Normale verdeling: de vuistregels, gemiddelde en standaardafwijking
Bij een normale verdeling liggen de waarnemingen klokvormig en symmetrisch rond het gemiddelde, en met drie vuistregels bereken je percentages. Voor het centraal examen wiskunde A havo moet je die vuistregels kennen: ze staan niet op het formuleblad. Deze pagina laat zien hoe je een percentage tussen twee grenzen bepaalt, hoe je het gemiddelde en de standaardafwijking terugrekent en hoe je ziet dat een verdeling niet normaal is.
Centraal examen havo wiskunde A: in 2 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde A havo
Domein E Statistiek, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de regel dat een steekproevenverdeling van een proportie of van een gemiddelde bij voldoende grote steekproefomvang bij benadering normaal verdeeld is; de volgende vuistregels voor de normale verdeling met gemiddelde μ en standaardafwijking σ: tussen μ–σ en μ+σ ligt ongeveer 68% van de waarnemingen, tussen μ–2σ en μ+2σ ligt ongeveer 95% van de waarnemingen, tussen μ–3σ en μ+3σ ligt nagenoeg 100% van de waarnemingen; het begrip betrouwbaarheidsinterval.
Subdomein E3 Data en verdelingenDe kandidaat kan data analyseren en kenmerken van een verdeling beschrijven.
Subdomein E3 Data en verdelingen, specificatie 2gebruik maken van de drie vuistregels bij een (bij benadering) normale verdeling;
Gevraagd in 2 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
Een normale verdeling is klokvormig en symmetrisch rond het gemiddelde μ. De standaardafwijkingσ zegt hoe breed de klok is: hoe groter σ, hoe meer de waarnemingen uit elkaar liggen.
De drie vuistregels (parate kennis in de syllabus): tussen μ−σ en μ+σ ligt ongeveer 68% van de waarnemingen, tussen μ−2σ en μ+2σ ongeveer 95% en tussen μ−3σ en μ+3σ nagenoeg 100%. Ze staan niet op het formuleblad.
Door de symmetrie splits je die percentages in stukken. Links en rechts van μ ligt elk 50%. Tussen μ en μ+σ ligt 34%, tussen μ+σ en μ+2σ ligt 13,5% en boven μ+2σ ligt 2,5%. Voor de linkerkant geldt hetzelfde gespiegeld.
Reken een grens eerst om naar het aantal standaardafwijkingen van het gemiddelde: σg−μ, met g de grens. Pas daarna de vuistregels toe, en bereken bij een aantal waarnemingen het deel van het totaal.
Een verdeling is niet normaal als ze scheef is, twee toppen heeft of waarden toelaat die onmogelijk zijn, zoals een negatief aantal. Bij een grootheid die niet negatief kan zijn en een grens μ−2σ onder nul zou volgens de vuistregels minstens 2,5% negatief zijn.
Bij voldoende grote steekproeven is de verdeling van een steekproefproportie of een steekproefgemiddelde bij benadering normaal verdeeld. Daarom gebruik je de vuistregels ook bij betrouwbaarheidsintervallen.
Het centraal examen wiskunde A havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Controleer of de verdeling normaal is
Lees in de vraag dat de verdeling (bij benadering) normaal verdeeld is, of beoordeel de vorm: klokvormig en symmetrisch. Noteer μ en σ.
2.Reken de grenzen om naar standaardafwijkingen
Bereken voor elke grens hoeveel standaardafwijkingen hij van μ ligt, met een teken: boven μ plus, onder μ min. Een grens die niet op een heel aantal standaardafwijkingen ligt, valt buiten de vuistregels.
3.Teken een klok en zet de percentages erin
Schets de klok met μ in het midden en de stukken van 2,5%, 13,5% en 34% aan weerszijden. Arceer het gevraagde gebied.
4.Tel de stukken op of trek ze af
Tel de percentages van het gearceerde gebied op, of trek de percentages buiten het gebied af van 100%. Controleer dat het antwoord tussen 0% en 100% ligt.
5.Reken om naar aantallen als dat gevraagd wordt
Neem het percentage van het totale aantal waarnemingen en rond af zoals de vraag aangeeft. Schrijf op welke vuistregel je gebruikt.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Een percentage en een aantal
De levensduur van de ledlampen van een fabrikant is normaal verdeeld met een gemiddelde van 12 000 uur en een standaardafwijking van 1500 uur. Bereken hoeveel procent van de lampen minder dan 9000 uur meegaat. Een levering bestaat uit 4000 lampen. Bereken hoeveel van deze lampen langer dan 13 500 uur meegaan.
De grens 9000 uur ligt 12000−9000=3000 uur onder het gemiddelde, dat is 15003000=2 standaardafwijkingen. Boven μ+2σ ligt 2,5%, dus onder μ−2σ ook.
De grens 13 500 uur ligt 13500−12000=1500 uur boven het gemiddelde, dat is precies één standaardafwijking. Boven μ+σ ligt 50−34=16%.
Van 4000 lampen is dat 0,16⋅4000=640 lampen.
Antwoord: 2,5% van de lampen gaat minder dan 9000 uur mee, en 640 van de 4000 lampen gaan langer dan 13 500 uur mee.
2.Het gemiddelde en de standaardafwijking terugrekenen
De reistijd naar een station is normaal verdeeld. Van de reizigers heeft 84% een reistijd van minder dan 31 minuten en 2,5% een reistijd van minder dan 13 minuten. Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van de reistijd.
Onder μ+σ ligt 50+34=84%, dus μ+σ=31. Onder μ−2σ ligt 2,5%, dus μ−2σ=13.
Het verschil van de twee vergelijkingen is 3σ=31−13=18, dus σ=6. Dan is μ=31−6=25.
Antwoord: het gemiddelde is 25 minuten en de standaardafwijking is 6 minuten.
3.Kan de verdeling normaal zijn?
Een webwinkel zegt dat het aantal bestellingen per klant per jaar normaal verdeeld is, met een gemiddelde van 3,2 en een standaardafwijking van 2,9. Onderzoek of dat volgens de vuistregels mogelijk is.
Het aantal bestellingen kan niet negatief zijn. Bereken μ−2σ met μ=3,2 en σ=2,9; dat geeft −2,6.
Volgens de vuistregels ligt ongeveer 2,5% van de klanten onder μ−2σ, dus onder −2,6 bestellingen. Dat is onmogelijk.
Conclusie: de verdeling kan niet normaal zijn, want een normale verdeling met deze waarden geeft minstens 2,5% klanten met een negatief aantal bestellingen.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo A
Examenresultaten
In de onderstaande tabel staan voor twee examenjaren voor alle havo-kandidaten het slaagpercentage en het aantal kandidaten per profiel.
tabel
2019
2020
slaagpercentage (in %)
aantal kandidaten
slaagpercentage (in %)
aantal kandidaten
natuur en techniek
91,4
11 142
97,2
10 509
natuur en gezondheid
86,3
11 708
97,2
11 868
economie en maatschappij
87,8
26 136
97,6
26 173
cultuur en maatschappij
88,1
5726
98,4
5904
In 2019 is er op de havo een verschil in het slaagpercentage tussen de profielen natuur en techniek en cultuur en maatschappij. Er was geen enkele leerling die beide profielen had.
In de onderstaande figuur staan de frequentieverdelingen van de gemiddelde SE-cijfers1) die de havo-kandidaten hebben behaald in 2019 en 2020.
figuurpercentage havo-kandidaten dat een bepaald gemiddeld SE-cijfer (van alle vakken) heeft behaald in 2019 en 2020Bron: CvTE — Examenblad.nlnoot 1 SE staat voor schoolexamen. Het gemiddelde SE-cijfer is het gewogen gemiddelde van de gemiddelde SE-eindcijfers van alle vakken waarbij ook een centraal examen wordt afgenomen.
Aan de hand van de figuur kan beredeneerd worden of het gemiddelde van de gemiddelde SE-cijfers in 2020 lager of hoger was dan in 2019. Er kan ook beredeneerd worden of de standaardafwijking van de gemiddelde SE-cijfers in 2020 kleiner of groter was dan in 2019. Er zijn vier mogelijkheden:
I In 2020 is het gemiddelde hoger en is de standaardafwijking groter dan in 2019.
II In 2020 is het gemiddelde hoger en is de standaardafwijking kleiner dan in 2019.
III In 2020 is het gemiddelde lager en is de standaardafwijking groter dan in 2019.
IV In 2020 is het gemiddelde lager en is de standaardafwijking kleiner dan in 2019.
Stel dat de verdeling van de gemiddelde SE-cijfers van de havo-kandidaten in een bepaald jaar wel normaal verdeeld was, met gemiddelde 6,2 en standaardafwijking 0,5.
Vraag 14
Bereken het percentage van de havo-kandidaten dat dan in dat jaar een gemiddeld SE-cijfer tussen 5,7 en 7,2 zou hebben gehaald.
De verdeling is normaal met μ=6,2 en σ=0,5. Reken de twee grenzen om: 5,7=6,2−0,5 ligt één standaardafwijking onder het gemiddelde en 7,2=6,2+2⋅0,5 ligt twee standaardafwijkingen erboven.
Tussen μ−σ en μ ligt 34%. Tussen μ en μ+σ ligt ook 34% en tussen μ+σ en μ+2σ ligt 13,5%.
Tel op: 34+34+13,5=81,5. Hetzelfde krijg je door af te trekken: 100−16−2,5=81,5.
Antwoord: 81,5% van de havo-kandidaten zou dan een gemiddeld SE-cijfer tussen 5,7 en 7,2 hebben gehaald.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo A
Vraag 1.
De lengte van de bouten die een machine maakt, is normaal verdeeld met een gemiddelde van 58,0 mm en een standaardafwijking van 0,5 mm.
Van de bouten heeft 84% een lengte van meer dan g mm.
Bereken g met de vuistregels van de normale verdeling.
mm
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 2.
De reactietijd van de deelnemers aan een test is normaal verdeeld. Van de deelnemers heeft 16% een reactietijd van minder dan 241 ms en 16% een reactietijd van meer dan 291 ms.
Bereken met de vuistregels van de normale verdeling het gemiddelde μ en de standaardafwijking σ van de reactietijd.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 3.
Het gewicht van de broden van een bakkerij is normaal verdeeld. Van de broden heeft 95% een gewicht tussen 785 en 817 gram, en die twee waarden liggen even ver van het gemiddelde.
Bereken met de vuistregels van de normale verdeling de standaardafwijking van het gewicht.
gram
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 4.
Iemand beweert dat de reistijd van leerlingen naar school normaal verdeeld is, met een gemiddelde van 33 minuten en een standaardafwijking van 3 minuten. Deze grootheid kan niet negatief zijn.
Kan dat volgens de vuistregels van de normale verdeling?
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo A
Vraag 5.
Het histogram in de figuur hoort bij de scores van de deelnemers aan een quiz. Het gaat om 182 waarnemingen.
Welke omschrijving past het best bij de vorm van deze verdeling?
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
De vuistregel van 68% gebruiken voor het stuk aan één kant van het gemiddelde. Tussen μ en μ+σ ligt de helft ervan: 34%.
De grens niet omrekenen naar standaardafwijkingen. Een grens die 3 eenheden boven het gemiddelde ligt is bij σ=1,5 twee standaardafwijkingen, maar bij σ=3 maar één.
Het percentage ‘boven’ een grens uitrekenen als het percentage ‘onder’ die grens gevraagd wordt. Schets de klok en arceer het gevraagde stuk voordat je optelt.
De vuistregels gebruiken zonder dat de verdeling normaal is. Bij een scheve verdeling of een verdeling met twee toppen kloppen de percentages niet.
Het percentage niet omrekenen naar een aantal. Staat er ‘hoeveel lampen’ of ‘hoeveel kandidaten’, dan neem je het percentage van het totaal.
Onthoud
Vuistregels: ongeveer 68% binnen 1σ, ongeveer 95% binnen 2σ, nagenoeg 100% binnen 3σ van het gemiddelde.
Stukken: 34% tussen μ en μ±σ, 13,5% tussen 1σ en 2σ, 2,5% voorbij 2σ, 16% voorbij σ.
De vuistregels staan niet op het formuleblad: leer ze uit je hoofd.
Een normale verdeling is symmetrisch en klokvormig; scheef of twee toppen betekent niet normaal.
Veelgestelde vragen
1.Wat zijn de vuistregels van de normale verdeling?+
Antwoord:Bij een normale verdeling met gemiddelde μ en standaardafwijking σ ligt ongeveer 68% van de waarnemingen tussen μ−σ en μ+σ, ongeveer 95% tussen μ−2σ en μ+2σ en nagenoeg 100% tussen μ−3σ en μ+3σ. De syllabus rekent ze tot de parate kennis.
2.Staan de vuistregels op het formuleblad?+
Antwoord:Nee. Het formuleblad van wiskunde A havo bevat de vuistregels voor het verschil tussen twee groepen en de formules voor de betrouwbaarheidsintervallen, niet de vuistregels van de normale verdeling. Die horen volgens de syllabus bij de kennis die je zelf moet hebben. Leer dus de drie percentages en hun stukken van 34%, 13,5% en 2,5% uit je hoofd.
3.Hoe bereken ik het percentage tussen twee waarden?+
Antwoord:Reken beide waarden om naar het aantal standaardafwijkingen boven of onder het gemiddelde, schets de klok en tel de stukken van het gearceerde gebied op. Staan beide waarden aan dezelfde kant van μ, trek dan de percentages van de twee stukken van elkaar af. Controleer of het antwoord tussen 0% en 100% ligt.
4.Hoe zie ik dat een verdeling niet normaal is?+
Antwoord:Kijk naar de vorm: een normale verdeling is symmetrisch en klokvormig met één top. Een staart naar één kant, twee toppen of een verdeling die onmogelijke waarden toelaat, bijvoorbeeld een negatief aantal, wijst op een verdeling die niet normaal is. Noem in je uitleg altijd het kenmerk dat je ziet, zoals dat de vorm niet symmetrisch is.
Antwoord:Echte gegevens zijn nooit precies normaal verdeeld. Bij benadering normaal betekent dat het histogram of de frequentieverdeling ongeveer klokvormig en symmetrisch is. Dan gebruik je de vuistregels als schatting: de percentages kloppen ongeveer, niet exact. Geef je antwoord daarom met de percentages van de vuistregels zelf.
6.Hoe reken ik het gemiddelde en de standaardafwijking terug uit twee percentages?+
Antwoord:Zoek bij elk percentage de bijbehorende grens, bijvoorbeeld 16% boven een waarde is μ+σ en 2,5% onder een waarde is μ−2σ. Zo krijg je twee vergelijkingen met μ en σ. Trek ze van elkaar af om σ te vinden en vul σ in om μ te bepalen.