Diagrammen: histogram, staafdiagram, frequentiepolygoon en kruistabel
In de statistiekopgaven van het centraal examen wiskunde A havo lees je data uit diagrammen en tabellen, schat je een gemiddelde uit klassen en bereken je percentages uit een kruistabel. Deze pagina zet de representaties van de syllabus op een rij: wanneer je welke kiest, hoe je een cumulatief frequentiepolygoon tekent en afleest en hoe je de percentages van een kruistabel per rij of per kolom neemt.
Centraal examen havo wiskunde A: in 4 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde A havo
Subdomein E2 Data verwerken, specificatie 1geschikte representaties kiezen. Het betreft een of meer van de volgende representaties (al of niet ingedeeld in klassen): dotplot, staafdiagram, cirkeldiagram, steelbladdiagram, lijndiagram, cumulatief en relatief frequentiepolygoon, boxplot, puntenwolk of spreidingsdiagram, (cumulatieve) frequentietabel en kruistabel;
Subdomein E1 Presentaties van data interpreteren en beoordelenDe kandidaat kan data die op diverse manieren zijn gerepresenteerd en/of samengevat interpreteren en beoordelen op relevantie in relatie tot een onderzoeksvraag.
Subdomein E1 Presentaties van data interpreteren en beoordelen, specificatie 7uit gegeven presentaties van data of uit samenvattingen relevante informatie afleiden.
Gevraagd in 4 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
De syllabus noemt als representaties: dotplot, staafdiagram, cirkeldiagram, steelbladdiagram, lijndiagram, cumulatief en relatief frequentiepolygoon, boxplot, puntenwolk of spreidingsdiagram, (cumulatieve) frequentietabel en kruistabel, al of niet ingedeeld in klassen. Een staafdiagram van een kwantitatieve variabele die in klassen is ingedeeld, heet ook een histogram; dat woord staat niet in de syllabus, die van een staafdiagram spreekt. Je moet er een kunnen kiezen die bij de gegevens past en uit de ene een andere kunnen maken.
Bij een kwalitatieve variabele passen een staaf- of cirkeldiagram. Bij een kwantitatieve variabele passen een dotplot, steelbladdiagram, staafdiagram (in klassen: een histogram), frequentiepolygoon of boxplot. Voor het verband tussen twee variabelen gebruik je een kruistabel of een puntenwolk.
Staat een kwantitatieve variabele in klassen, dan weet je van een waarneming alleen in welke klasse hij valt. Een schatting van het gemiddelde krijg je met de klassenmiddens: vermenigvuldig elk klassenmidden met de frequentie van de klasse, tel op en deel door het totale aantal.
In een cumulatief frequentiepolygoon staat bij de rechtergrens van elke klasse het percentage (of aantal) waarnemingen tot en met die grens. Lees bij een waarde op de horizontale as af welk percentage eronder ligt, en bij 50% de mediaan en bij 25% en 75% de kwartielen.
In een kruistabel vergelijk je groepen met percentages, niet met de aantallen zelf. Zeg er altijd bij waarvan je het percentage neemt: van het rijtotaal of van het kolomtotaal. Dat zijn verschillende vragen met verschillende antwoorden.
Lees een diagram kritisch: let op de schaal van de assen, op klassen die niet even breed zijn en op absolute aantallen bij groepen van verschillende grootte. Een conclusie uit een diagram moet je kunnen onderbouwen met wat je ziet.
Het centraal examen wiskunde A havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Bepaal wat er staat
Lees de titel, de assen en de eenheden. Bepaal of de variabele kwalitatief of kwantitatief is en of de gegevens in klassen staan.
2.Lees af wat gevraagd wordt
Haal de waarden uit het diagram of de tabel. Bij een cumulatief polygoon ga je van de verticale as naar de grafiek en dan naar de horizontale as, of andersom.
3.Reken met de juiste waarden
Gebruik bij klassen de klassenmiddens, bij een kruistabel het goede totaal en bij een cumulatief polygoon de percentages bij de rechtergrenzen.
4.Rond af zoals gevraagd en controleer
Controleer of het antwoord logisch is: een percentage ligt tussen 0 en 100, een gemiddelde uit klassen ligt tussen de kleinste en de grootste klassengrens.
5.Onderbouw je conclusie
Noem wat je uit het diagram hebt afgelezen en leg uit hoe dat tot je conclusie leidt. Een uitspraak zonder verwijzing naar de gegevens levert geen punten op.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Het gemiddelde schatten uit klassen
Van 300 bezoekers van een bibliotheek is de leeftijd genoteerd, in klassen: 0 tot 20 jaar bij 30 bezoekers, 20 tot 40 jaar bij 90, 40 tot 60 jaar bij 120 en 60 tot 80 jaar bij 60. Schat de gemiddelde leeftijd van de bezoekers.
De klassenmiddens zijn 10, 30, 50 en 70 jaar.
De som is 30⋅10+90⋅30+120⋅50+60⋅70=300+2700+6000+4200=13200.
Antwoord: de gemiddelde leeftijd is ongeveer 30013200=44 jaar.
2.Het cumulatief polygoon aflezen
Gebruik de gegevens van de bibliotheek. Bereken welk percentage van de bezoekers jonger is dan 40 jaar. Schat daarna met een cumulatief frequentiepolygoon de mediaan en de kwartielafstand.
Cumulatief zijn dat 30, 120, 240 en 300 bezoekers bij de rechtergrenzen 20, 40, 60 en 80 jaar, dus 10%, 40%, 80% en 100%. Jonger dan 40 jaar is 40% van de bezoekers.
De mediaan hoort bij 50% en ligt in de klasse van 40 tot 60 jaar. Tussen 40% bij 40 jaar en 80% bij 60 jaar loopt het polygoon recht: 40+80−4050−40⋅20=45 jaar.
Q1 hoort bij 25% en ligt in de klasse van 20 tot 40 jaar: 20+40−1025−10⋅20=30 jaar. Q3 hoort bij 75% en ligt in de klasse van 40 tot 60 jaar: 40+80−4075−40⋅20=57,5 jaar.
Antwoord: 40% is jonger dan 40 jaar, de mediaan is ongeveer 45 jaar en de kwartielafstand is ongeveer 57,5−30=27,5 jaar.
3.Percentages uit een kruistabel
Een zwembad telt 400 vaste bezoekers. Van de 150 kinderen hebben er 45 een jaarkaart en 105 een losse kaart. Van de 250 volwassenen hebben er 120 een jaarkaart en 130 een losse kaart. Bereken welk percentage van de kinderen een jaarkaart heeft en welk percentage van de jaarkaarthouders een kind is. Geef de antwoorden in één decimaal.
In totaal hebben 45+120=165 bezoekers een jaarkaart.
Het percentage kinderen met een jaarkaart neem je van het rijtotaal: 15045⋅100=30,0%.
Het percentage jaarkaarthouders dat een kind is, neem je van het kolomtotaal: 16545⋅100≈27,3%.
Antwoord: 30,0% van de kinderen heeft een jaarkaart en 27,3% van de jaarkaarthouders is een kind. De twee percentages zijn verschillend, omdat ze van een ander totaal worden genomen.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo A
Mantelzorgers
Steeds meer ouderen in Nederland blijven langer thuis wonen. Veel ouderen hebben daarbij wel vaak meer zorg nodig. Behalve professionele hulp hebben de meeste ouderen ook mantelzorgers die hen helpen.
Mantelzorgers zijn mensen, meestal familieleden, die onbetaald zorg verlenen.
We bekijken de leeftijden van de mantelzorgers. In figuur 1 staan de resultaten uit een representatieve steekproef onder 2749 mantelzorgers van 18 jaar en ouder die zorg verlenen aan ouderen van 85 jaar en ouder.
figuur 1mantelzorgers in vier leeftijdsgroepen (in procenten)Bron: CvTE — Examenblad.nlOp basis van bovenstaande gegevens kun je voor het percentage 50-74-jarigen in de populatie mantelzorgers van 18 jaar en ouder een 95%-betrouwbaarheidsinterval opstellen.
We bekijken twee categorieën ouderen:
– jongere ouderen: 50 tot en met 74 jaar oud
– oudere ouderen: 85 jaar en ouder
Elke jongere oudere is een potentiële mantelzorger. Om het aantal potentiële mantelzorgers per oudere oudere in beeld te brengen, gebruikt men de maatstaf Oldest Old Support Ratio (OOSR); in formulevorm:
OOSR=aantal oudere ouderenaantal jongere ouderen
Sinds 1975 neemt de OOSR op landelijk niveau af.
Ten opzichte van 1975 is het aantal jongere ouderen in 2015 met 25% toegenomen. In diezelfde periode is het aantal oudere ouderen tweeënhalf keer zo groot geworden.
Omdat mantelzorgers meestal in de buurt van oudere ouderen wonen, wordt de OOSR ook per gemeente berekend.
We vergelijken de OOSR van twee gemeenten met behulp van bevolkingsdiagrammen. Een bevolkingsdiagram is een diagram waarin aan twee kanten de leeftijdsopbouw van de bevolking is weergegeven, links die van de mannen en rechts die van de vrouwen.
In figuur 2 zie je twee bevolkingsdiagrammen (I en II) waarvan er één bij gemeente A hoort en de ander bij gemeente B. Daarbij geldt dat de OOSR van gemeente A groter is dan die van gemeente B.
figuur 2bevolkingsdiagram Ibevolkingsdiagram IIBron: CvTE — Examenblad.nl
Vraag 14
Beredeneer welk bevolkingsdiagram bij gemeente A hoort.
Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen havo wiskunde A 2025, tijdvak 1, vraag 14 — Examenblad.nl · Het examen op Examenblad.nl
Uitwerking: Kleksa (niet officieel)
De opgave geeft: de OOSR is het aantal jongere ouderen gedeeld door het aantal oudere ouderen, en de OOSR van gemeente A is groter dan die van gemeente B. Je moet in figuur 2 zien welk diagram bij A hoort.
De jongere ouderen (50 tot en met 74 jaar) zijn de staven van 50-54 tot en met 70-74, de oudere ouderen (85 jaar en ouder) de staven van 85-89 en hoger, links de mannen en rechts de vrouwen. Bevolkingsdiagram I heeft minder oudere ouderen dan bevolkingsdiagram II, en meer jongere ouderen.
Een breuk is groter als de teller groter is of de noemer kleiner. Bevolkingsdiagram I heeft dus een grotere teller en een kleinere noemer, en daarom een grotere OOSR dan bevolkingsdiagram II.
Conclusie: bevolkingsdiagram I hoort bij gemeente A.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo A
Vraag 1.
In de tabel staat de bezorgtijd van de maaltijden van een bezorgdienst.
bezorgtijd in minuten
aantal maaltijden
10 tot 20
42
20 tot 30
49
30 tot 40
6
40 tot 50
15
50 tot 60
20
60 tot 70
20
Bereken met behulp van de klassenmiddens een schatting van het gemiddelde. Geef je antwoord in één decimaal.
minuten
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 2.
In de tabel staat de reistijd naar school van de leerlingen van een school.
reistijd in minuten
aantal leerlingen
0 tot 10
44
10 tot 20
25
20 tot 30
62
30 tot 40
18
40 tot 50
71
50 tot 60
55
In de klasse ‘10 tot 20’ vallen de waarden van 10 tot 20, zonder 20 zelf.
Bereken hoeveel procent van de leerlingen een reistijd van minder dan 40 minuten heeft. Geef je antwoord in één decimaal.
%
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 3.
De figuur is de cumulatieve relatieve frequentiepolygoon van de wachttijd van de bezoekers van een attractie in een pretpark.
Bepaal met behulp van de figuur de kwartielafstand.
minuten
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 4.
Een festival houdt bij hoe bezoekers op twee dagen hun kaartje kochten. De tabel geeft de aantallen.
dag
online
aan de kassa
totaal
vrijdag
203
76
279
zaterdag
140
67
207
totaal
343
143
486
Bereken hoeveel procent van de 343 online gekochte kaartjes voor vrijdag was. Geef je antwoord in één decimaal.
%
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
Bij klassen de klassengrens in plaats van het klassenmidden gebruiken. Een klasse 20 tot 40 rekent mee als 30.
Een percentage uit een kruistabel van het verkeerde totaal nemen. Vraag je het percentage kinderen met een jaarkaart, deel dan door het aantal kinderen, niet door het aantal jaarkaarten.
Een cumulatief percentage aflezen bij de linkergrens van de klasse. Het cumulatieve polygoon loopt door de punten bij de rechtergrenzen.
Absolute aantallen vergelijken bij groepen van verschillende grootte. Reken om naar percentages van de eigen groep voordat je vergelijkt.
Een conclusie opschrijven zonder te zeggen wat je in het diagram hebt gezien. Noem de afgelezen waarden of het patroon dat je gebruikt.
Onthoud
Gemiddelde uit klassen: som van klassenmidden keer frequentie, gedeeld door het totale aantal; het is een schatting.
Cumulatief polygoon: punten bij de rechtergrenzen; 50% geeft de mediaan, 25% en 75% de kwartielen.
Kruistabel: zeg erbij van welk totaal je het percentage neemt, het rijtotaal of het kolomtotaal.
Kies bij een kwalitatieve variabele een staaf- of cirkeldiagram; kies bij een kwantitatieve variabele een dotplot, steelbladdiagram, histogram, frequentiepolygoon of boxplot.
Onderbouw een conclusie met wat je in het diagram afleest.
Veelgestelde vragen
1.Welke diagrammen noemt de syllabus van wiskunde A havo?+
Antwoord:De syllabus noemt dotplot, staafdiagram, cirkeldiagram, steelbladdiagram, lijndiagram, het cumulatief en relatief frequentiepolygoon, de boxplot, de puntenwolk of het spreidingsdiagram, de cumulatieve frequentietabel en de kruistabel. Je moet ze kunnen lezen, een geschikte kiezen en uit de ene een andere maken.
2.Hoe schat ik het gemiddelde als de gegevens in klassen staan?+
Antwoord:Neem van elke klasse het klassenmidden, het getal precies tussen de grenzen. Vermenigvuldig elk klassenmidden met de frequentie van zijn klasse, tel de producten op en deel door het totale aantal waarnemingen. Het resultaat is een schatting, want je weet niet waar in de klasse de waarnemingen precies liggen.
3.Hoe lees ik de mediaan af uit een cumulatief frequentiepolygoon?+
Antwoord:Zoek op de verticale as 50% op, ga horizontaal naar de grafiek en dan naar beneden naar de horizontale as. Die waarde is de mediaan. Op dezelfde manier lees je de kwartielen af bij 25% en 75%. Bij een cumulatief polygoon dat uit rechte stukken bestaat, interpoleer je lineair binnen de klasse.
4.Wat is het verschil tussen een rijpercentage en een kolompercentage in een kruistabel?+
Antwoord:Een rijpercentage deelt een aantal door het rijtotaal en zegt hoeveel procent van die groep het kenmerk heeft. Een kolompercentage deelt door het kolomtotaal en zegt welk deel van het kenmerk bij die groep hoort. Ze beantwoorden verschillende vragen. Lees in de opgave dus goed van welke groep het percentage gevraagd wordt.
5.Wanneer kies ik een cumulatief frequentiepolygoon?+
Antwoord:Kies een cumulatief frequentiepolygoon als je wilt weten welk percentage waarnemingen onder een bepaalde waarde ligt, of als je de mediaan en de kwartielen uit klassen wilt schatten. Een gewoon frequentiepolygoon of staafdiagram laat vooral de vorm van de verdeling zien en is minder geschikt om percentages onder een grens af te lezen.