Ce este o asimptotă și cum o caut?

Asimptota este o dreaptă de care graficul se apropie nelimitat. Caută în ordine: asimptote verticale în punctele în care funcția nu este definită și limita este infinită, asimptote orizontale din limitele la $\pm\infty$, iar pe cele oblice numai dacă nu există asimptotă orizontală spre capătul respectiv. La fiecare, spune spre ce capăt o ai.

Cum calculez limita unei fracții raționale la infinit?

Compară gradele. Dacă sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă gradul numărătorului este mai mic, limita este $0$; dacă este mai mare, limita este $+\infty$ sau $-\infty$, după semnul coeficienților și al capătului. Dacă vrei să arăți calculul, scoate factor comun cea mai mare putere a lui $x$ de sus și de jos.

Cum aplic regula lui l'Hospital?

Mai întâi verifici că limita este de forma $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$. Apoi derivezi separat numărătorul și numitorul și calculezi limita raportului derivatelor. Dacă obții din nou o nedeterminare, poți repeta. Programa de bacalaureat o prevede la M_mate-info, la M_șt-nat și la M_tehnologic.

Programa are o listă de limite remarcabile?

Nu pentru funcții. Programa de bacalaureat nu enumeră limite remarcabile de funcții; doar la M_mate-info, printre exemplele de șiruri, apare șirul $(1 + u_n)^{1/u_n}$, care definește numărul $e$. Limite cum sunt $\dfrac{e^x - 1}{x}$ sau $\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$ în $0$ le calculezi cu regula lui l'Hospital, ca la exemplul cu $e^{3x}$ de mai sus, nu prin recunoaștere pe de rost.

Ce înseamnă că o funcție este continuă într-un punct?

Înseamnă că limita din stânga, limita din dreapta și valoarea funcției în punct sunt egale. Dacă funcția are două expresii, una pentru $x \leq x_0$ și alta pentru $x > x_0$, calculezi cele două valori în $x_0$ și le egalezi; din ecuația obținută afli parametrul.

Cum scriu ecuația asimptotei oblice?

Calculezi $m = \lim \dfrac{f(x)}{x}$ și, dacă $m$ este finit și nenul, $n = \lim \left(f(x) - mx\right)$; apoi scrii $y = mx + n$ și precizezi spre ce capăt. Când enunțul îți dă dreapta, cum este la subiectul CNCE de mai sus, arăți doar că limita $\lim \left(f(x) - mx\right)$ este $0$.

În ce subiect apar limitele la bacalaureat?

La M_mate-info și M_șt-nat, în fiecare iunie din 2023 până în 2026, itemul b) al problemei 1 din subiectul al III-lea este o limită sau o asimptotă. La M_tehnologic, în aceeași perioadă, un item cu limită a apărut în 1 din 4 ani. M_pedagogic nu are limite de funcții în programă.

Bacalaureat 2027 · matematică

Limite de funcții și asimptote la bacalaureat: nedeterminări, asimptota oblică, continuitate

Limitele sunt începutul oricărui studiu de funcție la bacalaureat: din ele afli asimptotele și vezi ce face graficul la capetele domeniului. Itemul b) din problema 1 a subiectului al III-lea cere o limită sau o asimptotă, iar uneori și continuitatea într-un punct. Aici ai limitele uzuale, procedeele pentru fiecare nedeterminare, metoda pentru asimptote, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu barem.

La M_mate-info și M_șt-nat: în fiecare an 2023–2026, subiectul al III-lea, itemul b) al problemei 1; la M_tehnologic: în 1 din 4 ani.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Limitele uzuale, pentru $n \geq 1$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n ={}$ $+\infty$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} ={}$ $0$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x ={}$ $+\infty$ , $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x ={}$ $0$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x ={}$ $+\infty$ și $\lim\limits_{x \to 0, x > 0} \ln x ={}$ $-\infty$ .
La $\pm\infty$ , limita unei funcții raționale depinde de grade. Dacă numărătorul și numitorul au același grad, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă numărătorul are gradul mai mic, limita este $0$ ; dacă are gradul mai mare, limita este $\pm\infty$ . Scoate factor comun cea mai mare putere a lui $x$ .
Nedeterminările $\dfrac{0}{0}$ și $\dfrac{\infty}{\infty}$ se rezolvă prin simplificare după descompunerea în factori, prin amplificare cu conjugata, sau cu regula lui l'Hospital: dacă limita raportului $\dfrac{f}{g}$ este de forma $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$ , atunci $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} ={}$ $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ , când ultima limită există.
Cazul $\infty - \infty$ , de exemplu cu radicali, este în programa de M_mate-info; la M_șt-nat și M_tehnologic programa numește nedeterminările $\dfrac{0}{0}$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ și $0 \cdot \infty$ și cere raportul a două funcții de grad cel mult $2$ .
Asimptote. Verticală: dreapta $x = a$ , când $\lim\limits_{x \to a} f(x) ={}$ $\pm\infty$ (și cu limite laterale). Orizontală: dreapta $y = n$ , când $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) ={}$ $n$ este finită. Oblică spre $+\infty$ : dreapta $y = mx + n$ , cu $m ={}$ $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ finită și nenulă și $n = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(f(x) - mx\right)$ finită.
Spre același capăt, $+\infty$ sau $-\infty$ , graficul nu poate avea în același timp asimptotă orizontală și asimptotă oblică. Programa de M_mate-info numește asimptotele verticale și oblice, iar cea de M_șt-nat și de M_tehnologic și pe cele orizontale.
Continuitate într-un punct $x_0$ din domeniu: $\lim\limits_{x \to x_0, x < x_0} f(x) ={}$ $\lim\limits_{x \to x_0, x > x_0} f(x) ={}$ $f(x_0)$ . Pentru o funcție cu două ramuri, parametrul se află din egalitatea limitelor laterale cu $f(x_0)$ .

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Înlocuiește valoarea la care tinde $x$
Calculează întâi „limita prin înlocuire”. Dacă obții un număr sau $\pm\infty$ , fără nedeterminare, ai terminat. Dacă obții $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$ , ai o nedeterminare și treci la pasul următor.
2.Alege procedeul după forma expresiei
O funcție rațională la $\pm\infty$ : factor comun cea mai mare putere. $\dfrac{0}{0}$ cu polinoame: descompune în factori și simplifică. Diferență de radicali: amplifică cu conjugata. Exponențiale sau logaritmi la numărător și numitor: regula lui l'Hospital, după ce te-ai asigurat că ai $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$ .
3.Caută asimptotele în ordine
Verticală: în punctele din afara domeniului sau la capetele lui finite. Orizontală: limita la $+\infty$ și la $-\infty$ . Oblică: numai spre un capăt la care nu există asimptotă orizontală. Scrie spre ce capăt este fiecare.
4.Pentru asimptota oblică calculează $m$ , apoi $n$
Calculează $m ={}$ $\lim \dfrac{f(x)}{x}$ . Dacă $m$ este finit și nenul, calculează $n = \lim \left(f(x) - mx\right)$ . Dacă și $n$ este finit, asimptota este $y = mx + n$ . Dacă cerința îți dă dreapta, ca la subiectul CNCE de mai jos, arată doar că $\lim \left(f(x) - mx\right) = 0$ pentru $m$ dat.
5.La continuitate egalează limitele laterale
Calculează $\lim\limits_{x \to x_0, x < x_0} f(x)$ cu prima expresie, $\lim\limits_{x \to x_0, x > x_0} f(x)$ cu a doua, apoi egalează-le cu $f(x_0)$ . Obții o ecuație în parametru. Rezolvă-o și scrie răspunsul cerut.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Funcție rațională la infinit
Calculează $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ .
2.Nedeterminarea 0/0 la o funcție rațională
Calculează $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$ .
3.Regula lui l’Hospital
Calculează $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{\ln(1 + 2x)}$ .
4.Asimptote verticală și oblică
Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \setminus \{-{}$ $1\} \to \mathbb{R}$ , $f(x) ={}$ $\dfrac{2x^2 + 3x - 5}{x + 1}$ . Determină ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $f$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul al III-lea, 1.b)

Problema 1.b) (0–5 p)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) ={}

\dfrac{x^3 - 4x}{x^2 + 5}

. b) Arătați că dreapta de ecuație

y = x

este asimptota oblică spre

+\infty

la graficul funcției

f

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 1.b) (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2026, matematică M_șt-nat — subiectul al III-lea, 1.b)

Problema 1.b) (0–5 p)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = e^x\left(2x^2 - 3x\right)

. b) Arătați că

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x}{f(x) + x} = 2

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 1.b) (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în fiecare an 2023–2026
- Limite de funcții (clasa a XI-a)
- Continuitate (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: III.1 · 2024: III.1 · 2025: III.1 · 2026: III.1
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în fiecare an 2023–2026
- Limite de funcții (clasa a XI-a)
- Funcții continue (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: III.1 · 2024: III.1 · 2025: III.1 · 2026: III.1
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în 1 din 4 ani (2023–2026)
- Limite de funcții (clasa a XI-a)
- Funcții continue (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: III.1
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră funcția

f : \left(-4, +\infty\right) \to \mathbb{R}

f(x) ={}

\dfrac{2x^2 - 4}{x + 4}

. Determinați ecuația asimptotei oblice spre

+\infty

la graficul funcției

f

. Scrieți ecuația sub forma

y = mx + n

m =

n =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 2. (0–1)

Calculați

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x + 1}{-3x - 1}

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 3. (0–1)

Calculați

\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^2 + x - 20}{x^2 - 16}

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 4. (0–1)

Calculați

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{-2x} - e^{6x}}{x}

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 5. (0–1)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = \begin{cases} x^2 + x + 5, & x \leq -3 \\ mx + 2, & x > -3 \end{cases}

, unde

m

este număr real. Determinați numărul real

m

pentru care funcția

f

este continuă în punctul

x = -3

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Aplici regula lui l'Hospital fără nedeterminare. Dacă prin înlocuire nu obții $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$ , nu derivezi raportul: limita se calculează direct. Verifică forma înainte să derivezi.
Derivezi raportul ca pe o fracție. Regula lui l'Hospital derivează separat numărătorul și numitorul: $\lim \dfrac{f'}{g'}$ , nu $\left(\dfrac{f}{g}\right)'$ .
Calculezi $n$ fără să verifici $m$ . Pentru asimptota oblică ai nevoie ca $m ={}$ $\lim \dfrac{f(x)}{x}$ să fie finit și nenul; dacă $m = 0$ este vorba de o asimptotă orizontală, iar dacă $m = \pm\infty$ nu există asimptotă oblică.
Scrii o singură asimptotă oblică pentru ambele capete fără calcul. Spre $+\infty$ și spre $-\infty$ limitele se calculează separat; pot da aceeași dreaptă, ca la funcțiile raționale, dar la funcțiile cu $e^x$ sau $\ln x$ ele pot diferi.
La continuitate compari doar două ramuri între ele, nu și cu valoarea funcției. Trebuie ca $\lim\limits_{x \to x_0, x < x_0} f(x) ={}$ $\lim\limits_{x \to x_0, x > x_0} f(x) ={}$ $f(x_0)$ ; valoarea $f(x_0)$ este dată de ramura care conține semnul „ $=$ ” (de exemplu $x \leq x_0$ ).

Reține

Grad numărător $=$ grad numitor: limita la $\pm\infty$ este raportul coeficienților dominanți.
l'Hospital: $\lim \dfrac{f}{g} ={}$ $\lim \dfrac{f'}{g'}$ pentru $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$ .
Asimptota orizontală: $y = n$ , cu $n ={}$ $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)$ .
Asimptota oblică: $m ={}$ $\lim \dfrac{f(x)}{x}$ , $n = \lim \left(f(x) - mx\right)$ , dreapta $y = mx + n$ .
Asimptota verticală: $x = a$ când $\lim\limits_{x \to a} f(x) ={}$ $\pm\infty$ .
Continuitate în $x_0$ : limita din stânga $=$ limita din dreapta $= f(x_0)$ .

Întrebări și răspunsuri

1.Ce este o asimptotă și cum o caut?+
Răspuns:Asimptota este o dreaptă de care graficul se apropie nelimitat. Caută în ordine: asimptote verticale în punctele în care funcția nu este definită și limita este infinită, asimptote orizontale din limitele la $\pm\infty$ , iar pe cele oblice numai dacă nu există asimptotă orizontală spre capătul respectiv. La fiecare, spune spre ce capăt o ai.
2.Cum calculez limita unei fracții raționale la infinit?+
Răspuns:Compară gradele. Dacă sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă gradul numărătorului este mai mic, limita este $0$ ; dacă este mai mare, limita este $+\infty$ sau $-\infty$ , după semnul coeficienților și al capătului. Dacă vrei să arăți calculul, scoate factor comun cea mai mare putere a lui $x$ de sus și de jos.
3.Cum aplic regula lui l'Hospital?+
Răspuns:Mai întâi verifici că limita este de forma $\dfrac{0}{0}$ sau $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Apoi derivezi separat numărătorul și numitorul și calculezi limita raportului derivatelor. Dacă obții din nou o nedeterminare, poți repeta. Programa de bacalaureat o prevede la M_mate-info, la M_șt-nat și la M_tehnologic.
4.Programa are o listă de limite remarcabile?+
Răspuns:Nu pentru funcții. Programa de bacalaureat nu enumeră limite remarcabile de funcții; doar la M_mate-info, printre exemplele de șiruri, apare șirul $(1 + u_n)^{1/u_n}$ , care definește numărul $e$ . Limite cum sunt $\dfrac{e^x - 1}{x}$ sau $\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$ în $0$ le calculezi cu regula lui l'Hospital, ca la exemplul cu $e^{3x}$ de mai sus, nu prin recunoaștere pe de rost.
5.Ce înseamnă că o funcție este continuă într-un punct?+
Răspuns:Înseamnă că limita din stânga, limita din dreapta și valoarea funcției în punct sunt egale. Dacă funcția are două expresii, una pentru $x \leq x_0$ și alta pentru $x > x_0$ , calculezi cele două valori în $x_0$ și le egalezi; din ecuația obținută afli parametrul.
6.Cum scriu ecuația asimptotei oblice?+
Răspuns:Calculezi $m ={}$ $\lim \dfrac{f(x)}{x}$ și, dacă $m$ este finit și nenul, $n = \lim \left(f(x) - mx\right)$ ; apoi scrii $y = mx + n$ și precizezi spre ce capăt. Când enunțul îți dă dreapta, cum este la subiectul CNCE de mai sus, arăți doar că limita $\lim \left(f(x) - mx\right)$ este $0$ .
7.În ce subiect apar limitele la bacalaureat?+
Răspuns:La M_mate-info și M_șt-nat, în fiecare iunie din 2023 până în 2026, itemul b) al problemei 1 din subiectul al III-lea este o limită sau o asimptotă. La M_tehnologic, în aceeași perioadă, un item cu limită a apărut în 1 din 4 ani. M_pedagogic nu are limite de funcții în programă.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Limite de funcții și asimptote la bacalaureat: nedeterminări, asimptota oblică, continuitate

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Înlocuiește valoarea la care tinde xxx

2.Alege procedeul după forma expresiei

3.Caută asimptotele în ordine

4.Pentru asimptota oblică calculează mmm, apoi nnn

5.La continuitate egalează limitele laterale

Exemple rezolvate

1.Funcție rațională la infinit

2.Nedeterminarea 0/0 la o funcție rațională

3.Regula lui l’Hospital

4.Asimptote verticală și oblică

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse

1.Înlocuiește valoarea la care tinde $x$

4.Pentru asimptota oblică calculează $m$ , apoi $n$