Co to są liczby wymierne?

To liczby, które można zapisać jako ułamek $\frac{a}{b}$, gdzie $a$ i $b$ są całkowite, a $b$ różne od zera. Należą do nich wszystkie liczby całkowite, ułamki zwykłe, liczby mieszane oraz ułamki dziesiętne skończone i okresowe, na przykład $0{,}(3) = \frac{1}{3}$, także ujemne.

Jaka jest kolejność wykonywania działań?

Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego rzędu liczysz od lewej do prawej, więc $20 - 5 + 2 = 17$, a nie $13$. Gdy nawiasy są jeden w drugim, zaczynasz od najbardziej wewnętrznego.

Czy mnożenie jest zawsze przed dzieleniem?

Nie. Mnożenie i dzielenie mają ten sam rząd, więc liczysz je w kolejności, w jakiej stoją, od lewej do prawej. Wyrażenie $24 : 4 \cdot 3$ ma wartość $6 \cdot 3 = 18$. To samo dotyczy dodawania i odejmowania.

Jak odejmować liczby ujemne?

Zamień odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej: $a - (-b) = a + b$. Wtedy $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$. Możesz też patrzeć na oś liczbową: odjęcie liczby ujemnej przesuwa punkt w prawo, więc wynik jest większy od liczby, od której odejmujesz.

Czym różnią się liczby wymierne od rzeczywistych?

Liczby rzeczywiste poznasz dopiero w liceum. Obejmują liczby wymierne i takie, których nie da się zapisać ułamkiem, na przykład $\sqrt{2}$. W szkole podstawowej pracujesz na liczbach wymiernych, więc na egzaminie ósmoklasisty ta różnica nie jest ci potrzebna.

Czy wartość bezwzględna jest na egzaminie ósmoklasisty?

Tak, ale tylko jako obliczenie: wiesz, że $\lvert -7 \rvert = 7$, bo jest to odległość liczby od zera. Równania z wartością bezwzględną, takie jak $|x + 4| = 5$, są w wymaganiach matury podstawowej; zajrzyj wtedy na stronę o wartości bezwzględnej.

Czy na egzaminie ósmoklasisty można liczyć na kalkulatorze?

Nie. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę. Kalkulator prosty dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Karty wzorów też nie ma, więc zasady znaków i kolejności działań musisz mieć w głowie.

W której klasie uczy się liczb ujemnych i kolejności działań?

Według podstawy programowej z 2024 roku liczby całkowite, w tym ujemne, oraz kolejność działań to treści klas IV–VI. Obliczanie wartości wyrażeń z ułamkami i liczbami wymiernymi ujemnymi, z zachowaniem kolejności działań, też jest wymaganiem z klas IV–VI. Dopiero w klasach VII–VIII dochodzi zaznaczanie na osi zbiorów liczb, takich jak $x \geq 1{,}5$.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Liczby wymierne i kolejność wykonywania działań

Liczby wymierne to wszystkie liczby, które da się zapisać jako ułamek: całkowite, zwykłe, dziesiętne i mieszane, także ujemne. Na egzaminie ósmoklasisty liczysz na nich bez kalkulatora, więc ważne są dwie rzeczy: znaki przy mnożeniu, dzieleniu i odejmowaniu oraz kolejność wykonywania działań. Na tej stronie znajdziesz zasady, metodę krok po kroku, przykłady, zadanie CKE i zadania do sprawdzenia od razu.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 2 z 4 arkuszy 2023–2026 (w 2024 i 2025) jest zadanie na liczbach wymiernych ujemnych lub na osi liczbowej.

kl. IV–VI
kl. VII–VIII
egzamin ósmoklasisty

Najważniejsze

to musisz umieć

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka $\frac{a}{b}$ , gdzie $a$ jest całkowite, a $b$ jest całkowite i różne od zera. Są wśród nich liczby całkowite ( $5 = \frac{5}{1}$ ), ułamki zwykłe, liczby mieszane i ułamki dziesiętne, także ujemne. Liczby takie jak $\sqrt{2}$ do nich nie należą; poznasz je przy pierwiastkach.
Na osi liczbowej liczby rosną w prawo. Liczby ujemne leżą na lewo od zera, więc większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo. Dlatego $-3 < -1 < 0 < 2$ . Z dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która jest bliżej zera.
Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi: $\lvert -7 \rvert = 7$ , $|4| = 4$ , $|0| = 0$ . Jest zawsze nieujemna. Na egzaminie ósmoklasisty wartość bezwzględną tylko obliczasz.
Znaki przy mnożeniu i dzieleniu: dwie liczby o tych samych znakach dają wynik dodatni, o różnych znakach wynik ujemny. Przy odejmowaniu pamiętaj, że odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną: $5 - (-2) = 5 + 2 = 7$ .
Kolejność działań: najpierw to, co w nawiasach (zaczynając od najbardziej wewnętrznych), potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego rzędu liczysz od lewej do prawej.
Zbiór liczb spełniających warunek, na przykład $x \geq 1{,}5$ , zaznaczasz na osi półprostą. Zamalowane kółko oznacza, że liczba należy do zbioru ( $\geq$ lub $\leq$ ), puste kółko, że nie należy ( $>$ lub $<$ ). Dla $x < -\frac{4}{7}$ puste kółko stoi na $-\frac{4}{7}$ , trochę na lewo od $-0{,}5$ , a zaznaczona jest półprosta w lewo.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Ustal znak każdej liczby
Zapisz liczby ujemne w nawiasach, na przykład $5 - (-3)$ , a nie $5 - -3$ . Od razu zamień podwójne znaki: odjąć liczbę ujemną to dodać liczbę dodatnią. Zgubiony znak minus to częsta przyczyna utraty punktów w tym temacie.
2.Ustal kolejność działań
Przejrzyj całe wyrażenie i zaznacz, co liczysz najpierw: nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, na końcu dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej. Nie licz działań w kolejności, w której przypadkiem wpadły ci w oko.
3.Jedno działanie, jedna linijka
Po każdym kroku przepisz wyrażenie z już policzonym działaniem. Wtedy każdy znak widać i łatwo znajdziesz miejsce, w którym wkradł się błąd. Przy mnożeniu i dzieleniu zapisz najpierw znak wyniku, a potem jego wartość.
4.Zapisz liczby w jednej postaci
Gdy w wyrażeniu są ułamki zwykłe i dziesiętne, zapisz wszystkie w tej postaci, w której rachunek jest prostszy. Na przykład $0{,}25 = \frac{1}{4}$ , a $2{,}4 : 0{,}6$ policzysz, mnożąc obie liczby przez $10$ i dzieląc $24 : 6$ .
5.Sprawdź znak i rząd wielkości
Na koniec oszacuj wynik. Iloczyn dwóch liczb ujemnych musi być dodatni, a iloraz liczby dodatniej i ujemnej ujemny. Jeśli wynik ma zły znak albo jest o rząd wielkości za duży, wróć do kroku, w którym ustalasz znaki.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Odejmowanie liczby ujemnej
Oblicz wartość wyrażenia $-\frac{2}{3} - \left(-\frac{3}{4}\right)$ .
2.Kolejność działań z liczbami ujemnymi
Oblicz wartość wyrażenia $-3 +{}$ $2{,}4 : (-0{,}6) \cdot 0{,}5 -{}$ $(-1)$ .
3.Liczba mieszana ujemna i ułamek dziesiętny
Oblicz $\left(-2\frac{1}{2}\right) \cdot 0{,}6 + 1\frac{1}{4}$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2024, zadanie 4

Zadanie 4. (0–1)

Dane są dwie liczby

x

y

zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

x = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) \qquad\qquad y = \frac{4}{5} + \left(-\frac{4}{3}\right)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba

y

jest liczbą . Liczba

x

jest od liczby

y

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2024, arkusz OMAP-100-2405, zadanie 4 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

0{,}3

\frac{3}{4}

\frac{2}{5}

0{,}8

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia

(-4) \cdot 2{,}5 +{}

18 : (-3) -{}

(-7)

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia

\lvert -9 \rvert - |4 - 10|

jest równa

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Poniżej są trzy zdania o liczbach wymiernych. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

-0{,}6 > -\frac{2}{3}

\left|-\frac{3}{5}\right| = -\frac{3}{5}

\left(-\frac{1}{2}\right) : \left(-\frac{1}{4}\right) = -2

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Liczenie działań po kolei od lewej bez względu na ich rząd. W wyrażeniu $2 + 3 \cdot 4$ najpierw mnożysz: wynik to $14$ , a nie $20$ .
Wykonanie mnożenia przed dzieleniem, które stoi po jego lewej stronie. W $12 : 3 \cdot 2$ liczysz od lewej: $4 \cdot 2 = 8$ . Gdy najpierw pomnożysz $3 \cdot 2$ , wyjdzie $2$ , czyli błąd.
Zła zamiana odejmowania liczby ujemnej. $6 - (-2)$ to $6 + 2 = 8$ , a nie $4$ . Dwa minusy obok siebie dają plus.
Porównywanie liczb ujemnych tak jak dodatnich. Liczba $-5$ jest mniejsza od $-2$ , bo leży dalej na lewo od zera, choć $5 > 2$ .
Wartość bezwzględna z minusem w wyniku. $\lvert -4 \rvert = 4$ , a nie $-4$ . Kreski oznaczają odległość od zera, a odległość nie jest ujemna.

Do zapamiętania

Te same znaki w iloczynie lub ilorazie: wynik dodatni. Różne znaki: wynik ujemny.
Odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną: $a - (-b) = a + b$ .
Kolejność: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie od lewej, dodawanie i odejmowanie od lewej.
Większa jest liczba leżąca bardziej na prawo na osi. Wartość bezwzględna to odległość od zera, więc nigdy nie jest ujemna.
Na egzaminie ósmoklasisty nie masz kalkulatora, więc zamieniaj liczby na wygodną postać.

Pytania i odpowiedzi

1.Co to są liczby wymierne?+
Odp.:To liczby, które można zapisać jako ułamek $\frac{a}{b}$ , gdzie $a$ i $b$ są całkowite, a $b$ różne od zera. Należą do nich wszystkie liczby całkowite, ułamki zwykłe, liczby mieszane oraz ułamki dziesiętne skończone i okresowe, na przykład $0{,}(3) = \frac{1}{3}$ , także ujemne.
2.Jaka jest kolejność wykonywania działań?+
Odp.:Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego rzędu liczysz od lewej do prawej, więc $20 - 5 + 2 = 17$ , a nie $13$ . Gdy nawiasy są jeden w drugim, zaczynasz od najbardziej wewnętrznego.
3.Czy mnożenie jest zawsze przed dzieleniem?+
Odp.:Nie. Mnożenie i dzielenie mają ten sam rząd, więc liczysz je w kolejności, w jakiej stoją, od lewej do prawej. Wyrażenie $24 : 4 \cdot 3$ ma wartość $6 \cdot 3 = 18$ . To samo dotyczy dodawania i odejmowania.
4.Jak odejmować liczby ujemne?+
Odp.:Zamień odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej: $a - (-b) = a + b$ . Wtedy $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$ . Możesz też patrzeć na oś liczbową: odjęcie liczby ujemnej przesuwa punkt w prawo, więc wynik jest większy od liczby, od której odejmujesz.
5.Czym różnią się liczby wymierne od rzeczywistych?+
Odp.:Liczby rzeczywiste poznasz dopiero w liceum. Obejmują liczby wymierne i takie, których nie da się zapisać ułamkiem, na przykład $\sqrt{2}$ . W szkole podstawowej pracujesz na liczbach wymiernych, więc na egzaminie ósmoklasisty ta różnica nie jest ci potrzebna.
6.Czy wartość bezwzględna jest na egzaminie ósmoklasisty?+
Odp.:Tak, ale tylko jako obliczenie: wiesz, że $\lvert -7 \rvert = 7$ , bo jest to odległość liczby od zera. Równania z wartością bezwzględną, takie jak $|x + 4| = 5$ , są w wymaganiach matury podstawowej; zajrzyj wtedy na stronę o wartości bezwzględnej.
7.Czy na egzaminie ósmoklasisty można liczyć na kalkulatorze?+
Odp.:Nie. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę. Kalkulator prosty dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Karty wzorów też nie ma, więc zasady znaków i kolejności działań musisz mieć w głowie.
8.W której klasie uczy się liczb ujemnych i kolejności działań?+
Odp.:Według podstawy programowej z 2024 roku liczby całkowite, w tym ujemne, oraz kolejność działań to treści klas IV–VI. Obliczanie wartości wyrażeń z ułamkami i liczbami wymiernymi ujemnymi, z zachowaniem kolejności działań, też jest wymaganiem z klas IV–VI. Dopiero w klasach VII–VIII dochodzi zaznaczanie na osi zbiorów liczb, takich jak $x \geq 1{,}5$ .

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 26 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Liczby wymierne i kolejność wykonywania działań

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Ustal znak każdej liczby

2.Ustal kolejność działań

3.Jedno działanie, jedna linijka

4.Zapisz liczby w jednej postaci

5.Sprawdź znak i rząd wielkości

Przykłady

1.Odejmowanie liczby ujemnej

2.Kolejność działań z liczbami ujemnymi

3.Liczba mieszana ujemna i ułamek dziesiętny

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła