Lijnen en cirkels: vergelijking van een cirkel, loodlijn, raaklijn en afstanden
In de vlakke meetkunde met coördinaten werk je met de vergelijking van een cirkel en met lijnen die loodrecht staan, raken of snijden. Je haalt middelpunt en straal uit een vergelijking, stelt een raaklijn of loodlijn op, berekent snijpunten en afstanden en bepaalt een hoek. Deze pagina zet het op een rij voor het centraal examen, met voorbeelden en een vraag uit een echt examen.
Centraal examen havo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; vwo wiskunde B: in alle 5 examens.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde B havo
Subdomein C2 Algebraïsche methodenDe kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren aan de hand van contexten en figuren.
Subdomein C2 Algebraïsche methoden, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de vergelijking van een lijn in de vorm y = ax + b en in de vorm ax + by = c; de eigenschap dat het product van de richtingscoëfficiënten van twee loodrecht op elkaar staande lijnen gelijk is aan –1 en omgekeerd; van een cirkel een vergelijking in de vorm (x – a)² + (y – b)² = r² en in de vorm x² + y² + ax + by + c = 0; de stelling dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt.
Subdomein C2 Algebraïsche methoden, specificatie 10de afstand tussen punten, lijnen en cirkels berekenen;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein E2 Algebraïsche methoden in de vlakke meetkundeDe kandidaat kan eigenschappen en onderlinge ligging van punten, lijnen, cirkels en andere geschikte figuren onderzoeken met behulp van algebraïsche voorstellingen, kan in een gegeven of zelfgekozen coördinatenstelsel algebraïsche voorstellingen van figuren opstellen en kan algebraïsche voorstellingen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen.
Subdomein E2 Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de vergelijking van een lijn in de vorm y = mx + n en in de vorm ax + by = c; de begrippen richtingscoëfficiënt en loodlijn; […] van een cirkel de vergelijking in de vorm (x – a)² + (y – b)² = r² en in de vorm x² + y² + ax + by + c = 0;
Subdomein E2 Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde, specificatie 4de vergelijking of de parametervoorstelling van een cirkel opstellen;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
Een cirkel met middelpunt M(a,b) en straal r heeft de vergelijking (x−a)2+(y−b)2=r2. Staat de vergelijking in de vorm x2+y2+px+qy+c=0, dan haal je middelpunt en straal eruit met kwadraat afsplitsen.
Een lijn heeft de vorm y=ax+b, met a de richtingscoëfficiënt, of de vorm ax+by=c, met richtingscoëfficiënt −ba als b=0. Twee lijnen zijn evenwijdig als de richtingscoëfficiënten gelijk zijn. Ze staan loodrecht op elkaar als het product van de richtingscoëfficiënten −1 is. Een loodlijn is een lijn die loodrecht op een andere lijn staat.
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Eerst bereken je de richtingscoëfficiënt van de straal, dan die van de raaklijn, en dan stel je de vergelijking op met het raakpunt.
Het snijpunt van een lijn en een cirkel vind je door de lijn in de cirkelvergelijking in te vullen. Dat geeft een kwadratische vergelijking: twee oplossingen betekent twee snijpunten, één oplossing dat de lijn de cirkel raakt, geen oplossing dat er geen snijpunt is.
De afstand tussen twee punten reken je uit met de stelling van Pythagoras. De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het stuk loodlijn tussen het punt en de lijn. De afstand van een punt buiten een cirkel tot de cirkel is de afstand tot het middelpunt min de straal.
De hoek die een lijn met de x-as maakt, volgt uit de richtingscoëfficiënt: tan(α)=a. De hoek tussen twee lijnen is het verschil van hun twee hoeken met de x-as; is dat verschil groter dan 90∘, dan is de hoek tussen de lijnen 180∘ min dat verschil.
Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Haal middelpunt en straal uit de vergelijking
Splits zo nodig kwadraten af tot (x−a)2+(y−b)2=r2. Lees het middelpunt (a,b) en de straal r af, en zet ze in een schets.
2.Kies het hulpmiddel
Staat er ‘loodrecht’ of ‘raakt’, gebruik dan het product van de richtingscoëfficiënten of de straal naar het raakpunt. Staat er ‘snijpunt’, vul dan de lijn in de cirkel in. Staat er ‘afstand’, gebruik dan Pythagoras of een loodlijn.
3.Stel de vergelijking op en los op
Stel de nodige lijnen op in de vorm y=ax+b. Los de kwadratische vergelijking op met de abc-formule, of door te ontbinden als dat kan.
4.Controleer door in te vullen
Vul een gevonden snijpunt of raakpunt in beide vergelijkingen in. Een punt van de cirkel voldoet aan de cirkelvergelijking, een punt van de lijn aan de lijnvergelijking.
5.Rond af zoals gevraagd
Staat er ‘exact’, laat dan wortels en breuken staan. Anders rond je af op het aantal decimalen of graden uit de vraag.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Middelpunt en straal uit een vergelijking
De cirkel c heeft de vergelijking x2+y2−6x+2y=6. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de straal van c.
Splits de kwadraten af: x2−6x=(x−3)2−9 en y2+2y=(y+1)2−1.
Dan staat er (x−3)2+(y+1)2−10=6, dus (x−3)2+(y+1)2=16.
Antwoord: het middelpunt is M(3,−1) en de straal is r=16=4.
2.Een loodlijn door een punt
De lijn k heeft vergelijking y=2x+1. Stel een vergelijking op van de lijn m door P(4,3) die loodrecht op k staat. Geef je antwoord in de vorm y=ax+b.
De richtingscoëfficiënt van k is 2. Voor een loodrechte lijn is het product van de richtingscoëfficiënten −1, dus a⋅2=−1 en a=−21.
Vul P(4,3) in y=−21x+b in: 3=−21⋅4+b, dus b=5.
Antwoord: m heeft de vergelijking y=−21x+5.
3.Raakt de lijn de cirkel?
Gegeven zijn de cirkel c:x2+y2=8 en de lijn l:y=x+4. Onderzoek op exacte wijze of l de cirkel c raakt.
Vul y=x+4 in de cirkelvergelijking in: x2+(x+4)2=8.
Haakjes wegwerken geeft 2x2+8x+16=8, dus 2x2+8x+8=0 en na delen door 2: x2+4x+4=0.
Dat is (x+2)2=0: er is precies één oplossing, x=−2, met y=−2+4=2.
Conclusie: de lijn en de cirkel hebben precies één punt gemeen, (−2,2), dus l raakt c.
4.De afstand van een punt tot een cirkel
De cirkel c heeft vergelijking x2+y2=9. Het punt P(6,8) ligt buiten c. Bereken de afstand van P tot c.
Het middelpunt van c is O(0,0) en de straal is 9=3.
De afstand van P tot het middelpunt is 62+82=100=10.
Antwoord: de afstand van P tot c is 10−3=7.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo B
Hoeken
De cirkel c met middelpunt M is gegeven door de vergelijking:
x2+y2−10x−6y=135
De lijn k heeft vergelijking y=−2x.
De lijn l is de lijn door de punten O en M. Zie figuur 1.
figuur 1Bron: CvTE — Examenblad.nl
Vraag 1
Onderzoek op exacte wijze of k en l elkaar loodrecht snijden.
Splits de kwadraten af: x2−10x=(x−5)2−25 en y2−6y=(y−3)2−9. Dan is (x−5)2+(y−3)2=169, want 135+25+9=169. Dus het middelpunt is M(5,3).
De lijn l gaat door O(0,0) en M(5,3), dus de richtingscoëfficiënt van l is 53. De richtingscoëfficiënt van k is −2.
Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het product van hun richtingscoëfficiënten −1 is. Hier is dat product −2⋅53=−56.
Conclusie: het product is −56 en niet −1, dus k en l snijden elkaar niet loodrecht.
Centraal examenhavo B
Hyperbool
De functie f wordt gegeven door f(x)=x3+2. De grafiek van f is een hyperbool. Op deze hyperbool ligt het punt P(2,321). De lijn k raakt de hyperbool in P. Zie figuur 1.
figuur 1Bron: CvTE — Examenblad.nlEen vergelijking van k is y=−43x+5.
De lijn l met vergelijking y=−43x−1 raakt de hyperbool in het punt Q(−2,21). Lijn l snijdt de y-as in het punt A. Zie figuur 2.
In deze figuur is ook de horizontale asymptoot van de hyperbool gestippeld weergegeven. Lijn k snijdt deze asymptoot in het punt B.figuur 2Bron: CvTE — Examenblad.nlHet lijkt of de lijnstukken AB en PQ even lang zijn.
Vraag 6
Onderzoek op exacte wijze of AB en PQ even lang zijn.
Bereken eerst de lengte van PQ met de afstandsformule uit de stelling van Pythagoras: PQ=42+32=5, want P en Q verschillen 4 in x en 3 in y.
Punt A is het snijpunt van l met de y-as: vul x=0 in y=−43x−1 in, dat geeft A(0,−1).
De horizontale asymptoot van f(x)=x3+2 is de lijn y=2. Punt B ligt op k en op die lijn: −43x+5=2 geeft x=4, dus B(4,2).
Dan verschillen A en B ook 4 in x en 3 in y, dus AB=42+32=5.
Conclusie: AB en PQ zijn allebei exact 5, dus ze zijn even lang.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde B vwo
Bij wiskunde B vwo staan lijnen en cirkels in subdomein E2 Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde, met in de parate kennis ‘de begrippen richtingscoëfficiënt en loodlijn’ en de cirkelvergelijking in beide vormen. Daarnaast staat in specificatie 4: ‘de vergelijking of de parametervoorstelling van een cirkel opstellen’. Een cirkel met middelpunt (a,b) en straal r is ook te schrijven als x(t)=a+r⋅cos(t) en y(t)=b+r⋅sin(t). De snijpunten van twee cirkels vind je door hun vergelijkingen, beide in de vorm x2+y2+px+qy+c=0, van elkaar af te trekken: de kwadraten vallen weg en er blijft de vergelijking over van de lijn door de twee snijpunten. Die lijn snijd je daarna met een van de cirkels.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo B
Vraag 1.
Gegeven is de cirkel c:(x+1)2+(y−2)2=17 en het punt P(3,1) op c.
De lijn k raakt c in P. Stel een vergelijking op van k. Schrijf je antwoord in de vorm y=ax+b.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 2.
Gegeven zijn de cirkel c:(x−4)2+(y+1)2=40 en de lijn l:x+2y=−8.
De lijn l snijdt c in de punten A en B, met xA<xB. Bereken exact de coördinaten van A en B.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 3.
Gegeven zijn de lijn l:5x−12y=3 en het punt P(3,−6).
Bereken exact de afstand van P tot l.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 4.
Gegeven zijn de lijnen k:y=x+4 en l:4x+5y=−1.
Bereken de hoek tussen k en l. Geef je antwoord in gehele graden.
°
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo B
Vraag 5.
Gegeven zijn de punten A(−1,−8),B(9,−8) en C(14,7). De cirkel c gaat door A,B en C.
Een vergelijking van c is (x−a)2+(y−b)2=r2. Bereken a,b en r2.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
Het product van de richtingscoëfficiënten aanzien voor hun som. Loodrecht betekent product −1; bij een lijn met richtingscoëfficiënt a is de richtingscoëfficiënt van de loodlijn −a1, niet −a.
Bij kwadraat afsplitsen het getal in het kwadraat verkeerd aflezen. Uit (x+3)2 volgt x-coördinaat −3 van het middelpunt, niet 3. De straal is de wortel van het getal rechts, niet dat getal zelf.
Het raakpunt vergeten in te vullen. Heb je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dan heb je nog een punt nodig om b te vinden: het raakpunt, niet het middelpunt.
Na het invullen van een lijn in een cirkel alleen de x opgeven. Bereken bij elke oplossing ook de bijbehorende y met de vergelijking van de lijn, anders is het snijpunt niet bepaald.
Een exact antwoord afronden. Staat er ‘exact’, laat dan wortels en breuken staan en rond niet af. Staat er ‘algebraïsch’, dan mag je wel benaderen, maar gebruik je geen opties van de grafische rekenmachine zoals het snijpunt.
Onthoud
Cirkel: (x−a)2+(y−b)2=r2, middelpunt (a,b), straal r.
Loodrecht: het product van de richtingscoëfficiënten is −1.
Een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.
Snijpunt van lijn en cirkel: vul de lijn in de cirkelvergelijking in en los de kwadratische vergelijking op.
Hoek van een lijn met de x-as: tan(α) is de richtingscoëfficiënt.
Veelgestelde vragen
1.Hoe haal ik het middelpunt en de straal uit een cirkelvergelijking?+
Antwoord:Staat de vergelijking al als (x−a)2+(y−b)2=r2, dan lees je het middelpunt (a,b) en de straal r meteen af. Staat hij als x2+y2+px+qy+c=0, dan splits je eerst voor x en voor y een kwadraat af en breng je de constanten naar rechts. Het getal dat rechts overblijft is r2.
2.Hoe stel ik een raaklijn aan een cirkel op?+
Antwoord:Bepaal het middelpunt en het raakpunt, en de richtingscoëfficiënt van de straal die ze verbindt. De raaklijn staat loodrecht op die straal, dus hij heeft als richtingscoëfficiënt min het omgekeerde van die van de straal. Vul dan het raakpunt in y=ax+b in om b te vinden.
3.Hoe weet ik hoeveel snijpunten een lijn en een cirkel hebben?+
Antwoord:Vul de lijn in de cirkelvergelijking in en kijk naar de kwadratische vergelijking die ontstaat. Heeft die twee oplossingen, dan zijn er twee snijpunten; één oplossing betekent dat de lijn de cirkel raakt; geen oplossing betekent geen snijpunt. De discriminant vertelt het zonder de vergelijking op te lossen.
4.Hoe bereken ik de afstand van een punt tot een lijn?+
Antwoord:Stel de loodlijn op die door het punt loopt en loodrecht op de lijn staat. Bereken het snijpunt van die loodlijn met de lijn. De afstand tussen het punt en dat snijpunt is de afstand van het punt tot de lijn. Die bereken je met de stelling van Pythagoras.
5.Hoe bereken ik de hoek tussen twee lijnen?+
Antwoord:Bereken voor elke lijn de hoek met de x-as met tan−1 van de richtingscoëfficiënt. De hoek tussen de lijnen is het verschil tussen die twee hoeken. Is dat verschil groter dan 90∘, dan is de hoek tussen de lijnen 180∘ min dat verschil.
6.Wat betekent ‘op exacte wijze’ in een vraag?+
Antwoord:Bijlage 2 van de syllabus zegt bij ‘Exact / op exacte wijze’ (alleen wiskunde B): ‘Zonder gebruik te maken van specifieke opties van de grafische rekenmachine; tussenantwoorden en het eindantwoord mogen niet benaderd opgeschreven worden.’ Je laat dus wortels, breuken en π staan en schrijft je stappen op. Een afgerond decimaal getal telt dan niet als antwoord.