Oppervlakte en inhoud berekenen: omtrek en oppervlakte van de cirkel, prisma, cilinder, kegel, piramide en bol
Een grasveld dat ingezaaid moet worden, een pan die je vult, een ijshoorntje of een ronde fietsrotonde: bij oppervlakte en inhoud draait alles om de juiste formule en de juiste maat. Voor het centraal examen leer je de oppervlakte van vlakke figuren en cirkels berekenen, en de inhoud van een prisma, cilinder, kegel, piramide en bol. Hier lees je hoe je dat aanpakt en waar je op moet letten.
Centraal examen vmbo wiskunde: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; vwo wiskunde C: in 4 van de 5.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde vmbo
WI/K/6 WI/V/1 Meetkunde, specificatie 2schatten, meten en berekenen: schattingen en metingen doen van hoeken, lengten, oppervlakten en inhouden van objecten in de ruimte; grootte van hoeken en afstanden in 2- en 3-dimensionale figuren berekenen; oppervlakte en omtrek berekenen van driehoek, rechthoek en figuren die daaruit samengesteld zijn, zoals een parallellogram; omtrek en oppervlakte van een cirkel berekenen met behulp van gegeven formules; inhoud van kubus en balk berekenen; inhoud van prisma, kegel, piramide, bol en cilinder berekenen met behulp van gegeven formules
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Domein G Vorm en ruimte, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de stelling van Pythagoras; de gulden snede als verhouding; de formules voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek, een driehoek en een cirkel; de volgende inhoudsformules: I = G · h (voor balk, prisma en cilinder) en I = ⅓ · G · h (voor piramide en kegel); de begrippen horizon, oogpunt en verdwijnpunt; het begrip regelmatige veelhoek.
Domein G Vorm en ruimte, specificatie 5als de oppervlakte van het grondvlak gegeven is, de inhoud van een balk, een piramide, een prisma, een kegel en een cilinder berekenen;
Domein G Vorm en ruimte, specificatie 10gebruik maken van de oppervlakte van de figuren die genoemd zijn in G.4, en van de inhoud van de ruimtelijke objecten die genoemd zijn in G.5, om daarmee de oppervlakte en de inhoud van ruimtelijke objecten te berekenen en/of te schatten;
Gevraagd in 4 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
De oppervlakte van een rechthoek is lengte×breedte, van een driehoek 21×basis×hoogte en van een parallellogram basis×hoogte. Een samengestelde figuur knip je in stukken die je kent. Daarna tel je de oppervlakten op, of je trekt het weggehaalde deel af.
Bij een cirkel hoort de straal, de helft van de diameter. Het formuleoverzicht van het vmbo-examen geeft omtrek=π×diameter en oppervlakte=π×straal2. Kwadrateer alleen de straal, niet π of de diameter.
De inhoud van een prisma of een cilinder is oppervlakte grondvlak×hoogte. Bij een balk is het grondvlak een rechthoek, bij een cilinder een cirkel. Het grondvlak is het vlak dat je over de hoogte doorschuift om het lichaam te krijgen, niet per se het vlak waarop het staat.
De inhoud van een kegel of een piramide is een derde daarvan: 31×oppervlakte grondvlak×hoogte. De inhoud van een bol is 34×π×straal3. In het vmbo-examen staan deze formules op het overzicht aan het begin.
De vmbo-syllabus noemt ook uitslagen. De oppervlakte van een uitslag is de som van de oppervlakten van alle vlakken: bij een doos met deksel tel je zes rechthoeken, drie paar gelijke vlakken.
Reken met eenheden die bij elkaar passen: lengtes in cm geven oppervlakten in cm2 en inhouden in cm3. Een liter is 1000 cm3.
Het centraal examen wiskunde vmbo gl/tl duurt 120 minuten en is op papier. Je gebruikt een rekenmachine zonder grafieken; in het examen staat een overzicht met formules.
Het centraal examen wiskunde C vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Bepaal wat je zoekt
Gaat het om een lengte, een oppervlakte of een inhoud? Een lengte meet je in cm, een oppervlakte bedekt een vlak in cm2 en een inhoud vult een lichaam in cm3.
2.Zoek de maten en de formule
Lees uit de tekst en de tekening alle maten af. Staat de formule in het overzicht aan het begin van het examen, gebruik dan die. Zo niet, dan is de formule in de vraag zelf gegeven, of je kent hem uit je hoofd.
3.Let op straal en diameter
Bij een cirkel, cilinder, kegel of bol heb je de straal nodig. Is de diameter gegeven, deel die dan eerst door 2.
4.Splits of trek af
Bestaat de figuur uit meer stukken, bereken dan elk stuk en tel op. Zit er een gat in, bereken dan het geheel en trek het gat af.
5.Reken om en rond af
Zet de eenheid om als dat nodig is, bijvoorbeeld van cm3 naar liter. Rond pas aan het einde af, en schrijf je berekening op.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Een samengestelde figuur
Een L-vormige kamer ontstaat door uit een rechthoek van 9 m bij 6 m een hoek weg te halen. Die hoek is een rechthoek van 3 m bij 2 m. Bereken de oppervlakte van de kamer.
Het geheel is een rechthoek: 9×6=54m2.
De weggehaalde hoek is 3×2=6m2.
Antwoord: de oppervlakte van de kamer is 54−6=48m2.
2.De oppervlakte van een cirkel
Een ronde taart heeft een diameter van 26 cm. Bereken de oppervlakte van de bovenkant van de taart. Geef je antwoord in één decimaal.
De straal is 26:2=13 cm.
De oppervlakte is π×132=169π≈530,93cm2.
Antwoord: de oppervlakte van de bovenkant is ongeveer 530,9 cm2.
3.De inhoud van een kegel
Een ijshoorntje heeft de vorm van een kegel met een diameter van 6 cm en een hoogte van 12 cm. Bereken de inhoud van het hoorntje. Geef je antwoord in één decimaal.
De straal van het grondvlak is 6:2=3 cm. Het grondvlak is een cirkel met oppervlakte π×32=9πcm2.
De inhoud is 31×9π×12=36π≈113,10cm3.
Antwoord: de inhoud van het hoorntje is ongeveer 113,1 cm3.
4.De inhoud van een bol in liters
Een ronde waterballon heeft een straal van 15 cm. Bereken hoeveel liter water er maximaal in past. Geef je antwoord in één decimaal.
De inhoud is 34×π×153=4500π≈14137,2cm3.
Een liter is 1000 cm3, dus dat is 14137,2:1000≈14,1 liter.
Antwoord: er past ongeveer 14,1 liter in de ballon.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenvmbo
Pyramide van Austerlitz
De Pyramide van Austerlitz is een monument op de Utrechtse Heuvelrug. Boven op het monument staat een gedenkteken. Naast de foto zie je een wiskundig model van het monument.
Kleksa: hier staat in het examen een foto van de Pyramide van Austerlitz (niet overgenomen).Bron: CvTE — Examenblad.nlIn het wiskundige model is ABCD een vierkant met zijden van 43,6 m.
EFGH is een vierkant met zijden van 6,2 m.
Verder geldt dat AE=BF=CG=DH.
De piramide staat in het midden van een cirkelvormig grasveld met een straal van 75 m. Zie het bovenaanzicht hieronder. Het grasveld moet opnieuw ingezaaid worden.Bron: CvTE — Examenblad.nl
Vraag 12
10 gram graszaad is voldoende voor 1 m2.
→ Bereken hoeveel kg graszaad er nodig is voor het hele grasveld. Schrijf je berekening op.
Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vmbo gl/tl wiskunde 2025, tijdvak 1, vraag 12 — Examenblad.nl · Het examen op Examenblad.nl
Uitwerking: Kleksa (niet officieel)
Het grasveld is de cirkel met een straal van 75 m, min het vierkant van de piramide met zijden van 43,6 m.
De oppervlakte van de cirkel is π×752≈17671,5m2 en die van het vierkant is 43,6×43,6=1900,96m2.
Het grasveld is dus 17671,5−1900,96≈15770,5m2. Voor 1 m2 is 10 gram graszaad nodig: 15770,5×10≈157705 gram, dat is 157,7 kg.
Antwoord: er is ongeveer 158 kg graszaad nodig.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde C vwo
Bij wiskunde C vwo moet je volgens domein G Vorm en ruimte uit je hoofd kennen: de formules voor de oppervlakte van een rechthoek, een driehoek en een cirkel, en de inhoudsformules I=G⋅h voor een balk, prisma en cilinder en I=31G⋅h voor een piramide en kegel. Ze staan niet op een formuleblad, want dat is er niet. Daarnaast vraagt de syllabus de gelijkvormigheid: is de lengte van een figuur k keer zo groot, dan is de oppervlakte k2 keer zo groot en de inhoud k3 keer zo groot. De syllabus noemt de inhoud van een bol hier niet.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
vmbo
Vraag 1.
Een kaarsenhouder heeft de vorm van een piramide met een vierkant grondvlak van 10 cm bij 10 cm. De hoogte is 5 cm.
Voor de inhoud van een piramide geldt: I=31×G×h, met G de oppervlakte van het grondvlak.
Bereken de inhoud in cm³. Geef je antwoord in één decimaal.
cm³
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vmbo
Vraag 2.
Een kookpan heeft de vorm van een cilinder. Aan de binnenkant is de diameter 19 cm en de hoogte 17 cm.
Bereken hoeveel liter erin past. Geef je antwoord in één decimaal.
liter
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vmbo
Vraag 3.
Een doos in de vorm van een balk is 34 cm lang, 10 cm breed en 14 cm hoog, met deksel. De doos wordt uit één stuk karton gevouwen; plakranden tellen niet mee.
Bereken de oppervlakte van de uitslag van de doos in cm².
cm²
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo C
Vraag 4.
Van een vrachtschip is een schaalmodel gemaakt op schaal 1 : 50. Het laadruim van het model heeft een inhoud van 157 ml.
Bereken de inhoud van het laadruim in werkelijkheid. Geef je antwoord in m³.
m³
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
De diameter in de formule gebruiken waar de straal hoort. Bij een diameter van 26 cm is de straal 13 cm, en de oppervlakte is π×132 en niet π×262.
De factor 31 vergeten bij een kegel of een piramide. Zo’n lichaam heeft een derde van de inhoud van het prisma of de cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.
Verkeerd kwadrateren. Bij π×r2 kwadrateer je alleen r:π×132 is π×169 en niet (π×13)2. Tik de berekening met haakjes in de rekenmachine.
Lengte en oppervlakte door elkaar halen. De omtrek van een cirkel (op het vmbo-overzicht π×diameter) is een lengte in cm, de oppervlakte een maat in cm2: kijk of de eenheid bij de vraag past.
Bij een figuur met een gat het gat vergeten af te trekken, of bij een samengestelde figuur een deel twee keer meetellen. Maak zo nodig een schets en noteer elk deel apart.
Onthoud
Cirkel, zoals op het vmbo-overzicht: omtrek=π×diameter en oppervlakte=π×straal2.
Prisma en cilinder: de inhoud is oppervlakte grondvlak×hoogte.
Kegel en piramide: 31×oppervlakte grondvlak×hoogte.
Bol: 34×π×straal3.
Eerst de diameter delen door 2, dan pas rekenen met de straal.
Veelgestelde vragen
1.Hoe bereken ik de oppervlakte van een figuur met een gat erin?+
Antwoord:Bereken de oppervlakte van de hele figuur zonder gat en trek daar de oppervlakte van het gat vanaf. Een rechthoek van 8 m bij 5 m met een vierkant gat van 2 m bij 2 m heeft een oppervlakte van 8×5−2×2=36m2. Het gat mag ook een cirkel zijn: gebruik dan de formule voor de cirkel.
2.Wat is het grondvlak van een prisma of een cilinder?+
Antwoord:Het grondvlak is het vlak dat je kunt doorschuiven over de hoogte om het lichaam te krijgen. Bij een cilinder is dat de cirkel, bij een balk een rechthoek en bij een driehoekig prisma een driehoek. De hoogte staat loodrecht op dat vlak. Het prisma hoeft dus niet op zijn grondvlak te staan.
3.Staan de formules voor de inhoud op het examen vermeld?+
Antwoord:In het vmbo-examen staat aan het begin een overzicht met de omtrek en oppervlakte van een cirkel en de inhoud van een prisma, cilinder, kegel, piramide en bol. De inhoud van andere lichamen kan ook gevraagd worden, en dan wordt de formule altijd gegeven. De oppervlakte van een driehoek staat niet op het overzicht. Bij wiskunde C vwo is er geen formuleblad: daar ken je de inhoudsformules uit je hoofd.
4.Hoe reken ik een inhoud in kubieke centimeters om naar liters?+
Antwoord:Een liter is 1000 cm3. Deel een inhoud in cm3 dus door 1000 om liters te krijgen. Een emmer van 12 000 cm3 bevat 12 liter. Een kubieke meter is 1000 liter. Lees ook de pagina over het omrekenen van eenheden als je hier fouten maakt.
5.Hoe bereken ik de oppervlakte van een uitslag in het vmbo-examen?+
Antwoord:Een uitslag is het platgevouwen oppervlak van een lichaam, zoals een doos. Tel de oppervlakten van alle vlakken op. Bij een balk zijn er zes rechthoeken, steeds twee gelijke: voor, achter, boven, onder, links en rechts. Bij een cilinder zijn dat twee cirkels en een rechthoek, met een breedte gelijk aan de omtrek van de cirkel: π×diameter, zoals het vmbo-overzicht hem geeft.
6.Mag ik voor π het getal 3,14 nemen?+
Antwoord:Gebruik liever de toets π van je rekenmachine dan 3,14: daarmee is je antwoord nauwkeuriger. Rond pas aan het einde af op de nauwkeurigheid die de vraag geeft. De syllabus zegt dat voortijdig afronden ongewenste gevolgen kan hebben.