răspuns:Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $f$ , pe $[a, b]$ , în jurul axei $Ox$ este $V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ . Verificare cu un con: pentru $f(x) = x$ pe $[0, 3]$ obții $\pi \cdot \dfrac{27}{3} ={}$ $9\pi$ , adică $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ cu $r = h = 3$ .
5.Cum calculez aria dintre grafic și axa $Ox$ ?+
Răspuns:Calculezi $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ . Dacă $f \geq 0$ pe tot intervalul, este chiar $\displaystyle\int_a^b f$ . Dacă $f$ își schimbă semnul, găsești punctele în care se anulează, integrezi pe fiecare bucată și aduni valorile absolute, ca la exemplul cu parabola.
6.Cum se arată o egalitate de forma $\int_0^1 f(x)\,dx ={}$ $\ldots$ într-un subiect CNCE?+
Răspuns:Întâi simplifici integrandul, scriind funcția dată. Apoi găsești primitiva și aplici formula Leibniz–Newton, scriind $F(b) - F(a)$ cu valorile înlocuite. Baremul dă punctaj separat pentru alegerea primitivei și pentru rezultat, deci scrie ambele etape, nu doar rezultatul.
7.Ce nu este în programa de M_tehnologic?+
Răspuns:La M_tehnologic, calculul integralelor de forma $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ se limitează la gradul lui $Q$ cel mult $2$ , spre deosebire de M_mate-info și M_șt-nat, unde este cel mult $4$ . Restul — primitivele, formula Leibniz–Newton, părțile, schimbarea de variabilă, aria și volumul — este comun celor trei profiluri. Calculul unor limite de șiruri cu ajutorul integralei definite apare numai în programa de M_mate-info.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Integrale la bacalaureat: primitive, formula Leibniz–Newton, aria și volumul

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Simplifică integrandul

2.Recunoaște forma integrandului

3.Verifică primitiva prin derivare

4.Aplică formula Leibniz–Newton

5.La arie studiază semnul, la volum ridică la pătrat

Exemple rezolvate

1.Integrală de polinom

2.Logaritm din raportul u′/uu'/uu′/u

3.Integrare prin părți

4.Aria cu semn schimbat

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse

2.Logaritm din raportul $u'/u$