Wat is het verschil tussen snelheid en baansnelheid?

De snelheid is een vector, met een richting: de afgeleiden $x'(t)$ en $y'(t)$ als componenten. De baansnelheid is de lengte van die vector, dus één getal dat zegt hoe snel het punt beweegt zonder de richting. Een punt kan op twee tijdstippen dezelfde baansnelheid hebben en toch in een andere richting bewegen.

Hoe bereken ik de hoek tussen twee vectoren?

Bereken het inproduct, de twee lengtes en dan $\cos(\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Neem daarvan de inverse cosinus. Zet de grafische rekenmachine op graden als je de hoek in graden wilt. Vraagt de opgave ‘exact’, dan laat je de cosinus als een breuk met wortels staan als de hoek geen bekende waarde is.

Wanneer staan twee vectoren loodrecht op elkaar?

Als hun inproduct $0$ is, want dan is $\cos(\varphi) = 0$ en dus $\varphi = 90$ graden. Bij vectoren met een parameter stel je het inproduct gelijk aan $0$ en los je de vergelijking op naar de parameter. Dat kan een kwadratische vergelijking worden, met twee oplossingen.

Hoe stel ik een vectorvoorstelling van een lijn op?

Kies een punt op de lijn als steunvector en een vector langs de lijn als richtingsvector. Gaat de lijn door $A$ en $B$, dan is $\overrightarrow{AB}$ een richtingsvector. De voorstelling is dan steunvector plus $t$ keer richtingsvector. Elke andere keuze van punt en richtingsvector, zoals het dubbele van de richtingsvector, geeft dezelfde lijn.

Hoe vind ik de raaklijn aan een baan?

Bereken de snelheidsvector op het gegeven tijdstip en het punt van de baan op dat tijdstip. De snelheidsvector is een richtingsvector van de raaklijn, en het punt is de steunvector. Uit $x'(t)$ en $y'(t)$ volgt ook de richtingscoëfficiënt $\frac{y'(t)}{x'(t)}$, zolang $x'(t) \neq 0$.

Hoe bereken ik het zwaartepunt van een driehoek met vectoren?

Tel de plaatsvectoren van de drie hoekpunten op en deel door $3$. De coördinaten van het zwaartepunt zijn dan het gemiddelde van de $x$-coördinaten en van de $y$-coördinaten. Bij meer punten deel je door het aantal punten, en bij punten met een gewicht gebruik je het gewogen gemiddelde.

Centraal examen 2027 · Wiskunde B vwo

Vectoren en inproduct: hoek tussen vectoren, vectorvoorstelling en de baan van een punt

Met vectoren beschrijf je verplaatsingen en richtingen in het vlak, en met het inproduct bereken je hoeken en afstanden. Je stelt een vectorvoorstelling van een lijn op, rekent aan de baan van een bewegend punt en vindt de baansnelheid. Dit hoort bij wiskunde B van het vwo. Voor het centraal examen zet deze pagina de begrippen en de aanpak op een rij, met voorbeelden en een vraag uit het examen zelf.

Centraal examen vwo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.

Per examen

uit de syllabus

Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.

Wiskunde B vwo
- Subdomein E3 Vectoren en inproductDe kandidaat kan met behulp van vectoren en inproducten eigenschappen van figuren in het vlak afleiden en berekeningen uitvoeren.
- Subdomein E3 Vectoren en inproduct, specificatie 4het inproduct gebruiken voor de berekening van hoeken en afstanden;
- Subdomein E3 Vectoren en inproduct, specificatie 6berekeningen uitvoeren aan de baan van een bewegend punt die beschreven is door een tijdsafhankelijke vectorvoorstelling (x(t), y(t));
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
2026: vraag 2, 10, 11, 12; 2025: vraag 3, 14; 2024: vraag 9, 10, 18; 2023: vraag 7, 8, 9, 15; 2022: vraag 5, 6, 7, 12, 16, 17
Formuleblad: ja · Grafische rekenmachine: ja
Alle onderwerpen van dit examen Het formuleblad Het examen van 2026 gratis maken

Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.

Het belangrijkste

wat je moet weten

Een vector heeft een lengte en een richting en is een getallenpaar: $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ . De getallen heten kentallen of componenten. De lengte is $|\vec{a}| ={}$ $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ . De vector van punt $A$ naar punt $B$ is $\overrightarrow{AB} ={}$ $B - A$ : je trekt de coördinaten van $A$ af van die van $B$ .
Je telt vectoren op en trekt ze af per component, en vermenigvuldigt een vector met een getal door elke component met dat getal te vermenigvuldigen. Meetkundig is een optelling een pijl achter een pijl, en een aftrekking een optelling van de tegengestelde vector.
Het inproduct is $\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $a_1 b_1 + a_2 b_2 ={}$ $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi)$ , met $\varphi$ de hoek tussen de vectoren. Daarmee volgt $\cos(\varphi) ={}$ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ . Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inproduct $0$ is.
Een vectorvoorstelling van een lijn is $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix}$ , met steunvector $\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ en richtingsvector $\begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix}$ . Je rekent een vectorvoorstelling, een parametervoorstelling en een vergelijking van een lijn in elkaar om. Het snijpunt van twee lijnen vind je door de voorstellingen aan elkaar gelijk te stellen: twee vergelijkingen met twee onbekenden.
Een bewegend punt heeft bewegingsvergelijkingen $x(t)$ en $y(t)$ . De snelheidsvector is $\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ , de versnellingsvector is de afgeleide daarvan. De baansnelheid is de lengte van de snelheidsvector: $|\vec{v}(t)| ={}$ $\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$ , een getal en geen vector.
De snelheidsvector is een richtingsvector van de raaklijn aan de baan (E3.8). De raaklijn is horizontaal als $y'(t) = 0$ en $x'(t) \neq 0$ , en verticaal als $x'(t) = 0$ en $y'(t) \neq 0$ .
Het zwaartepunt van een aantal punten is het eindpunt van de gemiddelde plaatsvector: de plaatsvectoren van de punten tel je op en je deelt door het aantal punten.

Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.

Zo pak je het aan

stap voor stap

1.Schrijf de vectoren in componenten
Bereken een vector tussen twee punten als eindpunt min beginpunt. Een vector die met lengte en richting is gegeven, ontbind je in componenten met cosinus en sinus van de richtingshoek.
2.Kies de formule
Voor een hoek of een loodrechte stand gebruik je het inproduct, voor een lijn de vectorvoorstelling, voor snelheid en raaklijn de afgeleiden van $x(t)$ en $y(t)$ .
3.Reken met de componenten
Schrijf het inproduct, de lengtes of de afgeleiden eerst als een uitdrukking in de onbekende. Houd bij ‘exact’ wortels en breuken staan en rond niet af.
4.Los de vergelijking op
Een loodrechte stand geeft inproduct $0$ ; een snijpunt geeft twee vergelijkingen; een extreme baansnelheid geeft een afgeleide die $0$ is of een minimum dat de grafische rekenmachine bepaalt.
5.Controleer en rond af zoals gevraagd
Vul de gevonden waarde in de uitgangssituatie in, en lees na hoeveel decimalen of gehele graden gevraagd worden.

Voorbeelden

Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.

1.De hoek tussen twee vectoren
Gegeven zijn de vectoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ en $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Bereken de hoek tussen $\vec{u}$ en $\vec{v}$ . Geef je antwoord in gehele graden.
2.Loodrecht voor welke waarden van een parameter
Voor elke waarde van $p$ zijn de vectoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2p \\ 3 \end{pmatrix}$ en $\vec{b} = \begin{pmatrix} p \\ p - 4 \end{pmatrix}$ gegeven. Bereken exact voor welke waarden van $p$ de vectoren loodrecht op elkaar staan.
3.Een vectorvoorstelling van een lijn
Stel een vectorvoorstelling op van de lijn door $A(1, 2)$ en $B(4, 6)$ . Ligt het punt $C(7, 10)$ op deze lijn? Geef ook een vergelijking van de lijn.
4.Snelheid, baansnelheid en een horizontale raaklijn
Een punt $P$ beweegt volgens $x(t) = 2t$ en $y(t) = t^2 - 4t$ , met $t$ in seconden. Bereken exact de baansnelheid op $t = 1$ . In welk punt van de baan is de raaklijn horizontaal?

Een vraag uit het centraal examen

een echte examenvraag

Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.

Centraal examenvwo B

Lus

Het punt

P

beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen

\begin{cases} x(t) = t^2(2 - t) \\ y(t) = 2t(2 - t) \end{cases}

met

0 \le t \le 2

t

in seconden. De snelheidsvector op tijdstip

t

\vec{v} = \begin{pmatrix} 4t - 3t^2 \\ 4 - 4t \end{pmatrix}

. De baansnelheid van

P

is op één tijdstip

t

minimaal.

Vraag 10

Bereken deze waarde van

t

. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo wiskunde B 2026, tijdvak 1, vraag 10 — Examenblad.nl · Het examen op Examenblad.nl · Maak het hele examen gratis

Test jezelf

meteen nakijken

Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.

vwo B

Vraag 1.

Gegeven zijn de vectoren

\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}

\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}

. Bereken de hoek tussen

\vec{u}

\vec{v}

. Geef je antwoord in gehele graden.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 2.

Voor elke waarde van

p

zijn de vectoren

\vec{a} = \begin{pmatrix} 2p + 5 \\ -3 \end{pmatrix}

\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ p + 1 \end{pmatrix}

gegeven. Bereken exact voor welke waarde van

p

de vectoren

\vec{a}

\vec{b}

loodrecht op elkaar staan.

p =

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 3.

Gegeven is driehoek

ABC

met

A(-4, 0)

B(-6, -2)

C(-3, -3)

. Het punt

Z

is het zwaartepunt van de driehoek. Bereken exact de coördinaten van

Z

x_Z =

y_Z =

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 4.

Gegeven zijn de lijnen

l

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}

m

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

. Bereken de coördinaten van het snijpunt

S

van

l

m

x_S =

y_S =

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 5.

Een punt

P

beweegt over een baan volgens de bewegingsvergelijkingen

x(t) = 3t^2 - 5t - 5

y(t) = 2t^2 - 3t - 1

. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de baan in het punt met

t = 2

. Schrijf je antwoord in de vorm

y = ax + b

y =

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

Meer opgaven: maak gratis een heel centraal examen

Veelgemaakte fouten

waar punten verloren gaan

Het inproduct opvatten als een vector. Het inproduct is een getal: $a_1 b_1 + a_2 b_2$ . Alleen de som en het verschil van vectoren zijn weer vectoren.
Het eindpunt min beginpunt omdraaien. De vector $\overrightarrow{AB}$ is $B - A$ ; draai je de volgorde om, dan krijg je $\overrightarrow{BA}$ en klopt het teken van elke component niet meer.
De snelheidsvector en de baansnelheid door elkaar halen. De snelheidsvector heeft twee componenten; de baansnelheid is de lengte daarvan en is één getal.
Bij een horizontale raaklijn vergeten te controleren of $x'(t) \neq 0$ . Zijn beide afgeleiden $0$ , dan weet je niets over de richting van de raaklijn.
De hoek tussen twee lijnen en de hoek tussen twee vectoren verwisselen. Het inproduct geeft de hoek tussen de vectoren, tussen $0$ en $180$ graden; de hoek tussen twee lijnen is nooit groter dan $90$ graden.

Onthoud

Inproduct: $\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $a_1 b_1 + a_2 b_2 ={}$ $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi)$ .
Loodrecht: het inproduct is $0$ .
Lijn: steunvector plus $t$ keer een richtingsvector.
Snelheid: $\vec{v} = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ ; baansnelheid: de lengte daarvan.
De snelheidsvector is een richtingsvector van de raaklijn aan de baan.

Veelgestelde vragen

1.Wat is het verschil tussen snelheid en baansnelheid?+
Antwoord:De snelheid is een vector, met een richting: de afgeleiden $x'(t)$ en $y'(t)$ als componenten. De baansnelheid is de lengte van die vector, dus één getal dat zegt hoe snel het punt beweegt zonder de richting. Een punt kan op twee tijdstippen dezelfde baansnelheid hebben en toch in een andere richting bewegen.
2.Hoe bereken ik de hoek tussen twee vectoren?+
Antwoord:Bereken het inproduct, de twee lengtes en dan $\cos(\varphi) ={}$ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ . Neem daarvan de inverse cosinus. Zet de grafische rekenmachine op graden als je de hoek in graden wilt. Vraagt de opgave ‘exact’, dan laat je de cosinus als een breuk met wortels staan als de hoek geen bekende waarde is.
3.Wanneer staan twee vectoren loodrecht op elkaar?+
Antwoord:Als hun inproduct $0$ is, want dan is $\cos(\varphi) = 0$ en dus $\varphi = 90$ graden. Bij vectoren met een parameter stel je het inproduct gelijk aan $0$ en los je de vergelijking op naar de parameter. Dat kan een kwadratische vergelijking worden, met twee oplossingen.
4.Hoe stel ik een vectorvoorstelling van een lijn op?+
Antwoord:Kies een punt op de lijn als steunvector en een vector langs de lijn als richtingsvector. Gaat de lijn door $A$ en $B$ , dan is $\overrightarrow{AB}$ een richtingsvector. De voorstelling is dan steunvector plus $t$ keer richtingsvector. Elke andere keuze van punt en richtingsvector, zoals het dubbele van de richtingsvector, geeft dezelfde lijn.
5.Hoe vind ik de raaklijn aan een baan?+
Antwoord:Bereken de snelheidsvector op het gegeven tijdstip en het punt van de baan op dat tijdstip. De snelheidsvector is een richtingsvector van de raaklijn, en het punt is de steunvector. Uit $x'(t)$ en $y'(t)$ volgt ook de richtingscoëfficiënt $\frac{y'(t)}{x'(t)}$ , zolang $x'(t) \neq 0$ .
6.Hoe bereken ik het zwaartepunt van een driehoek met vectoren?+
Antwoord:Tel de plaatsvectoren van de drie hoekpunten op en deel door $3$ . De coördinaten van het zwaartepunt zijn dan het gemiddelde van de $x$ -coördinaten en van de $y$ -coördinaten. Bij meer punten deel je door het aantal punten, en bij punten met een gewicht gebruik je het gewogen gemiddelde.

Zie ook

Alle onderwerpen wiskunde b vwo

Bronnen

De rijen van de syllabus zijn geciteerd uit de syllabi centraal examen 2027 van het College voor Toetsen en Examens; de telling is van ons.

Pagina gecontroleerd op 27 oktober 2026

Laatste opgave.

Maak gratis het centraal examen 2026, eerste tijdvak — 180 minuten, en kijk het zelf na met het correctievoorschrift

Maak het examen gratis

Vectoren en inproduct: hoek tussen vectoren, vectorvoorstelling en de baan van een punt

Per examen

Het belangrijkste

Zo pak je het aan

1.Schrijf de vectoren in componenten

2.Kies de formule

3.Reken met de componenten

4.Los de vergelijking op

5.Controleer en rond af zoals gevraagd

Voorbeelden

1.De hoek tussen twee vectoren

2.Loodrecht voor welke waarden van een parameter

3.Een vectorvoorstelling van een lijn

4.Snelheid, baansnelheid en een horizontale raaklijn

Een vraag uit het centraal examen

Test jezelf

Veelgemaakte fouten

Onthoud

Veelgestelde vragen

Zie ook

Bronnen