Gemiddelde, mediaan en boxplot: centrummaten en spreidingsmaten
Het gemiddelde, de mediaan en de modus zeggen waar het midden van de gegevens ligt, de spreidingsbreedte, de kwartielafstand en de standaardafwijking hoe ver ze uit elkaar liggen. Voor het centraal examen wiskunde A havo bereken je ze uit een lijst of een frequentietabel, lees je ze af uit een boxplot en kies je de maat die bij de gegevens past. Deze pagina zet het op een rij en laat zien wat er met de maten gebeurt als de gegevens veranderen.
Centraal examen havo wiskunde A: in 3 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde A havo
Subdomein E2 Data verwerkenDe kandidaat kan data verwerken, organiseren, bewerken, weergeven in grafieken, tabellen en diagrammen, en karakteriseren met geschikte centrum- en spreidingsmaten.
Subdomein E2 Data verwerken, specificatie 3beargumenteren welke centrummaat (gemiddelde, mediaan of modus) en welke spreidingsmaat (standaardafwijking, interkwartielafstand, spreidingsbreedte) geschikt zijn om een dataset te karakteriseren;
Subdomein E1 Presentaties van data interpreteren en beoordelen, specificatie 4bij een gegeven presentatie van data de begrippen centrum en spreiding gebruiken en aangeven of deze zinvol zijn;
Gevraagd in 3 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
De centrummaten zijn het gemiddelde (de som van de waarnemingen gedeeld door hun aantal), de mediaan (de middelste waarneming na ordenen, bij een even aantal het gemiddelde van de twee middelste) en de modus (de waarde die het meest voorkomt).
Bij een frequentietabel bereken je het gemiddelde door elke waarde met haar frequentie te vermenigvuldigen, die producten op te tellen en te delen door het totale aantal waarnemingen, niet door het aantal kolommen.
De spreidingsmaten zijn de spreidingsbreedte (grootste min kleinste waarneming), de kwartielafstandQ3−Q1 (in de syllabus: interkwartielafstand) en de standaardafwijking. Het eerste kwartiel Q1 is de mediaan van de onderste helft van de waarnemingen, het derde kwartiel Q3 die van de bovenste helft. Bij een oneven aantal hoort de middelste waarneming bij geen van beide helften.
Een boxplot toont vijf getallen: het minimum, Q1, de mediaan, Q3 en het maximum. De box van Q1 tot Q3 bevat ongeveer de helft van de waarnemingen en elk van de vier delen ongeveer een kwart. De lengte van een deel zegt hoe ver de waarnemingen daar uit elkaar liggen, niet hoeveel er zijn.
Kies de maat bij de gegevens. Bij een symmetrische verdeling zonder uitschieters passen het gemiddelde en de standaardafwijking; bij een scheve verdeling of uitschieters passen de mediaan en de kwartielafstand beter, want die veranderen nauwelijks door één extreme waarde.
Als alle waarnemingen met hetzelfde getal toenemen, schuiven het gemiddelde en de mediaan mee en blijven de spreidingsmaten gelijk. Komt er een uitschieter bij, dan verandert het gemiddelde veel, de mediaan weinig en wordt de spreidingsbreedte groter.
Het centraal examen wiskunde A havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Orden de gegevens
Zet de waarnemingen van klein naar groot, of lees ze in volgorde af uit de frequentietabel. Tel het aantal waarnemingen.
2.Bepaal de centrummaat
Bereken het gemiddelde met de som en het aantal. Zoek de mediaan op de middelste plaats of plaatsen. Noteer ook de modus als de vraag erom vraagt.
3.Bepaal de spreidingsmaat
Splits de geordende lijst in een onderste en een bovenste helft, bepaal Q1 en Q3 als de medianen van die helften en bereken de kwartielafstand. De spreidingsbreedte volgt uit het eerste en laatste getal.
4.Lees of teken de boxplot
Zet de vijf getallen op een getallenlijn en trek de box van Q1 tot Q3 met de mediaan erin. Uit een boxplot lees je ze op dezelfde manier af.
5.Kies en beredeneer
Bepaal of de verdeling symmetrisch is of uitschieters heeft en kies daarop de maat. Beredeneer bij een bewerking van de gegevens wat er met elke maat gebeurt.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Gemiddelde, mediaan en kwartielafstand uit een frequentietabel
Een bakker heeft bij 40 klanten geteld hoeveel broden ze kochten: 1 brood bij 9 klanten, 2 broden bij 14, 3 bij 8, 4 bij 5, 5 bij 3 en 6 bij 1 klant. Bereken het gemiddelde, de mediaan en de kwartielafstand.
De som van alle broden is 9⋅1+14⋅2+8⋅3+5⋅4+3⋅5+1⋅6=102. Het gemiddelde is 40102=2,55 broden per klant.
Bij 40 waarnemingen is de mediaan het gemiddelde van de 20e en de 21e. De eerste 9+14=23 klanten kochten 1 of 2 broden, dus beide zijn 2 en de mediaan is 2.
Q1 is het gemiddelde van de 10e en de 11e waarneming, beide 2, dus Q1=2.Q3 is het gemiddelde van de 30e en de 31e, beide 3 (de eerste 23+8=31 kochten hoogstens 3 broden), dus Q3=3.
Antwoord: het gemiddelde is 2,55 broden, de mediaan is 2 broden en de kwartielafstand is 3−2=1 brood.
2.De vijf getallen van een boxplot
Bij twaalf klanten van een afhaalrestaurant is de wachttijd gemeten, in minuten: 14, 9, 22, 31, 17, 12, 25, 19, 40, 11, 28 en 16. Bepaal de vijf getallen van de boxplot en beredeneer of het gemiddelde of de mediaan beter bij deze gegevens past.
Gesorteerd zijn de wachttijden 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 22, 25, 28, 31, 40. Het minimum is 9 en het maximum is 40.
De mediaan is het gemiddelde van de 6e en de 7e waarneming: 217+19=18.
De onderste helft is 9, 11, 12, 14, 16, 17 met mediaan 212+14=13, dus Q1=13. De bovenste helft is 19, 22, 25, 28, 31, 40 met mediaan 225+28=26,5, dus Q3=26,5.
Het gemiddelde is 12244≈20,3 minuten, hoger dan de mediaan van 18, door de lange wachttijden aan de rechterkant.
Antwoord: de vijf getallen zijn 9, 13, 18, 26,5 en 40. De verdeling heeft een staart naar rechts, dus de mediaan met de kwartielafstand 26,5−13=13,5 past beter dan het gemiddelde.
3.Wat een uitschieter doet
Acht bezorgers hebben bij een testrit de volgende rijtijden, in minuten: 12, 14, 15, 15, 16, 18, 20 en 22. Daarna komt er een negende rit bij van 90 minuten. Bereken hoeveel het gemiddelde en de mediaan veranderen.
Voor de negende rit is het gemiddelde 8132=16,5 en de mediaan 215+16=15,5.
Na de negende rit is de som 132+90=222, dus het gemiddelde is 9222≈24,7. De mediaan is nu de 5e van negen waarnemingen, dus 16.
Antwoord: het gemiddelde stijgt met ongeveer 8,2 minuten, de mediaan met 0,5 minuut.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo A
Grut van grutto’s
De grutto is een weidevogel. Het vrouwtje maakt een nestkuil in het gras en legt daarin haar eieren. Daarna broeden het mannetje en het vrouwtje om beurten. De eieren komen na ongeveer 24 dagen uit.
Kleksa: hier staat in het examen een foto van een vliegende grutto (niet overgenomen).
Als de grutto’s tijdens het broeden lastiggevallen worden door andere dieren, bijvoorbeeld een vos of een roofvogel, dan verlaat het broedpaar het nest. Dagelijks gaat hierdoor ongeveer 2% van de nesten verloren.
24 dagen na het uitkomen van het ei is een kuiken vliegvlug. Dit betekent dat de donsveren hebben plaatsgemaakt voor echte veren en dat het kuiken kan vliegen.
Voor het gewicht van kuikens die opgroeien, geldt in de periode vanaf het uitkomen van het ei tot het moment dat het kuiken vliegvlug is, bij benadering:
G=1,08+12,5⋅0,8d273 (formule 1)
Hierin is d het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam en G het gewicht van het kuiken in grammen.
We kijken nu naar de gewichtstoename per dag van de kuikens. Er geldt bij benadering:
T=3000−0,6G2+152,9G (formule 2)
Hierin is G het gewicht van het kuiken in grammen en T de gewichtstoename per dag in milligrammen.
In grasland vinden de grutto’s veel prooien, zoals insecten.
Naarmate de grutto’s ouder worden, kunnen ze steeds grotere prooien vangen. De grootte van een prooi wordt gegeven in milligram droge stof. Voor de maximale grootte van een prooi die grutto’s kunnen eten, geldt de formule:
P=1,309+1+0,74d−14,692,15 (formule 3)
Hierin is P de maximale grootte van de prooi in milligram droge stof en d het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam.
De maximale grootte van de prooi die een grutto kan eten, nadert op den duur naar een bepaalde waarde.
In vochtig grasland leven meer insecten en andere prooien voor grutto’s dan in droog grasland. Er is onderzoek gedaan naar de grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto’s en naar de grondwaterstand in graslanden met een stabiel aantal grutto’s. De grondwaterstand is de hoogte van het grondwater ten opzichte van het grasoppervlak. De resultaten zijn in onderstaande boxplots verwerkt.
figuurgrondwaterstand in graslanden met een afnemend en met een stabiel aantal grutto’sBron: CvTE — Examenblad.nlIemand trekt op basis van dit onderzoek twee conclusies:
I Er is volgens de vuistregels op het formuleblad een groot verschil tussen de grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto’s en de grondwaterstand in graslanden met een stabiel aantal grutto’s.
II De grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto’s is normaal verdeeld.
Vraag 10
Leg voor elk van deze twee conclusies uit of je die wel of niet kunt trekken op basis van de figuur.
Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen havo wiskunde A 2025, tijdvak 1, vraag 10 — Examenblad.nl · Het examen op Examenblad.nl
Uitwerking: Kleksa (niet officieel)
Je beoordeelt twee conclusies op basis van de twee boxplots. Een boxplot laat de ligging en de spreiding zien: de mediaan, de kwartielen en de uiterste waarden.
Conclusie I gaat over het verschil tussen de twee groepen. De vuistregel van het formuleblad voor twee boxplots kijkt naar de boxen, van het eerste tot en met het derde kwartiel. In de figuur overlappen de twee boxen elkaar niet, dus het verschil is groot en conclusie I kun je wel trekken.
Conclusie II zegt dat de verdeling van de grondwaterstand bij de graslanden met een afnemend aantal grutto’s normaal is. Een normale verdeling is symmetrisch, en dan ligt de mediaan in het midden van de box. In de linker boxplot ligt de mediaan niet in het midden van de box, dus de verdeling is niet symmetrisch.
Conclusie: conclusie I kun je wel trekken, omdat de boxen elkaar niet overlappen, en conclusie II kun je niet trekken, omdat de mediaan niet in het midden van de box ligt en de verdeling dus niet symmetrisch en niet normaal is.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo A
Vraag 1.
Op een basisschool is aan elk gezin gevraagd hoeveel huisdieren het heeft. De tabel geeft de resultaten.
aantal huisdieren
0
1
2
3
4
aantal gezinnen
12
13
8
9
13
Bereken het gemiddelde en de mediaan van het aantal huisdieren per gezin. Geef het gemiddelde in één decimaal.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 2.
Bij een quiz zijn de scores van alle teams genoteerd, in punten. Dit zijn de scores:
82; 31; 72; 31; 75; 76; 80; 67; 49; 44; 66; 90; 72; 68; 95; 53; 23; 90
Bereken het eerste kwartiel en het derde kwartiel van deze scores.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 3.
De wachttijd bij de klantenservice van een webwinkel is voor een aantal bellers bijgehouden, in minuten. Dit zijn de wachttijden:
2; 27; 24; 11; 16; 23; 16; 2; 7
Daarna komt er nog één waarneming bij: 0 minuten.
Welke van de volgende maten verandert daardoor het minst?
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 4.
De boxplot in de figuur hoort bij de prijzen van de tweedehands fietsen in een winkel.
Bepaal met behulp van de figuur de spreidingsbreedte en de kwartielafstand.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 5.
In een week in juni was de middagtemperatuur in een stad gemiddeld 16,6 °C, met een standaardafwijking van 5,6 °C. Een Amerikaanse collega rekent alle temperaturen om naar graden Fahrenheit met F=1,8⋅C+32.
Bereken het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking. Geef beide antwoorden in één decimaal.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
Bij een frequentietabel delen door het aantal kolommen in plaats van door het totale aantal waarnemingen. Tel de frequenties op voor het aantal.
De mediaan bepalen zonder te ordenen. De middelste waarneming van een lijst die niet gesorteerd is, is niet de mediaan.
De kwartielen bepalen als een kwart en driekwart van de spreidingsbreedte. Q1 en Q3 zijn de medianen van de onderste en bovenste helft van de waarnemingen.
Uit de lengte van een deel van de boxplot afleiden dat er meer waarnemingen liggen. Elk van de vier delen bevat ongeveer een kwart, ook als het deel lang is.
Het gemiddelde kiezen als centrummaat bij een scheve verdeling of bij uitschieters. De mediaan beschrijft zulke gegevens beter.
Onthoud
Gemiddelde uit een frequentietabel: som van waarde keer frequentie, gedeeld door het totale aantal waarnemingen.
Kwartielafstand =Q3−Q1; spreidingsbreedte = maximum min minimum.
Een boxplot bestaat uit minimum, Q1, mediaan, Q3 en maximum; de box bevat ongeveer 50% van de waarnemingen.
Scheef of uitschieters: mediaan en kwartielafstand. Symmetrisch: gemiddelde en standaardafwijking.
Alles met hetzelfde getal vermeerderen: centrum schuift mee, spreiding blijft gelijk.
Veelgestelde vragen
1.Hoe bereken ik het gemiddelde uit een frequentietabel?+
Antwoord:Vermenigvuldig elke waarde met haar frequentie, tel die producten op en deel de som door het totale aantal waarnemingen, dus door de som van de frequenties. Bij een tabel met klassen gebruik je de klassenmiddens als waarden, en het resultaat is dan een schatting van het gemiddelde.
2.Hoe bepaal ik de kwartielen?+
Antwoord:Orden de waarnemingen. Het eerste kwartiel Q1 is de mediaan van de onderste helft en het derde kwartiel Q3 is de mediaan van de bovenste helft. Bij een even aantal waarnemingen splits je precies in het midden. Bij een oneven aantal laat je de middelste waarneming, de mediaan zelf, weg: bij 11 waarnemingen is de onderste helft de 1e tot en met de 5e en de bovenste helft de 7e tot en met de 11e.
3.Wat is het verschil tussen de spreidingsbreedte en de kwartielafstand?+
Antwoord:De spreidingsbreedte is het verschil tussen de grootste en de kleinste waarneming en wordt daardoor sterk beïnvloed door uitschieters. De kwartielafstand Q3−Q1 is de breedte van de box en beschrijft het middelste deel van de gegevens: ongeveer de helft van de waarnemingen.
4.Wanneer gebruik ik de mediaan in plaats van het gemiddelde?+
Antwoord:Gebruik de mediaan bij een scheve verdeling of als er uitschieters zijn. Eén heel hoge waarde trekt het gemiddelde omhoog, maar verandert de mediaan nauwelijks. Bij een ongeveer symmetrische verdeling zonder uitschieters liggen de twee dicht bij elkaar en is het gemiddelde ook goed te gebruiken.
5.Wat gebeurt er met de maten als ik elke waarneming vermenigvuldig met hetzelfde getal?+
Antwoord:Vermenigvuldig je alle waarnemingen met een positief getal, dan worden de centrummaten, de kwartielen en alle spreidingsmaten met datzelfde getal vermenigvuldigd. Tel je een getal bij alle waarnemingen op, dan schuiven de centrummaten en de kwartielen mee en blijven de spreidingsbreedte, de kwartielafstand en de standaardafwijking gelijk.
6.Wat zegt een boxplot niet?+
Antwoord:Een boxplot toont vijf getallen, maar niet hoeveel waarnemingen er zijn en niet of de verdeling twee toppen heeft. Twee boxplots kunnen er hetzelfde uitzien terwijl de onderliggende gegevens verschillen. Trek uit een boxplot dus alleen conclusies over ligging en spreiding.