Kleksa

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Liczby pierwsze, podzielność, NWD i NWW

Liczby pierwsze to cegiełki: mnożąc je, zbudujesz każdą liczbę naturalną większą od 11. Na tej stronie nauczysz się rozpoznawać liczby pierwsze i złożone, korzystać z cech podzielności, rozkładać liczby na czynniki pierwsze i liczyć z tego rozkładu NWD i NWW. Na egzaminie ósmoklasisty to zwykle krótkie zadanie zamknięte, a na maturze podstawowej ta sama wiedza wraca w prostych dowodach podzielności.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 3 z 4 arkuszy 2023–2026; na maturze podstawowej: w 4 z 4, zawsze jako dowód o podzielności lub reszcie.

  • kl. IV–VI
  • liceum, zakres podstawowy
  • egzamin ósmoklasisty
  • matura

Najważniejsze

to musisz umieć
  • Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 11 i samą siebie. Liczby pierwsze mniejsze od 3030 to 2,3,5,7,11,13,17,19,23,292, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Liczba 22 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
  • Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki, na przykład 91=7⋅1391 = 7 \cdot 13. Liczba 11 nie jest ani pierwsza, ani złożona, bo ma tylko jeden dzielnik.
  • Każdą liczbę złożoną da się rozłożyć na czynniki pierwsze, i to tylko w jeden sposób, jeśli nie liczyć kolejności: 84=84 ={}2⋅2⋅3⋅7= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 ={}22⋅3⋅7 2^2 \cdot 3 \cdot 7.
  • Cechy podzielności. Przez 22: ostatnia cyfra parzysta. Przez 55: ostatnia cyfra 00 lub 55. Przez 1010: ostatnia cyfra 00, a przez 100100: dwa zera na końcu. Przez 44: liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 44. Przez 33 i przez 99: suma cyfr dzieli się przez 33 albo przez 99.
  • NWD dwóch liczb to największa liczba, która dzieli każdą z nich. NWW to najmniejsza liczba naturalna różna od zera, która dzieli się przez każdą z nich. Dla 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2 i 27=3327 = 3^3 mamy NWD=\mathrm{NWD} ={}32= 3^2 ={}9 9 oraz NWW=\mathrm{NWW} ={}2⋅33= 2 \cdot 3^3 ={}54 54.
  • Dzielenie z resztą zapisujesz jako a=b⋅q+ra = b \cdot q + r, gdzie 0≤r<b0 \le r < b. Na przykład 47=7⋅6+547 = 7 \cdot 6 + 5: iloraz to 66, a reszta to 55.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

  1. 1.Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

    Dziel liczbę kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze: 22, 33, 55, 77 i tak dalej, dopóki nie zostanie 11. Zapisuj dzielniki w słupku obok. Cechy podzielności podpowiedzą, od czego zacząć.

  2. 2.Zapisz oba rozkłady jako iloczyny potęg

    Na przykład 84=84 ={}22⋅3⋅7 2^2 \cdot 3 \cdot 7 i 120=120 ={}23⋅3⋅5 2^3 \cdot 3 \cdot 5. Ustaw je jeden pod drugim, żeby widzieć, które czynniki są wspólne.

  3. 3.NWD: tylko wspólne czynniki

    Weź czynniki, które występują w obu rozkładach, każdy w mniejszej potędze. Dla 8484 i 120120: NWD=\mathrm{NWD} ={}22⋅3= 2^2 \cdot 3 ={}12 12.

  4. 4.NWW: wszystkie czynniki

    Weź każdy czynnik, który występuje w którymkolwiek rozkładzie, w większej potędze. Dla 8484 i 120120: NWW=\mathrm{NWW} ={}23⋅3⋅5⋅7= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 ={}840 840.

  5. 5.Sprawdź wynik

    NWD musi dzielić obie liczby, a NWW musi dzielić się przez obie. Dla dwóch liczb zawsze też NWD⋅NWW\mathrm{NWD} \cdot \mathrm{NWW} równa się ich iloczynowi: 12⋅840=12 \cdot 840 ={}10 080= 10\,080 ={}84⋅120 84 \cdot 120.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

  1. 1.Czy liczba jest pierwsza?

    Sprawdź, czy liczby 9191 i 9797 są liczbami pierwszymi.

  2. 2.NWD i NWW z rozkładu na czynniki

    Oblicz NWD(84,120)\mathrm{NWD}(84, 120) i NWW(84,120)\mathrm{NWW}(84, 120).

  3. 3.NWW w zadaniu z życia

    Z przystanku o godzinie 6:006{:}00 odjechały razem dwa autobusy. Pierwszy kursuje co 1212 minut, drugi co 1818 minut. O której godzinie znowu odjadą z tego przystanku w tej samej chwili?

  4. 4.Brakująca cyfra i cecha podzielności

    Jaką cyfrę trzeba wpisać w miejsce kratki w liczbie 4□24\square 2, aby otrzymać liczbę podzielną przez 99?

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE
Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.
Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2026, zadanie 2

Zadanie 2. (0–1)

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu YXXYYXXY, gdzie XX jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 1818 i 2727, a YY jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 22 i 44. Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2026, arkusz OMAP-100-2605, zadanie 2 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym nikt nie zapyta już, czy 9191 jest liczbą pierwszą. Podstawa programowa liceum wymaga za to prostych dowodów podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia. W każdym arkuszu 2023–2026 było jedno takie zadanie otwarte za 22 punkty, ostatnio w postaci „Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba … jest podzielna przez …”.
Przydają się trzy narzędzia. Pierwsze: liczbę parzystą zapisujesz jako 2k2k, nieparzystą jako 2k+12k + 1, a liczbę dającą przy dzieleniu przez mm resztę rr jako mk+rmk + r. Drugie: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Trzecie: z dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta, a z trzech kolejnych jedna dzieli się przez 33.
Przykład: suma trzech kolejnych liczb całkowitych nn, n+1n + 1, n+2n + 2 jest równa 3n+3=3(n+1)3n + 3 = 3(n + 1), więc zawsze dzieli się przez 33. Sprawdzenie na liczbach: 4+5+6=4 + 5 + 6 ={}15= 15 ={}3⋅5 3 \cdot 5. Pamiętaj, że sprawdzenie kilku przykładów to jeszcze nie dowód: dowód musi działać dla każdego nn.
Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 7

Zadanie 7. (0–2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba 7n2+21n7n^2 + 21n jest podzielna przez 1414.

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 7 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu
Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.
egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 11 do 1111. Z tego pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami . Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa .

Zadanie 6 z arkusza CKE OMAP-100-2605 (egzamin ósmoklasisty 2026) — wyjaśnienie Kleksy

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

Wskaż wszystkie liczby pierwsze.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Liczba 213 jest podzielna przez 6.
Liczba 213 jest podzielna przez 3.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 4. (0–1)

Wskaż wszystkie liczby pierwsze.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt
  • Uznanie liczby 11 za liczbę pierwszą. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki, a 11 ma tylko jeden. Najmniejsza liczba pierwsza to 22.
  • Przekonanie, że każda liczba nieparzysta jest pierwsza. Złożone są na przykład 99, 1515, 2121, 2727, 3939, 5151, 5757, 8787 i 9191. Zawsze sprawdź podzielność przez 33 (suma cyfr) i przez 77.
  • Pomylenie NWD z NWW. NWD nie może być większy od mniejszej z liczb, a NWW nie może być mniejsza od większej z nich. Jeśli wyszło inaczej, te pojęcia ci się pomyliły.
  • Sprawdzanie podzielności przez 44 po ostatniej cyfrze. Liczba 3434 kończy się czwórką, ale przez 44 się nie dzieli. Patrz na liczbę złożoną z dwóch ostatnich cyfr: 316316 dzieli się przez 44, bo 1616 dzieli się przez 44.
  • Reszta większa od dzielnika. Zapis 47=7⋅5+1247 = 7 \cdot 5 + 12 jest prawdziwy, ale reszta musi być mniejsza od 77, więc poprawnie jest 47=7⋅6+547 = 7 \cdot 6 + 5.

Do zapamiętania

  • Liczby pierwsze mniejsze od 3030: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,292, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
  • Liczba 11 nie jest ani pierwsza, ani złożona. Liczba 22 to jedyna parzysta liczba pierwsza.
  • Przez 33 i przez 99: suma cyfr. Przez 44: dwie ostatnie cyfry.
  • NWD: wspólne czynniki w mniejszych potęgach. NWW: wszystkie czynniki w większych potęgach.
  • Dla dwóch liczb: NWD(a,b)⋅NWW(a,b)=\mathrm{NWD}(a, b) \cdot \mathrm{NWW}(a, b) ={}a⋅b a \cdot b.
  • Dzielenie z resztą: a=b⋅q+ra = b \cdot q + r, gdzie 0≤r<b0 \le r < b.

Pytania i odpowiedzi

  1. 1.Co to jest liczba pierwsza?+
    Odp.:Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 11 i samą siebie. Przykłady to 22, 33, 55, 77, 1111 i 1313. Liczba, która ma więcej dzielników, na przykład 1212 z dzielnikami 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12, jest liczbą złożoną.
  2. 2.Czy 1 jest liczbą pierwszą?+
    Odp.:Nie. Liczba 11 ma tylko jeden dzielnik, a liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa. Liczba 11 nie jest też liczbą złożoną. Gdyby była pierwsza, rozkład na czynniki pierwsze nie byłby jednoznaczny, bo do każdego rozkładu można by dopisać dowolnie wiele jedynek.
  3. 3.Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?+
    Odp.:Sprawdź, czy dzieli się przez kolejne liczby pierwsze 22, 33, 55, 77, 1111 i tak dalej. Wystarczy sprawdzić te, których kwadrat nie przekracza badanej liczby. Dla liczb mniejszych od 121121 to tylko 22, 33, 55 i 77. Jeśli żadna z nich nie jest dzielnikiem, liczba jest pierwsza.
  4. 4.Jak obliczyć NWD i NWW dwóch liczb?+
    Odp.:Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze. NWD to iloczyn czynników wspólnych, każdy w mniejszej potędze. NWW to iloczyn wszystkich czynników, każdy w większej potędze. Dla 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 i 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2 wychodzi NWD=6\mathrm{NWD} = 6 i NWW=36\mathrm{NWW} = 36, a 6⋅36=6 \cdot 36 ={}12⋅18= 12 \cdot 18 ={}216 216.
  5. 5.Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 100?+
    Odp.:Jest ich 2525. Do 3030 to 2,3,5,7,11,13,17,19,23,292, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, a dalej 31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9731, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Nie musisz znać ich wszystkich na pamięć, ale warto rozpoznawać je od razu, zwłaszcza pułapki takie jak 51=3⋅1751 = 3 \cdot 17 i 91=7⋅1391 = 7 \cdot 13.
  6. 6.Czy na maturze są zadania z podzielności?+
    Odp.:Tak, na maturze podstawowej w każdym arkuszu 2023–2026 było zadanie otwarte z dowodem podzielności albo reszty z dzielenia, za 22 punkty. Zwykle wystarczy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i zauważyć, że z dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta. Na karcie wzorów nie ma nic o podzielności.
  7. 7.Czy na egzaminie ósmoklasisty można liczyć na kalkulatorze?+
    Odp.:Nie. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę, a kalkulator dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Rozkład na czynniki, cechy podzielności i dzielenie pisemne musisz więc wykonać ręcznie.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.