Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Przyprostokątne to boki przy kącie prostym, a przeciwprostokątna to najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.

Jak obliczyć przeciwprostokątną?

Podnieś obie przyprostokątne do kwadratu, dodaj wyniki i wyciągnij pierwiastek: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Dla przyprostokątnych $9$ i $12$ wychodzi $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$. Sprawdź na koniec, czy przeciwprostokątna jest dłuższa od każdej przyprostokątnej.

Jak obliczyć przyprostokątną, gdy znam przeciwprostokątną?

Od kwadratu przeciwprostokątnej odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej i wyciągnij pierwiastek: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Dla przeciwprostokątnej $25$ i przyprostokątnej $7$ wychodzi $\sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. Najczęstszy błąd to dodanie kwadratów zamiast odejmowania.

W której klasie jest twierdzenie Pitagorasa?

W szkole podstawowej uczysz się go w klasach VII–VIII: podstawa programowa wymaga, żeby uczeń znał i stosował twierdzenie Pitagorasa w sytuacjach praktycznych. W liceum, w zakresie podstawowym, wraca ono w planimetrii, w trygonometrii, w stereometrii i w geometrii analitycznej.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: na maturze czy już na egzaminie ósmoklasisty?

Na maturze. Podstawa programowa szkoły podstawowej mówi wprost „bez twierdzenia odwrotnego”, więc na egzaminie ósmoklasisty ono nie obowiązuje. Na maturze podstawowej trzeba umieć rozpoznać po długościach boków, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny, i tam twierdzenie odwrotne się przydaje.

Czy na egzaminie można liczyć na kalkulatorze?

Na egzaminie ósmoklasisty z matematyki nie: według komunikatu CKE masz tylko długopis i linijkę, a kalkulator dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Na maturze z matematyki kalkulator prosty jest obowiązkowy, a szkoła daje broszurę „Wybrane wzory matematyczne”. Dlatego na egzaminie ósmoklasisty upraszczaj pierwiastki ręcznie.

Jakie trójki liczb pasują do twierdzenia Pitagorasa?

Najczęściej spotkasz trójki $3, 4, 5$; $5, 12, 13$; $8, 15, 17$ i $7, 24, 25$, a także ich wielokrotności, na przykład $9, 12, 15$ albo $30, 40, 50$. Gdy w zadaniu widzisz takie liczby, wynik często jest całkowity. Zawsze jednak sprawdź go rachunkiem.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$ . Z tego jednego wzoru policzysz brakujący bok trójkąta, przekątną prostokąta, wysokość trójkąta równobocznego i odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych. Na tej stronie znajdziesz wzór, metodę krok po kroku, przykłady i prawdziwe zadania z arkuszy CKE.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026; na maturze podstawowej: w 3 z 4, zwykle jako krok zadania z trygonometrii lub planimetrii.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
egzamin ósmoklasisty
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Twierdzenie dotyczy tylko trójkąta prostokątnego. Boki przy kącie prostym to przyprostokątne ( $a$ i $b$ ), bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna ( $c$ ).
Wzór: $a^2 + b^2 = c^2$ . Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych.
Gdy szukasz przeciwprostokątnej, dodajesz kwadraty: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Gdy szukasz przyprostokątnej, odejmujesz: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. Jeśli wyszła ci krótsza od przyprostokątnej, w obliczeniach jest błąd.
Wynik zostaw w postaci pierwiastka, jeśli nie wychodzi liczba całkowita, na przykład $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ . Na egzaminie ósmoklasisty nie masz kalkulatora.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Znajdź kąt prosty
Zaznacz na rysunku kąt prosty. Bok, który leży naprzeciw niego, to przeciwprostokątna $c$ . Dwa pozostałe boki to przyprostokątne. Jeśli rysunku nie ma, narysuj go sam.
2.Zapisz wzór z literami z zadania
Zapisz twierdzenie dla boków z treści, na przykład $|AC|^2 + |BC|^2 ={}$ $|AB|^2$ , gdy kąt prosty jest przy wierzchołku $C$ . Po prawej stronie zawsze stoi przeciwprostokątna.
3.Podstaw dane i policz kwadraty
Wpisz znane długości i podnieś je do kwadratu. Szukasz przeciwprostokątnej, więc dodajesz; szukasz przyprostokątnej, więc od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujesz kwadrat drugiej przyprostokątnej.
4.Wyciągnij pierwiastek
Długość boku to pierwiastek z otrzymanej liczby. Uprość pierwiastek, jeśli się da: $\sqrt{27} ={}$ $\sqrt{9 \cdot 3} ={}$ $3\sqrt{3}$ . Długość jest zawsze dodatnia.
5.Sprawdź wynik
Sprawdź, czy przeciwprostokątna wyszła najdłuższa i czy wynik ma jednostkę z zadania. Podstaw liczby z powrotem do wzoru $a^2 + b^2 = c^2$ i porównaj obie strony.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Przeciwprostokątna z dwóch przyprostokątnych
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $8$ cm i $15$ cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
2.Przyprostokątna i pierwiastek, który trzeba uprościć
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $6$ , a jedna z przyprostokątnych ma długość $4$ . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.
3.Wysokość trójkąta równobocznego
Trójkąt równoboczny $KLM$ ma bok długości $6$ . Oblicz jego wysokość $h$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2025, zadanie 11

Zadanie 11. (0–1)

Dany jest trójkąt prostokątny

ABC

. Na środku boku

AB

zaznaczono punkt

D

. Następnie poprowadzono odcinek

DC

, dzielący trójkąt

ABC

na dwa trójkąty

ADC

DBC

. Ponadto

|AD| = |DB| = 30

cm oraz

|DC| = 50

cm (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta

DBC

jest równe

600

cm².

Pole trójkąta

ABC

jest dwa razy większe od pola trójkąta

ADC

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2025, arkusz OMAP-100-2505, zadanie 11 · Arkusz na stronie CKE

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym twierdzenie Pitagorasa rzadko jest osobnym zadaniem. Zwykle jest jednym krokiem: liczysz z niego bok, a potem sinus kąta, pole figury, przekątną bryły albo długość odcinka w układzie współrzędnych. Wzór na długość odcinka

|AB| ={}

\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

to właśnie twierdzenie Pitagorasa: dla

A = (1, 2)

B = (4, 6)

wychodzi

\sqrt{9 + 16} = 5

Na maturze obowiązuje też twierdzenie odwrotne: jeśli boki trójkąta spełniają równość

a^2 + b^2 = c^2

, to trójkąt jest prostokątny. Boki

7

24

25

tworzą trójkąt prostokątny, bo

49 + 576 = 625 = 25^2

. Porównując kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych, rozpoznasz też trójkąt ostrokątny (

4

5

6

16 + 25 = 41 > 36

) i rozwartokątny (

2

3

4

4 + 9 = 13 < 16

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 18

Zadanie 18. (0–1)

Dany jest trójkąt prostokątny

ABC

, w którym bok

AC

jest przeciwprostokątną oraz

|BC| = 2

|AC| = 2\sqrt{10}

. Oznaczmy kąt

BCA

przez

\gamma

(zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta

\gamma

jest równy

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 18 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości

2

cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wysokość tego trójkąta jest równa

\sqrt{3}

cm.

Pole tego trójkąta jest równe

\sqrt{3}

cm².

Zadanie 10 z arkusza CKE OMAP-100-2605 (egzamin ósmoklasisty 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan o krawędziach długości 9, 6 i 2. Oblicz długość przekątnej

d

tego prostopadłościanu.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 3. (0–1)

Dane są punkty

A = (0, 6)

B = (12, 11)

. Oblicz długość odcinka

AB

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Drabina o długości

250

cm stoi oparta o pionową ścianę. Dolny koniec drabiny jest w odległości

70

cm od ściany. Oblicz, na jakiej wysokości górny koniec drabiny dotyka ściany. Wynik podaj w centymetrach.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 5. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

6

cm i

8

cm. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Dodawanie kwadratów, gdy szukasz przyprostokątnej. Jeśli znasz przeciwprostokątną, od jej kwadratu odejmujesz kwadrat drugiej przyprostokątnej, a nie dodajesz.
Zapisanie $c = a + b$ zamiast $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dla przyprostokątnych $9$ i $12$ przeciwprostokątna to $15$ , a nie $21$ : pierwiastek z sumy kwadratów to nie suma.
Pomylenie, który bok jest przeciwprostokątną. Zawsze leży ona naprzeciw kąta prostego, nawet gdy na rysunku nie jest pozioma ani nie jest opisana literą $c$ .
Stosowanie wzoru w trójkącie, który nie jest prostokątny. Najpierw znajdź kąt prosty; jeśli go nie ma, poprowadź wysokość i licz w trójkątach prostokątnych, które powstały.
Zostawienie wyniku $\sqrt{27}$ albo $\sqrt{20}$ , gdy odpowiedzi w zadaniu zamkniętym są zapisane jako $3\sqrt{3}$ i $2\sqrt{5}$ . Uprość pierwiastek, zanim porównasz go z odpowiedziami.

Do zapamiętania

$a^2 + b^2 = c^2$ , gdzie $c$ to przeciwprostokątna, naprzeciw kąta prostego.
Przeciwprostokątna: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Przyprostokątna: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Przekątna kwadratu o boku $a$ : $d = a\sqrt{2}$ .
Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ : $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Trójki liczb, które warto znać: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Planimetria§ 10 · strona 15–22
Geometria analityczna§ 11 · strona 22–26

Twierdzenie Pitagorasa jest na stronie 15 broszury, w części o planimetrii, razem z twierdzeniem odwrotnym. Na stronie 16 znajdziesz związki miarowe w trójkącie prostokątnym i w trójkącie równobocznym, a wśród nich wzór na wysokość trójkąta równobocznego.

Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych jest na stronie 22, w części o geometrii analitycznej. Korzystaj z broszury, ale samego twierdzenia naucz się na pamięć: na egzaminie ósmoklasisty żadnej karty wzorów nie dostajesz.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?+
Odp.:W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$ . Przyprostokątne to boki przy kącie prostym, a przeciwprostokątna to najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.
2.Jak obliczyć przeciwprostokątną?+
Odp.:Podnieś obie przyprostokątne do kwadratu, dodaj wyniki i wyciągnij pierwiastek: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dla przyprostokątnych $9$ i $12$ wychodzi $\sqrt{81 + 144} ={}$ $\sqrt{225} ={}$ $15$ . Sprawdź na koniec, czy przeciwprostokątna jest dłuższa od każdej przyprostokątnej.
3.Jak obliczyć przyprostokątną, gdy znam przeciwprostokątną?+
Odp.:Od kwadratu przeciwprostokątnej odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej i wyciągnij pierwiastek: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Dla przeciwprostokątnej $25$ i przyprostokątnej $7$ wychodzi $\sqrt{625 - 49} ={}$ $\sqrt{576} ={}$ $24$ . Najczęstszy błąd to dodanie kwadratów zamiast odejmowania.
4.W której klasie jest twierdzenie Pitagorasa?+
Odp.:W szkole podstawowej uczysz się go w klasach VII–VIII: podstawa programowa wymaga, żeby uczeń znał i stosował twierdzenie Pitagorasa w sytuacjach praktycznych. W liceum, w zakresie podstawowym, wraca ono w planimetrii, w trygonometrii, w stereometrii i w geometrii analitycznej.
5.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: na maturze czy już na egzaminie ósmoklasisty?+
Odp.:Na maturze. Podstawa programowa szkoły podstawowej mówi wprost „bez twierdzenia odwrotnego”, więc na egzaminie ósmoklasisty ono nie obowiązuje. Na maturze podstawowej trzeba umieć rozpoznać po długościach boków, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny, i tam twierdzenie odwrotne się przydaje.
6.Czy na egzaminie można liczyć na kalkulatorze?+
Odp.:Na egzaminie ósmoklasisty z matematyki nie: według komunikatu CKE masz tylko długopis i linijkę, a kalkulator dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Na maturze z matematyki kalkulator prosty jest obowiązkowy, a szkoła daje broszurę „Wybrane wzory matematyczne”. Dlatego na egzaminie ósmoklasisty upraszczaj pierwiastki ręcznie.
7.Jakie trójki liczb pasują do twierdzenia Pitagorasa?+
Odp.:Najczęściej spotkasz trójki $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ i $7, 24, 25$ , a także ich wielokrotności, na przykład $9, 12, 15$ albo $30, 40, 50$ . Gdy w zadaniu widzisz takie liczby, wynik często jest całkowity. Zawsze jednak sprawdź go rachunkiem.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Twierdzenie Pitagorasa

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Znajdź kąt prosty

2.Zapisz wzór z literami z zadania

3.Podstaw dane i policz kwadraty

4.Wyciągnij pierwiastek

5.Sprawdź wynik