Jak mnożyć potęgi o tej samej podstawie?

Przepisz podstawę i dodaj wykładniki: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, na przykład $5^3 \cdot 5^4 = 5^7$. Wynika to z definicji: trzy piątki razy cztery piątki to razem siedem piątek w iloczynie. Gdy podstawy są różne, najpierw spróbuj zapisać je jako potęgi tej samej liczby, na przykład $9 = 3^2$.

Jak dzielić potęgi o tej samej podstawie?

Przepisz podstawę i od wykładnika dzielnej odejmij wykładnik dzielnika: $a^m : a^n = a^{m-n}$, na przykład $2^{10} : 2^3 = 2^7 = 128$. Podstawa nie może być zerem. Na egzaminie ósmoklasisty wykładnik dzielnej jest zwykle większy, więc wynik ma wykładnik dodatni.

Co to jest notacja wykładnicza?

To zapis liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \le a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą. Duże liczby mają $k$ dodatnie, na przykład $54\,000 = 5{,}4 \cdot 10^4$, a małe ujemne, na przykład $0{,}0007 = 7 \cdot 10^{-4}$. Wykładnik mówi, o ile miejsc przesuwasz przecinek.

Jak obliczyć potęgę potęgi?

Potęgę potęgi liczysz, mnożąc wykładniki: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$. Na przykład $\left(2^3\right)^4 = 2^{12} = 4096$, bo to cztery razy po trzy dwójki w iloczynie. Nie myl tego z mnożeniem potęg, gdzie wykładniki się dodaje: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$.

Ile wynosi potęga o wykładniku zero lub ujemnym?

Na maturze: dla $a \neq 0$ jest $a^0 = 1$ oraz $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, na przykład $5^0 = 1$ i $5^{-2} = \frac{1}{25}$. Podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga działań na potęgach o wykładnikach całkowitych dodatnich, a wykładnik ujemny pojawia się tam tylko w notacji wykładniczej, jak w zapisie $3{,}2 \cdot 10^{-4}$.

Czy na egzaminie ósmoklasisty można liczyć na kalkulatorze?

Nie. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę, a kalkulator dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Dlatego potęg typu $2^{18}$ nie liczysz do końca: upraszczasz wyrażenie prawami działań, a liczbę obliczasz dopiero na końcu, jeśli jest mała.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Potęgi i notacja wykładnicza

Q: Jak obliczyć potęgę potęgi?

Potęgę potęgi liczysz, mnożąc wykładniki: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$. Na przykład $\left(2^3\right)^4 = 2^{12} = 4096$, bo to cztery razy po trzy dwójki w iloczynie. Nie myl tego z mnożeniem potęg, gdzie wykładniki się dodaje: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$.

Q: Ile wynosi potęga o wykładniku zero lub ujemnym?

Na maturze: dla $a \neq 0$ jest $a^0 = 1$ oraz $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, na przykład $5^0 = 1$ i $5^{-2} = \frac{1}{25}$. Podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga działań na potęgach o wykładnikach całkowitych dodatnich, a wykładnik ujemny pojawia się tam tylko w notacji wykładniczej, jak w zapisie $3{,}2 \cdot 10^{-4}$.

Q: Czy na egzaminie ósmoklasisty można liczyć na kalkulatorze?

Nie. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę, a kalkulator dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Dlatego potęg typu $2^{18}$ nie liczysz do końca: upraszczasz wyrażenie prawami działań, a liczbę obliczasz dopiero na końcu, jeśli jest mała.

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie: $2^5 ={}$ $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 ={}$ $32$ . Na tej stronie poznasz prawa działań na potęgach, nauczysz się sprowadzać potęgi do wspólnej podstawy i zapisywać bardzo duże i bardzo małe liczby w notacji wykładniczej. Na egzaminie ósmoklasisty potęgi są w każdym arkuszu, a na maturze podstawowej dochodzą wykładniki ujemne i wymierne.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026; na maturze podstawowej: w 3 z 4, często razem z pierwiastkami.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
egzamin ósmoklasisty
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Potęga $a^n$ o wykładniku całkowitym dodatnim $n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$ : $a^n ={}$ $a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ . Liczbę $a$ nazywasz podstawą, a $n$ wykładnikiem. Na przykład $3^4 = 81$ i $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ .
Liczba ujemna w potędze o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, a w potędze o wykładniku nieparzystym ujemny: $(-2)^4 = 16$ , $(-2)^3 = -8$ . Uważaj na nawias: $-2^4 = -16$ , bo do potęgi podnosisz tylko $2$ .
Gdy podstawy są takie same, to przy mnożeniu dodajesz wykładniki, a przy dzieleniu odejmujesz: $a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m+n}$ oraz $a^m : a^n = a^{m-n}$ . Potęgę potęgi liczysz, mnożąc wykładniki: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ .
Gdy wykładniki są takie same, mnożysz albo dzielisz podstawy: $a^n \cdot b^n ={}$ $(a \cdot b)^n$ oraz $a^n : b^n = (a : b)^n$ . Na przykład $2^6 \cdot 5^6 ={}$ $10^6$ .
Prawa działają tylko dla tej samej podstawy albo tego samego wykładnika. Dlatego najpierw zapisz liczby jako potęgi liczb pierwszych: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $16 = 2^4$ , $9 = 3^2$ , $27 = 3^3$ , $25 = 5^2$ .
Notacja wykładnicza to zapis $a \cdot 10^k$ , gdzie $1 \le a < 10$ , a $k$ jest liczbą całkowitą: $72\,000\,000 ={}$ $7{,}2 \cdot 10^7$ . Małe liczby mają ujemne $k$ : $0{,}00032 ={}$ $3{,}2 \cdot 10^{-4}$ , bo przecinek przesuwasz o cztery miejsca w prawo.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Sprowadź do wspólnej podstawy
Rozpisz każdą podstawę na potęgę liczby pierwszej albo iloczyn takich potęg: $8^6 = \left(2^3\right)^6$ , $4^3 = \left(2^2\right)^3$ , $12^2 = \left(2^2 \cdot 3\right)^2$ . Zapisz to od razu w nawiasach, żeby nie pomylić wykładników.
2.Policz potęgę potęgi
Usuń nawiasy, mnożąc wykładniki: $\left(2^3\right)^6 = 2^{18}$ i $\left(2^2\right)^3 = 2^6$ . Iloczyn w nawiasie podnosisz do potęgi czynnik po czynniku: $\left(2^2 \cdot 3\right)^2 = 2^4 \cdot 3^2$ .
3.Pomnóż i podziel potęgi o tej samej podstawie
Przy mnożeniu dodaj wykładniki, przy dzieleniu odejmij: $2^{18} : 2^6 = 2^{12}$ . Każdą podstawę licz osobno: potęgi dwójki z potęgami dwójki, trójki z trójkami.
4.Połącz te same wykładniki
Jeśli zostały potęgi o różnych podstawach i równych wykładnikach, połącz je: $2^7 \cdot 5^7 ={}$ $10^7$ . To skraca rachunek, zwłaszcza gdy w wyniku pojawia się $10$ .
5.Porównaj z odpowiedziami
Zapisz wynik w tej postaci, w której są odpowiedzi: jako potęgę konkretnej liczby, jako liczbę albo w notacji wykładniczej. Sprawdź na mniejszych liczbach, czy prawo działa tak, jak myślisz, na przykład $2^2 \cdot 2^3 ={}$ $4 \cdot 8 ={}$ $32 ={}$ $2^5$ .

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Potęga liczby 2
Zapisz liczbę $\frac{4^5 \cdot 8^2}{2^{10}}$ w postaci potęgi liczby $2$ i oblicz jej wartość.
2.Te same wykładniki
Oblicz $2^7 \cdot 5^7 : 10^4$ .
3.Notacja wykładnicza w zadaniu
Światło pokonuje w ciągu sekundy około $300\,000$ km. Jaką drogę pokona w ciągu $500$ sekund? Wynik zapisz w notacji wykładniczej.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2025, zadanie 8

Zadanie 8. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia

8^6 : 4^3

zapisana w postaci potęgi liczby

2

jest równa

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2025, arkusz OMAP-100-2505, zadanie 8 · Arkusz na stronie CKE

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym potęgi są w zadaniach zamkniętych prawie co roku, często w jednym wyrażeniu z pierwiastkami. Wszystko, co znasz z egzaminu ósmoklasisty, nadal obowiązuje, ale wykładnik może być dowolną liczbą całkowitą, a nawet wymierną.

Dla

a \neq 0

i liczby naturalnej

n

przyjmuje się

a^0 = 1

oraz

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

, na przykład

2^{-3} = \frac{1}{8}

\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8

. Dla

a \ge 0

i liczb całkowitych dodatnich

m

n

potęga o wykładniku wymiernym to pierwiastek:

a^{\frac{m}{n}} ={}

\sqrt[n]{a^m}

, a dla

a > 0

także

a^{-\frac{m}{n}} ={}

\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

. Stąd

27^{\frac{2}{3}} ={}

3^2 ={}

9

, a

16^{-\frac{1}{2}} ={}

\frac{1}{4}

. Dla

a > 0

prawa

a^r \cdot a^s ={}

a^{r+s}

\left(a^r\right)^s = a^{r \cdot s}

a^r : a^s = a^{r-s}

działają bez zmian.

Podstawa programowa liceum wymaga też monotoniczności potęgowania: gdy

a > 1

, większy wykładnik daje większą potęgę, na przykład

2^{0{,}5} < 2^{0{,}7}

; gdy

0 < a < 1

, jest odwrotnie, na przykład

0{,}5^3 < 0{,}5^2

. Częsty typ zadania to suma potęg o tej samej podstawie: wtedy wyłączasz przed nawias najmniejszą potęgę, jak w zadaniu poniżej.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2025, zadanie 2

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}

jest równa

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2025, arkusz MMAP-P0-100-2505, zadanie 2 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia

2^5 \cdot 3 \cdot 3^4 \cdot 2^3

jest równa wartości wyrażenia

Zadanie 4 z arkusza CKE OMAP-100-2605 (egzamin ósmoklasisty 2026) — wyjaśnienie Kleksy

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

Wartość wyrażenia

5^{9} : 5^{4}

jest równa

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

Liczba 3 600 000 zapisana w notacji wykładniczej to

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 4. (0–1)

Wartość wyrażenia

7^{6} \cdot 7^{2}

jest równa

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

egzamin ósmoklasisty(0–2 pkt)

Uzasadnij, że liczba

7^{11} + 7^{12}

jest podzielna przez 8.

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Mnożenie wykładników zamiast ich dodawania. $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , a nie $2^{12}$ . Wykładniki mnożysz tylko przy potędze potęgi: $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$ .
Mnożenie podstaw przy mnożeniu potęg. $3^2 \cdot 3^5$ to $3^7$ , a nie $9^7$ : podstawa zostaje bez zmian, zmienia się tylko wykładnik.
Dodawanie wykładników w sumie. $2^3 + 2^4$ to nie $2^7$ , tylko $8 + 16 = 24$ . Prawa działań na potęgach dotyczą mnożenia i dzielenia, nie dodawania.
Pominięcie nawiasu przy liczbie ujemnej. $(-3)^2 = 9$ , ale $-3^2 = -9$ . Zapisuj nawias zawsze, gdy podnosisz do potęgi liczbę ujemną.
Zła liczba przed potęgą dziesiątki. Zapis $72 \cdot 10^6$ albo $0{,}72 \cdot 10^8$ ma tę samą wartość co $7{,}2 \cdot 10^7$ , ale nie jest notacją wykładniczą, bo czynnik musi spełniać warunek $1 \le a < 10$ .

Do zapamiętania

$a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m+n}$ oraz $a^m : a^n = a^{m-n}$ .
$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ .
$a^n \cdot b^n ={}$ $(a \cdot b)^n$ oraz $a^n : b^n = (a : b)^n$ .
Notacja wykładnicza: $a \cdot 10^k$ , gdzie $1 \le a < 10$ , a $k$ jest liczbą całkowitą.
Warto znać: $2^{10} = 1024$ , $3^4 = 81$ , $5^3 = 125$ , $4^3 = 64$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Potęgi i pierwiastki§ 2 · strona 4–5

Na maturze dostajesz broszurę „Wybrane wzory matematyczne”. Potęgi są w jej części 2 „Potęgi i pierwiastki”, która zajmuje strony 4 i 5. Znajdziesz tam definicję potęgi, określenie potęgi o wykładniku zerowym, ujemnym i wymiernym, wszystkie prawa działań na potęgach oraz monotoniczność potęgowania.

Notacji wykładniczej w broszurze nie ma. Na egzaminie ósmoklasisty nie dostajesz żadnej karty wzorów, więc prawa działań na potęgach musisz znać na pamięć.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak mnożyć potęgi o tej samej podstawie?+
Odp.:Przepisz podstawę i dodaj wykładniki: $a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m+n}$ , na przykład $5^3 \cdot 5^4 = 5^7$ . Wynika to z definicji: trzy piątki razy cztery piątki to razem siedem piątek w iloczynie. Gdy podstawy są różne, najpierw spróbuj zapisać je jako potęgi tej samej liczby, na przykład $9 = 3^2$ .
2.Jak dzielić potęgi o tej samej podstawie?+
Odp.:Przepisz podstawę i od wykładnika dzielnej odejmij wykładnik dzielnika: $a^m : a^n = a^{m-n}$ , na przykład $2^{10} : 2^3 ={}$ $2^7 ={}$ $128$ . Podstawa nie może być zerem. Na egzaminie ósmoklasisty wykładnik dzielnej jest zwykle większy, więc wynik ma wykładnik dodatni.
3.Co to jest notacja wykładnicza?+
Odp.:To zapis liczby w postaci $a \cdot 10^k$ , gdzie $1 \le a < 10$ , a $k$ jest liczbą całkowitą. Duże liczby mają $k$ dodatnie, na przykład $54\,000 ={}$ $5{,}4 \cdot 10^4$ , a małe ujemne, na przykład $0{,}0007 ={}$ $7 \cdot 10^{-4}$ . Wykładnik mówi, o ile miejsc przesuwasz przecinek.
4.Jak obliczyć potęgę potęgi?+
Odp.:Potęgę potęgi liczysz, mnożąc wykładniki: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ . Na przykład $\left(2^3\right)^4 = 2^{12} = 4096$ , bo to cztery razy po trzy dwójki w iloczynie. Nie myl tego z mnożeniem potęg, gdzie wykładniki się dodaje: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ .
5.Ile wynosi potęga o wykładniku zero lub ujemnym?+
Odp.:Na maturze: dla $a \neq 0$ jest $a^0 = 1$ oraz $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , na przykład $5^0 = 1$ i $5^{-2} = \frac{1}{25}$ . Podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga działań na potęgach o wykładnikach całkowitych dodatnich, a wykładnik ujemny pojawia się tam tylko w notacji wykładniczej, jak w zapisie $3{,}2 \cdot 10^{-4}$ .
6.Czy na egzaminie ósmoklasisty można liczyć na kalkulatorze?+
Odp.:Nie. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę, a kalkulator dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Dlatego potęg typu $2^{18}$ nie liczysz do końca: upraszczasz wyrażenie prawami działań, a liczbę obliczasz dopiero na końcu, jeśli jest mała.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Potęgi i notacja wykładnicza

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Sprowadź do wspólnej podstawy

2.Policz potęgę potęgi

3.Pomnóż i podziel potęgi o tej samej podstawie

4.Połącz te same wykładniki

5.Porównaj z odpowiedziami

Przykłady

1.Potęga liczby 2

2.Te same wykładniki

3.Notacja wykładnicza w zadaniu

Zadanie z egzaminu

Na maturze

Sprawdź się

Zadanie otwarte krok po kroku

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła