Jak odczytać współrzędne punktu w układzie współrzędnych?

Zacznij od początku układu i policz, ile jednostek dzieli punkt od osi $y$ w poziomie, a ile od osi $x$ w pionie. Pierwsza współrzędna to ruch poziomy, druga pionowy. Ruch w lewo albo w dół daje liczbę ujemną. Punkt $3$ w lewo i $4$ w górę od początku to $(-3, 4)$.

Jak obliczyć środek odcinka w układzie współrzędnych?

Dodaj osobno współrzędne $x$ obu końców i podziel przez $2$, potem to samo zrób dla $y$. Dla $A = (-4, 6)$ i $B = (2, -2)$ środek to $\left(\frac{-4 + 2}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right) = (-1, 2)$. Środek odcinka leży w połowie drogi między końcami.

Jak obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych?

Na egzaminie ósmoklasisty rysujesz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne biegną po liniach kratki, i stosujesz twierdzenie Pitagorasa. Różnice współrzędnych dają długości przyprostokątnych. Wzór na odległość punktów z jednym pierwiastkiem poznasz w liceum, ale to dokładnie ten sam rachunek.

Jak znaleźć drugi koniec odcinka, gdy znam środek?

Sprawdź, o ile zmienia się każda współrzędna przy przejściu z jednego końca do środka, i zrób taką samą zmianę jeszcze raz, już od środka. Dla końca $(0, 3)$ i środka $(2, 1)$ idziesz o $2$ w prawo i o $2$ w dół, więc drugi koniec to $(4, -1)$.

Jak nazywają się osie układu współrzędnych?

Poziomą oś nazywamy osią $x$ (osią odciętych), pionową osią $y$ (osią rzędnych). Przecinają się w początku układu o współrzędnych $(0, 0)$. W zadaniach egzaminacyjnych zwykle wystarczą ci nazwy „oś $x$” i „oś $y$”, a określenia „odcięta” i „rzędna” spotkasz głównie w podręcznikach.

W której ćwiartce leży punkt, który ma obie współrzędne ujemne?

W trzeciej ćwiartce, czyli w lewej dolnej części układu. Ćwiartki numeruje się od prawej górnej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Znasz więc znaki: w pierwszej oba plusy, w drugiej minus i plus, w trzeciej dwa minusy, w czwartej plus i minus.

Czy na egzaminie ósmoklasisty trzeba znać równanie prostej i wzór na odległość punktów?

Nie. Podstawa programowa dla klas VII–VIII wymaga punktów kratowych, środka odcinka, jego długości dla punktów kratowych i innych punktów kratowych na prostej. Równanie prostej $y = ax + b$ i wzór na odległość dwóch punktów to wiedza z liceum. Kalkulatora i karty wzorów na tym egzaminie też nie masz.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych pozwala opisać położenie punktu dwiema liczbami. Na tej stronie nauczysz się odczytywać i zaznaczać punkty na kratce, znajdować środek odcinka i jego drugi koniec, liczyć długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa oraz szukać innych punktów kratowych na prostej. Znajdziesz tu metodę krok po kroku, przykłady i prawdziwe zadania z arkuszy CKE z egzaminu ósmoklasisty.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 3 z 4 arkuszy 2023–2026 (w latach 2024, 2025 i 2026), zawsze jako zadanie z rysunkiem na kratce.

kl. VII–VIII
egzamin ósmoklasisty

Najważniejsze

to musisz umieć

Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe o wspólnym początku: pozioma oś $x$ i pionowa oś $y$ . Punkt, w którym się przecinają, to początek układu $O = (0, 0)$ . Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki, numerowane od prawej górnej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Punkt zapisujesz jako parę liczb $(x, y)$ . Pierwsza liczba mówi, ile jednostek idziesz od początku układu w poziomie (w prawo, gdy jest dodatnia, w lewo, gdy jest ujemna), druga, ile w pionie (w górę albo w dół). Kolejność ma znaczenie: $(3, -2)$ i $(-2, 3)$ to dwa różne punkty.
Znaki współrzędnych wskazują ćwiartkę: w pierwszej obie liczby są dodatnie, w drugiej $x$ jest ujemne, a $y$ dodatnie, w trzeciej obie są ujemne, w czwartej $x$ jest dodatnie, a $y$ ujemne. Punkt na osi $x$ ma $y = 0$ , a punkt na osi $y$ ma $x = 0$ . Taki punkt nie leży w żadnej ćwiartce.
Punkty kratowe to punkty o współrzędnych całkowitych, leżące w węzłach kratki. Na egzaminie ósmoklasisty odczytujesz ich współrzędne z rysunku i zaznaczasz punkty o podanych współrzędnych całkowitych, także ujemnych.
Środek odcinka o końcach $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ to punkt $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ , czyli średnie arytmetyczne współrzędnych końców. Znając jeden koniec $A$ i środek $S$ , o tyle samo przesuwasz się dalej: jeśli z $A$ do $S$ idziesz o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie, to z $S$ do drugiego końca idziesz o te same $p$ i $q$ .
Długość odcinka o końcach w punktach kratowych liczysz z twierdzenia Pitagorasa. Dorysuj trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne biegną po liniach kratki, odczytaj ich długości jako różnice współrzędnych i policz przeciwprostokątną. Gotowy wzór na odległość dwóch punktów poznasz w liceum; na egzaminie ósmoklasisty wystarczy ci rysunek.
Inne punkty kratowe prostej $AB$ znajdziesz, powtarzając krok z $A$ do $B$ : do przodu, za punkt $B$ , i do tyłu, przed punkt $A$ . Każdy taki punkt leży na tej samej prostej, także poza odcinkiem $AB$ . Gdy obie liczby kroku mają wspólny dzielnik, skróć je: krok $(4, 6)$ zamień na $(2, 3)$ , a znajdziesz też punkty kratowe leżące między $A$ i $B$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Odczytaj punkt
Zacznij od początku układu. Idź po osi $x$ do tej pionowej linii kratki, na której leży punkt, a potem w górę albo w dół do punktu. Zapisz najpierw liczbę z osi $x$ , potem z osi $y$ . Pamiętaj o znakach: w lewo i w dół to liczby ujemne.
2.Zaznacz punkt
Dla $(-3, 2)$ zacznij w początku układu, idź $3$ jednostki w lewo i $2$ jednostki w górę, a w tym miejscu postaw punkt. Gdy jedna współrzędna jest zerem, nie ruszasz się w tym kierunku, a punkt leży na osi.
3.Policz środek odcinka
Dodaj osobno współrzędne $x$ obu końców i podziel sumę przez $2$ , potem zrób to samo dla współrzędnych $y$ . Wynik może być ułamkiem, na przykład $-\frac{1}{2}$ , bo środek nie musi leżeć w węźle kratki.
4.Znajdź drugi koniec odcinka
Sprawdź, o ile zmieniają się obie współrzędne przy przejściu z końca $A$ do środka $S$ , i dodaj tę samą zmianę do współrzędnych $S$ . Na koniec sprawdź wynik: środek odcinka o końcach $A$ i $B$ ma być punktem $S$ .
5.Policz długość odcinka
Narysuj trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest dany odcinek, a przyprostokątne są poziome i pionowe. Ich długości to różnice współrzędnych $x$ oraz $y$ (większa minus mniejsza). Dalej działa twierdzenie Pitagorasa: $a^2 + b^2 = c^2$ .
6.Sprawdź szkicem
Naszkicuj punkty na kratce. Czy środek leży w połowie odcinka? Czy długość odcinka jest większa od każdej z przyprostokątnych? Szkic wyłapuje większość błędów w znakach i w kolejności współrzędnych.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.W której ćwiartce leży punkt
Dane są punkty $K = (-5, 2)$ , $L = (4, -3)$ , $M = (-1, -6)$ i $N = (0, 5)$ . Wskaż, w której ćwiartce układu współrzędnych leży każdy z nich.
2.Środek odcinka i drugi koniec
a) Dane są punkty $A = (-6, 1)$ i $B = (2, 8)$ . Oblicz współrzędne środka odcinka $AB$ .
b) Środkiem odcinka $CD$ jest punkt $S = (1, -2)$ , a jeden koniec to $C = (-3, 4)$ . Oblicz współrzędne końca $D$ .
3.Długość odcinka na kratce
Punkty $A = (-6, -3)$ i $B = (-1, 9)$ leżą w układzie współrzędnych. Oblicz długość odcinka $AB$ .
4.Inne punkty kratowe na prostej
Punkty $A = (1, -2)$ i $B = (4, 2)$ są punktami kratowymi. Podaj dwa inne punkty kratowe, które leżą na prostej $AB$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2025, zadanie 14

Zadanie 14. (0–1)

W układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku

ABCD

A = (-3, -2)

C = (4, 2)

D = (-1, 2)

(zobacz rysunek). Współrzędna

x

wierzchołka

B

, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Niezaznaczony na rysunku wierzchołek

B

tego równoległoboku ma współrzędne

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2025, arkusz OMAP-100-2505, zadanie 14 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty

M

W

S

oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się

3

km na północ i

4

km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się

5

km na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.

Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż

10

km.

Zadanie 12 z arkusza CKE OMAP-100-2605 (egzamin ósmoklasisty 2026) — wyjaśnienie Kleksy

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

W układzie współrzędnych dane są punkty

A = (-3, -4)

B = (7, -8)

. Środek odcinka

AB

ma współrzędne

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

W układzie współrzędnych narysowano trójkąt ABC (rysunek). Wierzchołki trójkąta leżą w punktach kratowych. Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Zamiana kolejności współrzędnych. Punkt $(2, -3)$ leży $2$ jednostki w prawo i $3$ w dół od początku układu, a punkt $(-3, 2)$ leży zupełnie gdzie indziej: $3$ w lewo i $2$ w górę. Pierwsza liczba zawsze opisuje oś $x$ .
Zły kierunek przy liczbach ujemnych. Ujemna współrzędna $x$ oznacza ruch w lewo, ujemna współrzędna $y$ ruch w dół. Punkt $(-4, 1)$ leży po lewej stronie osi $y$ , a nie po prawej.
Odejmowanie zamiast dodawania przy środku odcinka. Dla końców o współrzędnych $x$ równych $-4$ i $2$ środek ma $x = \frac{-4 + 2}{2} = -1$ , a nie $\frac{-4 - 2}{2} = -3$ . Inny częsty błąd to podzielenie przez $2$ tylko jednej współrzędnej.
Dodawanie przyprostokątnych zamiast liczenia przeciwprostokątnej. Dla przyprostokątnych $5$ i $12$ długość odcinka to $\sqrt{25 + 144} = 13$ , a nie $5 + 12 = 17$ . Różnice współrzędnych to boki trójkąta prostokątnego, a nie długość odcinka.
Szukanie drugiego końca przez dodanie współrzędnych środka do współrzędnych znanego końca. Dla $A = (2, 1)$ i $S = (5, 4)$ idziesz z $A$ do $S$ o $3$ w prawo i o $3$ w górę, więc $B = (8, 7)$ , a nie $(2 + 5,\ 1 + 4) ={}$ $(7, 5)$ .

Do zapamiętania

Punkt to para $(x, y)$ : najpierw poziomo, potem pionowo.
Ćwiartki od prawej górnej, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: I $(+, +)$ , II $(-, +)$ , III $(-, -)$ , IV $(+, -)$ .
Środek odcinka: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .
Drugi koniec odcinka: z $S$ zrób taki sam krok, jaki jest z $A$ do $S$ .
Długość odcinka na kratce: trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa.

Pytania i odpowiedzi

1.Jak odczytać współrzędne punktu w układzie współrzędnych?+
Odp.:Zacznij od początku układu i policz, ile jednostek dzieli punkt od osi $y$ w poziomie, a ile od osi $x$ w pionie. Pierwsza współrzędna to ruch poziomy, druga pionowy. Ruch w lewo albo w dół daje liczbę ujemną. Punkt $3$ w lewo i $4$ w górę od początku to $(-3, 4)$ .
2.Jak obliczyć środek odcinka w układzie współrzędnych?+
Odp.:Dodaj osobno współrzędne $x$ obu końców i podziel przez $2$ , potem to samo zrób dla $y$ . Dla $A = (-4, 6)$ i $B = (2, -2)$ środek to $\left(\frac{-4 + 2}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right) = (-1, 2)$ . Środek odcinka leży w połowie drogi między końcami.
3.Jak obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych?+
Odp.:Na egzaminie ósmoklasisty rysujesz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne biegną po liniach kratki, i stosujesz twierdzenie Pitagorasa. Różnice współrzędnych dają długości przyprostokątnych. Wzór na odległość punktów z jednym pierwiastkiem poznasz w liceum, ale to dokładnie ten sam rachunek.
4.Jak znaleźć drugi koniec odcinka, gdy znam środek?+
Odp.:Sprawdź, o ile zmienia się każda współrzędna przy przejściu z jednego końca do środka, i zrób taką samą zmianę jeszcze raz, już od środka. Dla końca $(0, 3)$ i środka $(2, 1)$ idziesz o $2$ w prawo i o $2$ w dół, więc drugi koniec to $(4, -1)$ .
5.Jak nazywają się osie układu współrzędnych?+
Odp.:Poziomą oś nazywamy osią $x$ (osią odciętych), pionową osią $y$ (osią rzędnych). Przecinają się w początku układu o współrzędnych $(0, 0)$ . W zadaniach egzaminacyjnych zwykle wystarczą ci nazwy „oś $x$ ” i „oś $y$ ”, a określenia „odcięta” i „rzędna” spotkasz głównie w podręcznikach.
6.W której ćwiartce leży punkt, który ma obie współrzędne ujemne?+
Odp.:W trzeciej ćwiartce, czyli w lewej dolnej części układu. Ćwiartki numeruje się od prawej górnej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Znasz więc znaki: w pierwszej oba plusy, w drugiej minus i plus, w trzeciej dwa minusy, w czwartej plus i minus.
7.Czy na egzaminie ósmoklasisty trzeba znać równanie prostej i wzór na odległość punktów?+
Odp.:Nie. Podstawa programowa dla klas VII–VIII wymaga punktów kratowych, środka odcinka, jego długości dla punktów kratowych i innych punktów kratowych na prostej. Równanie prostej $y = ax + b$ i wzór na odległość dwóch punktów to wiedza z liceum. Kalkulatora i karty wzorów na tym egzaminie też nie masz.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 26 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Układ współrzędnych

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Odczytaj punkt

2.Zaznacz punkt

3.Policz środek odcinka

4.Znajdź drugi koniec odcinka

5.Policz długość odcinka

6.Sprawdź szkicem

Przykłady

1.W której ćwiartce leży punkt

2.Środek odcinka i drugi koniec

3.Długość odcinka na kratce

4.Inne punkty kratowe na prostej

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła