Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Cilindrul, conul și sfera: aria și volumul corpurilor rotunde

La cilindru, la con și la sferă formulele de arie și de volum conțin pe π\pi, iar rezultatul se scrie sub forma aπa\pi. Partea grea este să afli raza, înălțimea sau generatoarea din date, de obicei din secțiunea axială. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și subiecte CNCE cu cheia lor din barem.

La Evaluarea Națională: în 1 din 4 ani (2023–2026), în itemul II.6 din 2025, cu un con.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Cilindrul circular drept are două baze, discuri cu raza RR, și înălțimea hh, egală cu generatoarea. Desfășurarea suprafeței laterale este un dreptunghi cu dimensiunile 2πR2\pi R și hh. Atunci Al=\mathcal{A}_l ={}2πRh 2\pi R h, At=\mathcal{A}_t ={}2πR(R+h) 2\pi R(R + h) și V=πR2hV = \pi R^2 h.
  • Conul circular drept are vârful VV, centrul bazei OO, raza R=OAR = OA, înălțimea h=VOh = VO și generatoarea G=VAG = VA. Triunghiul VOAVOA este dreptunghic în OO, deci G2=R2+h2G^2 = R^2 + h^2.
  • Pentru con: Al=\mathcal{A}_l ={}πRG \pi R G, At=\mathcal{A}_t ={}πR(G+R) \pi R(G + R) și V=V ={}πR2h3 \dfrac{\pi R^2 h}{3}. Desfășurarea suprafeței laterale este un sector de cerc cu raza GG și lungimea arcului 2πR2\pi R.
  • Secțiunea axială trece prin axa corpului. La cilindru este un dreptunghi cu laturile 2R2R și hh, un pătrat dacă h=2Rh = 2R. La con este un triunghi isoscel cu baza 2R2R și laturile GG, echilateral dacă G=2RG = 2R. Din ea citești raza, înălțimea și generatoarea.
  • Sfera cu raza RR are aria A=\mathcal{A} ={}4πR2 4\pi R^2 și volumul V=V ={}4πR33 \dfrac{4\pi R^3}{3}.
  • Trunchiul de con circular drept se obține tăind conul cu un plan paralel cu baza. Are razele RR și rr, înălțimea hh și generatoarea GG, cu G2=h2+(R−r)2G^2 = h^2 + (R - r)^2. Atunci Al=\mathcal{A}_l ={}π(R+r)G \pi (R + r) G și V=V ={}πh(R2+Rr+r2)3 \dfrac{\pi h (R^2 + Rr + r^2)}{3}.
VOABhRG

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Notează ce știi despre corp

    Scrie raza RR, înălțimea hh și generatoarea GG, cu ce dă enunțul. Un diametru, o secțiune axială sau o latură a secțiunii axiale îți dau raza sau înălțimea: raza este jumătate din diametru.

  2. 2.Completează dimensiunea care lipsește

    Desenează secțiunea axială sau triunghiul VOAVOA și aplică teorema lui Pitagora: G2=R2+h2G^2 = R^2 + h^2. Dacă secțiunea axială a conului este un triunghi echilateral, G=2RG = 2R și nu mai ai nimic de calculat.

  3. 3.Alege formula după cerință

    Pentru aria laterală, aria totală sau volum alege formula corpului și înlocuiește valorile. Aria totală are bazele: două la cilindru, una la con.

  4. 4.Lasă π\pi în rezultat

    Nu înlocui pe π\pi cu 3,143{,}14. Răspunsurile sunt scrise cu π\pi, de exemplu 18π18\pi cm², așa că calculezi doar coeficientul lui π\pi.

  5. 5.Verifică unitățile și mărimile

    Scrie cm, cm² sau cm³. La con, generatoarea este cea mai mare dintre RR, hh și GG. Dacă ai găsit o dimensiune cu teorema lui Pitagora, înlocuiește-o în relație ca să te asiguri că a ieșit bine.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Cilindrul din secțiunea axială

    Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu diagonala de 828\sqrt{2} cm. Calculează aria totală și volumul cilindrului.

  2. 2.Conul: generatoarea, aria și volumul

    Un con circular drept are raza bazei R=9R = 9 cm și înălțimea h=12h = 12 cm. Calculează generatoarea, aria totală și volumul.

  3. 3.Sfera din aria ei

    Aria unei sfere este 144π144\pi cm². Calculează raza sferei și volumul ei.

  4. 4.Trunchiul de con

    Un trunchi de con circular drept are razele bazelor R=7R = 7 cm și r=3r = 3 cm și înălțimea h=3h = 3 cm. Calculează generatoarea, aria laterală și volumul.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al II-lea, 6

Întrebarea 6. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral VABVAB, cu AB=6AB = 6 cm. Aria laterală a conului este egală cu:
VAB

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 6 (varianta 7). Răspuns după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al II-lea, 6

Întrebarea 6. (0–5)

În figura alăturată este reprezentată o sferă cu raza de 33 cm. Volumul sferei este egal cu:

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul de rezervă, subiectul al II-lea, 6 (varianta 2). Răspuns după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu vârful VV și centrul bazei OO, cu raza OA=20OA = 20 cm și înălțimea VO=21VO = 21 cm. Aria laterală a conului este egală cu:
OAV

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat cilindrul circular drept cu centrele bazelor OO și O′O', cu raza OA=5OA = 5 cm și înălțimea OO′=8OO' = 8 cm. Aria totală a cilindrului este egală cu:
OAO′

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

Raza unei sfere este de 99 cm. Volumul sferei este egal cu kπk\pi cm³. Calculează numărul kk.

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 4. (0–5)

Raza unei sfere se dublează. Volumul sferei se înmulțește cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Confunzi înălțimea conului cu generatoarea. Generatoarea GG este ipotenuza triunghiului VOAVOA, deci este mai lungă decât hh și decât RR. Folosește GG la aria laterală, πRG\pi R G, și hh la volum.
  • Iei diametrul drept rază. Dacă enunțul dă diametrul sau latura secțiunii axiale, împarte la 22 ca să obții raza: R=d2R = \dfrac{d}{2}.
  • Uiți fracția din volum: 13\dfrac{1}{3} la con și 43\dfrac{4}{3} la sferă. La sferă mai ai grijă că raza este la puterea a treia, nu la a doua.
  • Înlocuiești pe π\pi cu 3,143{,}14 și rezultatul nu mai seamănă cu niciuna dintre variante. Lasă π\pi în răspuns și calculează doar coeficientul lui.
  • Pui o singură bază în aria totală a cilindrului. Cilindrul are două baze, deci 2πR22\pi R^2; conul are una, deci πR2\pi R^2.

Reține

  • Cilindru: Al=\mathcal{A}_l ={}2πRh 2\pi R h, At=\mathcal{A}_t ={}2πR(R+h) 2\pi R(R + h), V=πR2hV = \pi R^2 h.
  • Con: G2=R2+h2G^2 = R^2 + h^2, Al=\mathcal{A}_l ={}πRG \pi R G, At=\mathcal{A}_t ={}πR(G+R) \pi R(G + R), V=V ={}πR2h3 \dfrac{\pi R^2 h}{3}.
  • Sferă: A=\mathcal{A} ={}4πR2 4\pi R^2, V=V ={}4πR33 \dfrac{4\pi R^3}{3}.
  • Trunchi de con: Al=\mathcal{A}_l ={}π(R+r)G \pi (R + r) G, V=V ={}πh(R2+Rr+r2)3 \dfrac{\pi h (R^2 + Rr + r^2)}{3}.
  • Secțiunea axială a conului este echilaterală când G=2RG = 2R.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Care sunt formulele pentru aria și volumul cilindrului?+
    Răspuns:Pentru un cilindru circular drept cu raza RR și înălțimea hh: aria laterală este 2πRh2\pi R h, aria totală este 2πR(R+h)2\pi R(R + h), iar volumul este πR2h\pi R^2 h. Aria laterală este aria dreptunghiului în care se desface suprafața laterală, cu dimensiunile 2πR2\pi R și hh.
  2. 2.Care sunt formulele pentru aria și volumul conului?+
    Răspuns:Pentru un con circular drept cu raza RR, înălțimea hh și generatoarea GG: aria laterală este πRG\pi R G, aria totală este πR(G+R)\pi R(G + R), iar volumul este πR2h3\dfrac{\pi R^2 h}{3}. Generatoarea se calculează din G2=R2+h2G^2 = R^2 + h^2, deoarece RR, hh și GG sunt laturile unui triunghi dreptunghic.
  3. 3.Ce este generatoarea și cum o aflu?+
    Răspuns:Generatoarea conului este segmentul care unește vârful cu un punct al cercului bazei. Este ipotenuza triunghiului dreptunghic format din înălțime și rază, deci G=R2+h2G = \sqrt{R^2 + h^2}. La cilindru, generatoarea este egală cu înălțimea. Dacă secțiunea axială a conului este echilaterală, G=2RG = 2R.
  4. 4.Care sunt formulele sferei?+
    Răspuns:Sfera cu raza RR are aria 4πR24\pi R^2 și volumul 4πR33\dfrac{4\pi R^3}{3}. Dacă ți se dă diametrul, împarte-l mai întâi la 22. Aria este de patru ori aria discului determinat de un cerc mare al sferei, adică de un cerc cu centrul în centrul sferei și cu aceeași rază.
  5. 5.Ce este secțiunea axială și la ce îmi folosește?+
    Răspuns:Secțiunea axială este secțiunea corpului cu un plan care conține axa lui. La cilindru este un dreptunghi cu laturile 2R2R și hh, iar la con un triunghi isoscel cu baza 2R2R și laturile egale cu GG. Din ea afli raza, înălțimea și generatoarea, deci este de obicei primul desen al problemei.
  6. 6.Cum apar cilindrul, conul și sfera la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În sesiunile din iunie 2023–2026 un corp rotund a apărut într-un singur an, 2025, în itemul II.6, cu un con. Programa cuprinde însă cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera, iar alte subiecte publicate de CNCE, precum modelele și sesiunile de rezervă, au avut un con sau o sferă în itemul II.6. Pregătește-le pe toate patru.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.