Jak obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych?

Odejmij odpowiednie współrzędne końców, różnice podnieś do kwadratu, dodaj i wyciągnij pierwiastek: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Dla $A = (1, 1)$ i $B = (4, 5)$ wychodzi $\sqrt{9 + 16} = 5$. Kolejność odejmowania nie ma tu znaczenia, bo różnice podnosisz do kwadratu.

Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Oblicz współczynnik kierunkowy $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, potem podstaw współrzędne jednego z punktów do $y = ax + b$ i wyznacz $b$. Dla $A = (1, 2)$ i $B = (3, 8)$ wychodzi $a = 3$, $b = -1$, czyli $y = 3x - 1$. Sprawdź wynik na drugim punkcie.

Kiedy dwie proste są równoległe?

Proste w postaci kierunkowej $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $a_1 = a_2$. Gdy dodatkowo $b_1 = b_2$, to ta sama prosta. Gdy $a_1 \neq a_2$, proste przecinają się w jednym punkcie.

Jak odczytać środek i promień okręgu z równania?

W równaniu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ środek to $(a, b)$, a promień to pierwiastek z prawej strony. Na przykład $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16$ opisuje okrąg o środku $(-3, 1)$ i promieniu $4$. Uważaj na znaki: plus w nawiasie oznacza ujemną współrzędną środka.

Co z geometrii analitycznej jest na egzaminie ósmoklasisty?

Tylko układ współrzędnych z punktami: odczytywanie i zaznaczanie punktów kratowych, środek odcinka, drugi koniec odcinka przy danym środku, długość odcinka o końcach w punktach kratowych z twierdzenia Pitagorasa i punkty kratowe na prostej przez dwa punkty. Równania prostych i okręgów poznasz dopiero w liceum.

Czy równanie prostej prostopadłej jest na maturze podstawowej?

Wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej należy według podstawy programowej z 2024 roku do zakresu rozszerzonego. Na poziomie podstawowym rozpoznajesz wzajemne położenie prostych z ich równań, wyznaczasz prostą przez dwa punkty i prostą równoległą do danej. W arkuszach 2025 i 2026 CKE pytała właśnie o proste równoległe.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Geometria analityczna — prosta, odcinek, okrąg

Geometria analityczna to geometria liczona na współrzędnych: długość odcinka, jego środek, równanie prostej przez dwa punkty, prosta równoległa do danej, punkt przecięcia dwóch prostych i równanie okręgu. Na tej stronie znajdziesz wzory, metodę krok po kroku, przykłady i prawdziwe zadania z arkuszy CKE z matury podstawowej, a w osobnej części to, co z układu współrzędnych obowiązuje na egzaminie ósmoklasisty.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026; na egzaminie ósmoklasisty: w 3 z 4, jako zadanie z punktami w układzie współrzędnych.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
matura
egzamin ósmoklasisty

Najważniejsze

to musisz umieć

Długość odcinka o końcach $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ : $|AB| ={}$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ . To twierdzenie Pitagorasa w trójkącie o przyprostokątnych $|x_B - x_A|$ i $|y_B - y_A|$ . Środek odcinka: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .
Prosta w postaci kierunkowej: $y = ax + b$ . Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy: gdy $a > 0$ , prosta wznosi się, gdy $a < 0$ , opada. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, b)$ . Prosta pionowa $x = c$ nie ma postaci kierunkowej, opisuje ją tylko postać ogólna $Ax + By + C = 0$ .
Współczynnik kierunkowy prostej przez punkty $A$ i $B$ (gdy $x_A \neq x_B$ ): $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ . Wyraz $b$ obliczysz, podstawiając do $y = ax + b$ współrzędne jednego z tych punktów.
Proste $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1 = a_2$ . Prosta równoległa do danej ma więc ten sam współczynnik $a$ , a $b$ wyznaczasz z punktu, przez który przechodzi.
Punkt wspólny dwóch prostych to rozwiązanie układu ich równań. Proste równoległe i różne nie mają punktu wspólnego, a proste o różnych współczynnikach kierunkowych przecinają się w jednym punkcie.
Okrąg o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ ma równanie $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ . Po prawej stronie stoi kwadrat promienia, a w nawiasach współrzędne środka ze zmienionym znakiem: $(x + 3)^2$ oznacza, że pierwsza współrzędna środka to $-3$ .
Symetrie: względem osi $Ox$ punkt $(x, y)$ przechodzi na $(x, -y)$ , względem osi $Oy$ na $(-x, y)$ , a w symetrii względem początku układu na $(-x, -y)$ . Obraz okręgu to okrąg o tym samym promieniu i przekształconym środku.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Naszkicuj układ współrzędnych
Zaznacz dane punkty, nawet odręcznie. Szkic pokaże, czy prosta ma wznosić się, czy opadać, i od razu zdradzi błąd znaku w wyniku.
2.Długość i środek odcinka
Długość: od współrzędnych końca odejmij współrzędne początku, różnice podnieś do kwadratu, dodaj i wyciągnij pierwiastek. Środek: współrzędne końców dodaj i podziel przez $2$ . Gdy znasz środek i jeden koniec, drugi koniec to $B ={}$ $(2x_S - x_A, 2y_S - y_A)$ .
3.Równanie prostej przez dwa punkty
Oblicz $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , odejmując współrzędne w tej samej kolejności w liczniku i mianowniku. Podstaw współrzędne jednego punktu do $y = ax + b$ , wyznacz $b$ , a na koniec sprawdź drugi punkt.
4.Prosta równoległa i punkt przecięcia
Prosta równoległa ma to samo $a$ ; $b$ wyznacz z punktu, przez który ma przechodzić. Punkt przecięcia dwóch prostych znajdziesz, przyrównując prawe strony ich równań kierunkowych i obliczając $x$ , a potem $y$ .
5.Okrąg
Z równania $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ odczytaj środek $(a, b)$ i promień $r$ . Aby sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, podstaw jego współrzędne do równania albo porównaj jego odległość od środka z promieniem.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Prosta przez dwa punkty
Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty $A = (1, 2)$ i $B = (3, 8)$ .
2.Punkt przecięcia dwóch prostych
Oblicz współrzędne punktu wspólnego prostych $y = 3x - 1$ oraz $y = -x + 7$ .
3.Równanie okręgu o danej średnicy
Odcinek $AB$ , gdzie $A = (-1, 4)$ i $B = (5, -4)$ , jest średnicą okręgu. Zapisz równanie tego okręgu.
4.Obraz okręgu w symetrii
Okrąg ma równanie $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 ={}$ $4$ . Zapisz równania jego obrazów w symetrii względem osi $Oy$ i w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 26

Zadanie 26. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = -\frac{1}{3}x + 2

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przechodzi przez punkt

(2, -2)

. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta

l

przecina oś

Oy

w punkcie

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 26 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Na egzaminie ósmoklasisty

Na egzaminie ósmoklasisty układ współrzędnych pojawia się w prostszej postaci, bez równań prostych i okręgów. Podstawa programowa dla klas VII–VIII wymaga odczytywania i zaznaczania punktów kratowych, czyli punktów o współrzędnych całkowitych, wyznaczania środka odcinka, także gdy końce mają współrzędne wymierne, oraz drugiego końca odcinka, gdy znasz jeden koniec i środek.

Długość odcinka o końcach w punktach kratowych obliczasz z twierdzenia Pitagorasa: rysujesz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne biegną wzdłuż linii kratki. Dla

A = (1, 1)

B = (4, 5)

przyprostokątne mają długości

3

4

, więc

|AB| ={}

\sqrt{9 + 16} ={}

5

. Kalkulatora na tym egzaminie nie masz, więc wynik taki jak

\sqrt{90}

zostaw w postaci pierwiastka albo uprość:

\sqrt{90} ={}

3\sqrt{10}

Drugi koniec odcinka: gdy

A = (-3, 2)

, a środek to

S = (1, -1)

, to z

A

S

idziesz o

4

w prawo i

3

w dół, więc z

S

B

tak samo:

B = (5, -4)

. Ostatnie wymaganie to znajdowanie punktów kratowych na prostej

AB

: dla

A = (0, 0)

B = (6, 4)

krok o

3

w prawo i

2

w górę daje punkty

(3, 2)

oraz

(9, 6)

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2026, zadanie 12

Zadanie 12. (0–1)

Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty

M

W

S

oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się

3

km na północ i

4

km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się

5

km na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.

Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż

10

km.

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2026, arkusz OMAP-100-2605, zadanie 12 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, -3)

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Środek okręgu opisanego na trójkącie

ABC

ma współrzędne

Zadanie 24.2 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

\mathcal{O}

o środku w punkcie

S = (1, -3)

i o promieniu

5

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Punkt

A = (4, -7)

leży na okręgu

\mathcal{O}

Okrąg

\mathcal{O}

jest określony równaniem

(x - 1)^2 + (y + 3)^2 ={}

5

Zadanie 25 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 3. (0–1)

Dane są punkty

A = (0, 1)

B = (12, -4)

. Oblicz długość odcinka

AB

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 4. (0–1)

W układzie współrzędnych dane są punkty

A = (0, -3)

B = (6, -7)

. Środek odcinka

AB

ma współrzędne

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 5. (0–1)

W układzie współrzędnych narysowano trójkąt ABC (rysunek). Wierzchołki trójkąta leżą w punktach kratowych. Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

matura(0–2 pkt)

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach

A = (-4, -1)

B = (-3, -3)

C = (0, 1)

jest prostokątny.

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Różna kolejność odejmowania we wzorze na współczynnik kierunkowy. W $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ w liczniku i w mianowniku od współrzędnej punktu $B$ odejmujesz współrzędną punktu $A$ . Odwrócenie tylko jednej różnicy zmienia znak $a$ .
Promień zamiast jego kwadratu w równaniu okręgu. Okrąg o środku $(2, -1)$ i promieniu $4$ ma równanie $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 ={}$ $16$ , a nie $\ldots = 4$ .
Zły znak współrzędnej środka okręgu. Z $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 ={}$ $9$ środek to $(-2, 4)$ , a nie $(2, -4)$ : w nawiasie odejmujesz współrzędną środka.
Pomylenie wzorów na środek i na długość odcinka. Przy środku współrzędne dodajesz i dzielisz przez $2$ ; przy długości je odejmujesz, podnosisz do kwadratu i wyciągasz pierwiastek z sumy.
Zmienianie współczynnika $a$ zamiast $b$ przy prostej równoległej. Prosta równoległa do $y = 2x + 7$ ma postać $y = 2x + b$ : współczynnik $a$ zostaje, a nowe $b$ wyznaczasz z punktu. Zmiana $a$ daje prostą, która przecina daną.

Do zapamiętania

$|AB| ={}$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
Prosta przez $A$ i $B$ : $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , a $b$ z jednego z punktów.
Proste równoległe: $a_1 = a_2$ . Prosta $y = ax + b$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, b)$ .
Okrąg: $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ , środek $(a, b)$ , promień $r$ .
Symetria względem $Ox$ : $(x, -y)$ ; względem $Oy$ : $(-x, y)$ ; względem początku układu: $(-x, -y)$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Geometria analityczna§ 11 · strona 22–26

Geometria analityczna zaczyna się na stronie 22 broszury, od wzorów na długość i środek odcinka. Na stronie 23 są równanie kierunkowe i ogólne prostej oraz równanie prostej przez dwa punkty, na stronie 24 warunki równoległości i prostopadłości prostych i równanie okręgu, a na stronie 25 symetrie względem osi i względem punktu.

W tej samej części broszury są też wektory i przesunięcie o wektor, które należą do zakresu rozszerzonego, oraz wzór na odległość punktu od prostej, którego nie ma w wymaganiach zakresu podstawowego. Warunek prostopadłości

a_1 \cdot a_2 = -1

jest wydrukowany, ale wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej należy do zakresu rozszerzonego; w arkuszach 2025 i 2026 CKE pytała tylko o proste równoległe.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych?+
Odp.:Odejmij odpowiednie współrzędne końców, różnice podnieś do kwadratu, dodaj i wyciągnij pierwiastek: $|AB| ={}$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ . Dla $A = (1, 1)$ i $B = (4, 5)$ wychodzi $\sqrt{9 + 16} = 5$ . Kolejność odejmowania nie ma tu znaczenia, bo różnice podnosisz do kwadratu.
2.Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?+
Odp.:Oblicz współczynnik kierunkowy $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , potem podstaw współrzędne jednego z punktów do $y = ax + b$ i wyznacz $b$ . Dla $A = (1, 2)$ i $B = (3, 8)$ wychodzi $a = 3$ , $b = -1$ , czyli $y = 3x - 1$ . Sprawdź wynik na drugim punkcie.
3.Kiedy dwie proste są równoległe?+
Odp.:Proste w postaci kierunkowej $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $a_1 = a_2$ . Gdy dodatkowo $b_1 = b_2$ , to ta sama prosta. Gdy $a_1 \neq a_2$ , proste przecinają się w jednym punkcie.
4.Jak odczytać środek i promień okręgu z równania?+
Odp.:W równaniu $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ środek to $(a, b)$ , a promień to pierwiastek z prawej strony. Na przykład $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 ={}$ $16$ opisuje okrąg o środku $(-3, 1)$ i promieniu $4$ . Uważaj na znaki: plus w nawiasie oznacza ujemną współrzędną środka.
5.Co z geometrii analitycznej jest na egzaminie ósmoklasisty?+
Odp.:Tylko układ współrzędnych z punktami: odczytywanie i zaznaczanie punktów kratowych, środek odcinka, drugi koniec odcinka przy danym środku, długość odcinka o końcach w punktach kratowych z twierdzenia Pitagorasa i punkty kratowe na prostej przez dwa punkty. Równania prostych i okręgów poznasz dopiero w liceum.
6.Czy równanie prostej prostopadłej jest na maturze podstawowej?+
Odp.:Wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej należy według podstawy programowej z 2024 roku do zakresu rozszerzonego. Na poziomie podstawowym rozpoznajesz wzajemne położenie prostych z ich równań, wyznaczasz prostą przez dwa punkty i prostą równoległą do danej. W arkuszach 2025 i 2026 CKE pytała właśnie o proste równoległe.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Geometria analityczna — prosta, odcinek, okrąg

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Naszkicuj układ współrzędnych

2.Długość i środek odcinka

3.Równanie prostej przez dwa punkty

4.Prosta równoległa i punkt przecięcia

5.Okrąg

Przykłady

1.Prosta przez dwa punkty

2.Punkt przecięcia dwóch prostych

3.Równanie okręgu o danej średnicy

4.Obraz okręgu w symetrii

Zadanie z egzaminu

Na egzaminie ósmoklasisty

Sprawdź się

Zadanie otwarte krok po kroku

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła