Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy bez kalkulatora?

Szukasz liczby nieujemnej, która podniesiona do kwadratu daje liczbę pod pierwiastkiem: $\sqrt{196} = 14$, bo $14^2 = 196$. Jeśli liczba nie jest kwadratem, rozłóż ją na iloczyn kwadratu i reszty i wyłącz czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Gdy potrzebujesz przybliżenia, oszacuj je między dwoma kolejnymi kwadratami.

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?

Zapisz liczbę pod pierwiastkiem jako iloczyn możliwie największego kwadratu i drugiej liczby, a potem wyciągnij pierwiastek z kwadratu: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$. Jeśli wybierzesz mniejszy kwadrat, na przykład $\sqrt{4 \cdot 20} = 2\sqrt{20}$, musisz dalej upraszczać.

Czy można dodawać pierwiastki?

Tylko wtedy, gdy pod pierwiastkiem jest ta sama liczba: $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$, tak jak $2x + 3x = 5x$. Pierwiastków z różnych liczb nie dodajesz, a pierwiastka sumy nie rozbijasz na sumę pierwiastków. Często jednak po wyłączeniu czynnika pierwiastki stają się podobne: $\sqrt{12} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Co to jest pierwiastek sześcienny?

To liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem: $\sqrt[3]{27} = 3$, bo $3^3 = 27$, a $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}$. Przydaje się na przykład wtedy, gdy znasz objętość sześcianu i szukasz długości jego krawędzi: sześcian o objętości $64$ cm³ ma krawędź $4$ cm.

Jak oszacować pierwiastek, który nie jest liczbą całkowitą?

Znajdź dwa kolejne kwadraty liczb całkowitych, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem. Dla $\sqrt{60}$ są to $49$ i $64$, więc $7 < \sqrt{60} < 8$. Liczba $60$ leży bliżej $64$, więc $\sqrt{60}$ jest bliżej $8$, w przybliżeniu $7{,}75$.

Czy na egzaminie można użyć kalkulatora do pierwiastków?

Na egzaminie ósmoklasisty nie: według komunikatu CKE masz tylko długopis i linijkę, chyba że przyznano ci dostosowanie. Na maturze obowiązuje kalkulator prosty, który może mieć klawisz pierwiastka kwadratowego. W zadaniach zamkniętych odpowiedzi są jednak zwykle zapisane dokładnie, na przykład $2\sqrt{7}$, więc upraszczanie pierwiastków i tak musisz umieć.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

Q: Czy na egzaminie można użyć kalkulatora do pierwiastków?

Na egzaminie ósmoklasisty nie: według komunikatu CKE masz tylko długopis i linijkę, chyba że przyznano ci dostosowanie. Na maturze obowiązuje kalkulator prosty, który może mieć klawisz pierwiastka kwadratowego. W zadaniach zamkniętych odpowiedzi są jednak zwykle zapisane dokładnie, na przykład $2\sqrt{7}$, więc upraszczanie pierwiastków i tak musisz umieć.

Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania: $\sqrt{49} = 7$ , bo $7^2 = 49$ , a $\sqrt[3]{64} = 4$ , bo $4^3 = 64$ . Na tej stronie nauczysz się obliczać pierwiastki, wyłączać czynnik przed znak pierwiastka, mnożyć i dzielić pierwiastki, dodawać tylko te, które można, oraz szacować pierwiastki, które nie są liczbami całkowitymi. Na egzaminie ósmoklasisty i na maturze podstawowej to zwykle szybkie zadanie zamknięte, ale bez pewnego rachunku łatwo w nim o pułapkę.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 3 z 4 arkuszy 2023–2026; na maturze podstawowej: w 3 z 4, zwykle w zadaniu zamkniętym razem z potęgami.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
egzamin ósmoklasisty
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a \ge 0$ to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy $a$ : $\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt{\frac{9}{16}} ={}$ $\frac{3}{4}$ , $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ . Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje, a $\sqrt{16}$ to tylko $4$ , nie $-4$ .
Pierwiastek sześcienny z liczby $a$ to liczba, której sześcian jest równy $a$ : $\sqrt[3]{64} = 4$ , $\sqrt[3]{\frac{1}{8}} ={}$ $\frac{1}{2}$ , $\sqrt[3]{0{,}001} ={}$ $0{,}1$ .
Pierwiastek iloczynu i ilorazu: $\sqrt{a \cdot b} ={}$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{a : b} ={}$ $\sqrt{a} : \sqrt{b}$ dla $a \ge 0$ , $b > 0$ . Dlatego pierwiastki tego samego stopnia możesz mnożyć i dzielić pod jednym znakiem: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} ={}$ $\sqrt{16} ={}$ $4$ , $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} ={}$ $\sqrt[3]{8} ={}$ $2$ .
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka: $\sqrt{50} ={}$ $\sqrt{25 \cdot 2} ={}$ $5\sqrt{2}$ . Włączanie pod znak pierwiastka to ruch odwrotny: $3\sqrt{2} ={}$ $\sqrt{9 \cdot 2} ={}$ $\sqrt{18}$ .
Dodawać i odejmować możesz tylko pierwiastki z tej samej liczby: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} ={}$ $8\sqrt{2}$ . Pierwiastka sumy nie rozbijasz na sumę pierwiastków: $\sqrt{9 + 16} ={}$ $\sqrt{25} ={}$ $5$ , a $\sqrt{9} + \sqrt{16} ={}$ $7$ .
Szacowanie: szukasz dwóch kolejnych kwadratów, między którymi leży liczba. Ponieważ $11^2 ={}$ $121 < 137 < 144 ={}$ $12^2$ , to $11 < \sqrt{137} < 12$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Policz pierwiastki dokładne
Najpierw zamień na liczby pierwiastki z kwadratów i sześcianów, które rozpoznajesz: $\sqrt{144} = 12$ , $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$ , $\sqrt[3]{125} = 5$ . Ułamek zwykły pierwiastkujesz osobno w liczniku i w mianowniku.
2.Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem
Jeśli liczba nie jest kwadratem, zapisz ją jako iloczyn największego kwadratu, który ją dzieli, i reszty: $75 = 25 \cdot 3$ , $72 = 36 \cdot 2$ . Pomagają kwadraty $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ .
3.Wyłącz czynnik przed pierwiastek
Pierwiastek z kwadratu wychodzi przed znak: $\sqrt{25 \cdot 3} ={}$ $5\sqrt{3}$ , $\sqrt{36 \cdot 2} ={}$ $6\sqrt{2}$ . Pod pierwiastkiem ma zostać liczba możliwie mała.
4.Wykonaj działania
Pierwiastki z tej samej liczby dodajesz i odejmujesz jak wyrazy podobne: $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} ={}$ $3\sqrt{3}$ . Pierwiastki tego samego stopnia mnożysz i dzielisz pod jednym znakiem: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} ={}$ $\sqrt{36} ={}$ $6$ .
5.Oszacuj i sprawdź
Sprawdź wynik przybliżeniem: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ . Na przykład $6\sqrt{3} \approx 10{,}4$ , a $\sqrt{100} < \sqrt{108} < \sqrt{121}$ , więc wynik leży między $10$ a $11$ i się zgadza.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Wyłączanie czynnika i redukcja
Oblicz $\sqrt{75} -{}$ $\sqrt{12} +{}$ $\sqrt{27}$ .
2.Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Oblicz $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ oraz $\sqrt[3]{54} : \sqrt[3]{2}$ .
3.Między którymi liczbami całkowitymi?
Znajdź liczby całkowite $a$ i $b$ takie, że $a \le \sqrt{137} < a + 1$ oraz $b \le 2\sqrt{7} < b + 1$ .
4.Bok kwadratu o danym polu
Kwadrat ma pole $50$ cm². Oblicz długość jego boku.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2025, zadanie 7

Zadanie 7. (0–1)

Dane są wyrażenia:

K ={}

\frac{1}{9} \cdot \sqrt{\frac{1}{16}} -{}

\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{9}}

L ={}

9 \cdot \sqrt{16} -{}

16 \cdot \sqrt{9}

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie

K

ma wartość ujemną.

Wartość wyrażenia

L

jest większa od wartości wyrażenia

K

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2025, arkusz OMAP-100-2505, zadanie 7 · Arkusz na stronie CKE

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym pierwiastki pojawiły się w trzech z czterech arkuszy 2023–2026, zawsze w zadaniach zamkniętych, często w jednym wyrażeniu z potęgami. Podstawa programowa liceum rozszerza to, co znasz ze szkoły podstawowej, o pierwiastki dowolnego stopnia, w tym stopnia nieparzystego z liczb ujemnych:

\sqrt[4]{81} = 3

\sqrt[5]{-32} = -2

. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nadal nie istnieje.

Pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym: dla

a \ge 0

mamy

\sqrt[n]{a^m} ={}

a^{\frac{m}{n}}

, na przykład

\sqrt{a} ={}

a^{\frac{1}{2}}

\sqrt[3]{a^2} ={}

a^{\frac{2}{3}}

. Dzięki temu wyrażenia z pierwiastkami różnych stopni sprowadzisz do potęg jednej podstawy, jak w zadaniu poniżej.

Przydaje się też usuwanie niewymierności z mianownika: mnożysz licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, na przykład

\frac{6}{\sqrt{3}} ={}

\frac{6\sqrt{3}}{3} ={}

2\sqrt{3}

. Pamiętaj, że

\sqrt{a^2} = |a|

, więc

\sqrt{(-3)^2} = 3

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 3

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\sqrt{5\sqrt{5}}

jest równa

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 3 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Dane są cztery liczby:

w = \sqrt{100 - 64} - 2

x = 12 - \sqrt{64 + 36}

y = \sqrt{25 - 16} - 3

z = 7 - \sqrt{9 + 16}

Która z tych liczb jest równa

0

? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 3 z arkusza CKE OMAP-100-2605 (egzamin ósmoklasisty 2026) — wyjaśnienie Kleksy

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia

\sqrt{144} + 3\sqrt{36}

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia

\sqrt{121} + 2\sqrt{36}

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} +{}

2^{-1}

jest równa

Zadanie 1 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 5. (0–1)

Liczba

\sqrt{252} - \sqrt{63}

jest równa

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Rozbijanie pierwiastka sumy. $\sqrt{9 + 16}$ to $\sqrt{25} = 5$ , a nie $\sqrt{9} + \sqrt{16} ={}$ $7$ . Rozbijać możesz tylko pierwiastek iloczynu albo ilorazu, nigdy sumy ani różnicy.
Dodawanie pierwiastków z różnych liczb. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ to nie $\sqrt{5}$ : tej sumy nie da się uprościć. Najpierw spróbuj wyłączyć czynniki, bo $\sqrt{8} + \sqrt{2} ={}$ $2\sqrt{2} + \sqrt{2} ={}$ $3\sqrt{2}$ .
Wyłączenie przed pierwiastek liczby zamiast jej pierwiastka. $\sqrt{50} ={}$ $\sqrt{25 \cdot 2} ={}$ $5\sqrt{2}$ , a nie $25\sqrt{2}$ . Przed znak wychodzi pierwiastek z kwadratu.
Pierwiastek z ułamka dziesiętnego „na oko”. $\sqrt{0{,}9}$ to nie $0{,}3$ , bo $0{,}3^2 = 0{,}09$ . Poprawnie jest $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ i $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ . Sprawdzaj wynik, podnosząc go do kwadratu.
Dopisywanie minusa do pierwiastka kwadratowego. $\sqrt{16} = 4$ , a nie $\pm 4$ : pierwiastek kwadratowy jest zawsze liczbą nieujemną. To, że $(-4)^2 = 16$ , nic tu nie zmienia.

Do zapamiętania

$\sqrt{a \cdot b} ={}$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{a : b} ={}$ $\sqrt{a} : \sqrt{b}$ .
$\sqrt{a + b}$ to nie to samo co $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
Kwadraty od $11$ do $15$ : $121$ , $144$ , $169$ , $196$ , $225$ .
Sześciany od $1$ do $6$ : $1$ , $8$ , $27$ , $64$ , $125$ , $216$ .
Przybliżenia: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ , $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Potęgi i pierwiastki§ 2 · strona 4–5

Pierwiastki są w części 2 broszury „Wybrane wzory matematyczne”, nazwanej „Potęgi i pierwiastki”. Zajmuje ona strony 4 i 5. Na stronie 4 jest definicja pierwiastka arytmetycznego dowolnego stopnia i równość

\sqrt{a^2} = |a|

, a na stronie 5 pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych i związek

a^{\frac{m}{n}} ={}

\sqrt[n]{a^m}

Pierwiastków, które warto znać na pamięć, w broszurze nie ma. Na egzaminie ósmoklasisty nie dostajesz żadnej karty wzorów.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy bez kalkulatora?+
Odp.:Szukasz liczby nieujemnej, która podniesiona do kwadratu daje liczbę pod pierwiastkiem: $\sqrt{196} = 14$ , bo $14^2 = 196$ . Jeśli liczba nie jest kwadratem, rozłóż ją na iloczyn kwadratu i reszty i wyłącz czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{72} ={}$ $\sqrt{36 \cdot 2} ={}$ $6\sqrt{2}$ . Gdy potrzebujesz przybliżenia, oszacuj je między dwoma kolejnymi kwadratami.
2.Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?+
Odp.:Zapisz liczbę pod pierwiastkiem jako iloczyn możliwie największego kwadratu i drugiej liczby, a potem wyciągnij pierwiastek z kwadratu: $\sqrt{80} ={}$ $\sqrt{16 \cdot 5} ={}$ $4\sqrt{5}$ . Jeśli wybierzesz mniejszy kwadrat, na przykład $\sqrt{4 \cdot 20} ={}$ $2\sqrt{20}$ , musisz dalej upraszczać.
3.Czy można dodawać pierwiastki?+
Odp.:Tylko wtedy, gdy pod pierwiastkiem jest ta sama liczba: $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} ={}$ $5\sqrt{5}$ , tak jak $2x + 3x = 5x$ . Pierwiastków z różnych liczb nie dodajesz, a pierwiastka sumy nie rozbijasz na sumę pierwiastków. Często jednak po wyłączeniu czynnika pierwiastki stają się podobne: $\sqrt{12} + \sqrt{3} ={}$ $3\sqrt{3}$ .
4.Co to jest pierwiastek sześcienny?+
Odp.:To liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem: $\sqrt[3]{27} = 3$ , bo $3^3 = 27$ , a $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} ={}$ $\frac{2}{5}$ . Przydaje się na przykład wtedy, gdy znasz objętość sześcianu i szukasz długości jego krawędzi: sześcian o objętości $64$ cm³ ma krawędź $4$ cm.
5.Jak oszacować pierwiastek, który nie jest liczbą całkowitą?+
Odp.:Znajdź dwa kolejne kwadraty liczb całkowitych, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem. Dla $\sqrt{60}$ są to $49$ i $64$ , więc $7 < \sqrt{60} < 8$ . Liczba $60$ leży bliżej $64$ , więc $\sqrt{60}$ jest bliżej $8$ , w przybliżeniu $7{,}75$ .
6.Czy na egzaminie można użyć kalkulatora do pierwiastków?+
Odp.:Na egzaminie ósmoklasisty nie: według komunikatu CKE masz tylko długopis i linijkę, chyba że przyznano ci dostosowanie. Na maturze obowiązuje kalkulator prosty, który może mieć klawisz pierwiastka kwadratowego. W zadaniach zamkniętych odpowiedzi są jednak zwykle zapisane dokładnie, na przykład $2\sqrt{7}$ , więc upraszczanie pierwiastków i tak musisz umieć.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Policz pierwiastki dokładne

2.Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem

3.Wyłącz czynnik przed pierwiastek

4.Wykonaj działania

5.Oszacuj i sprawdź

Przykłady

1.Wyłączanie czynnika i redukcja

2.Mnożenie i dzielenie pierwiastków

3.Między którymi liczbami całkowitymi?

4.Bok kwadratu o danym polu

Zadanie z egzaminu

Na maturze

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła