Met de afgeleide vind je de helling van een grafiek in een punt, stel je de vergelijking van een raaklijn op en bereken je toppen en extreme waarden. Dezelfde stappen gebruik je bij een optimaliseringsprobleem in een context. Deze pagina zet de werkwijze op een rij, met voorbeelden en een vraag uit het centraal examen, als voorbereiding op het eindexamen.
Centraal examen havo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; vwo wiskunde B: in alle 5 examens; vwo wiskunde A: in 3 van de 5.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde B havo
Subdomein D4 Toepassing afgeleide functiesDe kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren gericht op profiel specifieke contexten.
Subdomein D4 Toepassing afgeleide functies, specificatie 1de afgeleide gebruiken bij het opstellen van de vergelijking van de raaklijn in een punt van de grafiek van een functie;
Subdomein D4 Toepassing afgeleide functies, specificatie 2de afgeleide gebruiken bij het verifiëren en bij het bepalen van extremen van een functie;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein D3 AfgeleideDe kandidaat kan van eerstegraadsfuncties, tweedegraadsfuncties, machtsfuncties, exponentiële functies en logaritmische functies de afgeleide bepalen, de rekenregels voor het differentiëren gebruiken en aan de hand van de afgeleide het veranderingsgedrag van een functie beschrijven.
Subdomein D3 Afgeleide, specificatie 5de afgeleide gebruiken om extreme waarden van een functie te vinden of te controleren.
Subdomein D3 Afgeleide, specificatie 6een optimaliseringsprobleem in een probleemsituatie oplossen met behulp van differentiëren;
Gevraagd in 3 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein C1 Afgeleide functiesDe kandidaat kan de eerste en tweede afgeleide van een functie begripsmatig interpreteren en gebruiken om die functie te onderzoeken en de eerste en tweede afgeleide gebruiken in toepassingen.
Subdomein C1 Afgeleide functies, specificatie 1de afgeleide gebruiken bij het opstellen van de vergelijking van de raaklijn in een punt van de grafiek van een functie;
Subdomein C1 Afgeleide functies, specificatie 4de afgeleide gebruiken bij het verifiëren en bij het bepalen van extremen van een functie;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
De afgeleide f′(x) geeft de helling van de grafiek van f in het punt met x-coördinaat x. Die helling is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.
De raaklijn in het punt met x=p heeft de vorm y=ax+b met a=f′(p). Vul het punt (p,f(p)) in om b te berekenen: b=f(p)−a⋅p.
Een raaklijn met een gegeven helling m vind je door f′(x)=m op te lossen. Een horizontale raaklijn hoort bij m=0. Staat de raaklijn loodrecht op een lijn met richtingscoëfficiënt r, dan is m⋅r=−1.
Een top (extreme waarde) vind je uit f′(x)=0. Reken daarna y=f(x) uit en controleer met een schets of een tekenschema van f′ of het een maximum of een minimum is.
Bij optimaliseren schrijf je de grootheid die zo groot of zo klein mogelijk moet worden als functie van één variabele, bepaal je de afgeleide, los je f′(x)=0 op en geef je het antwoord in de context.
Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Het centraal examen wiskunde A vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Bepaal de afgeleide
Herschrijf de formule als dat nodig is, bijvoorbeeld x3 als 3x−1, en differentieer.
2.Zet de vraag om in een vergelijking
Helling in een punt: vul x in f′ in. Top: los f′(x)=0 op. Raaklijn met gegeven helling: los f′(x)=m op.
3.Los op zoals gevraagd
Bij wiskunde B betekent ‘exact’ of ‘algebraïsch’ dat je zonder specifieke opties van de grafische rekenmachine rekent; bij ‘exact’ laat je wortels en breuken staan. Anders mag je ook de grafische rekenmachine gebruiken en de vergelijking numeriek oplossen.
4.Reken de y-coördinaat uit
Een top of een raakpunt is een punt: vul de gevonden x in f in, niet in f′.
5.Stel de raaklijn op of beantwoord de vraag
Voor de raaklijn: y=ax+b met a=f′(p) en b uit het raakpunt. Controleer bij een top of het een maximum of minimum is en geef bij een context het antwoord met eenheid.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.De raaklijn in een punt
Gegeven is f(x)=x3−4x+1. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x=2.
De afgeleide is f′(x)=3x2−4, dus de richtingscoëfficiënt is f′(2)=8.
Het raakpunt heeft y-coördinaat f(2)=8−8+1=1. De raaklijn is y=8x+b met 1=8⋅2+b, dus b=−15.
Antwoord: y=8x−15.
2.Een raaklijn met een gegeven helling
Gegeven is f(x)=x2−6x+5. In welk punt van de grafiek van f heeft de raaklijn helling 4? Geef ook een vergelijking van die raaklijn.
Los f′(x)=4 op. Met f′(x)=2x−6 geeft dat 2x−6=4, dus x=5.
De y-coördinaat is f(5)=25−30+5=0, dus het raakpunt is (5,0).
De raaklijn is y=4x+b met 0=4⋅5+b, dus b=−20.
Antwoord: het raakpunt is (5,0) en de raaklijn is y=4x−20.
3.Toppen vinden
Gegeven is f(x)=31x3−2x2+3x. Bereken de coördinaten van de toppen van de grafiek van f en bepaal van elke top of het een maximum of een minimum is.
De afgeleide is f′(x)=x2−4x+3, en dat is (x−1)(x−3). Uit f′(x)=0 volgt x=1 of x=3.
Voor x<1 is f′(x)>0, tussen 1 en 3 is f′(x)<0 en voor x>3 is f′(x)>0. De grafiek stijgt dus, daalt, en stijgt weer.
De y-coördinaten zijn f(1)=31−2+3=131 en f(3)=9−18+9=0.
Antwoord: de grafiek heeft een maximum in (1,131) en een minimum in (3,0).
4.Een weiland met een maximale oppervlakte
Een rechthoekig weiland wordt aan drie kanten omheind met 60 m hekwerk. De vierde kant ligt langs een sloot en krijgt geen hek. De zijde loodrecht op de sloot is x m. Bereken voor welke x de oppervlakte van het weiland zo groot mogelijk is, en hoe groot die oppervlakte dan is.
De zijde langs de sloot is 60−2x m, dus de oppervlakte is A(x)=x(60−2x)=60x−2x2, met 0<x<30.
De afgeleide is A′(x)=60−4x. Uit A′(x)=0 volgt x=15. Voor x<15 is A′(x)>0 en voor x>15 is A′(x)<0, dus dit is een maximum.
De oppervlakte is dan A(15)=900−450=450.
Antwoord: de oppervlakte is maximaal 450m2, voor x=15 (en een zijde langs de sloot van 30 m).
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo B
Hyperbool
De functie f wordt gegeven door f(x)=x3+2. De grafiek van f is een hyperbool. Op deze hyperbool ligt het punt P(2,321). De lijn k raakt de hyperbool in P. Zie figuur 1.
figuur 1Bron: CvTE — Examenblad.nlEen vergelijking van k is y=−43x+5.
Schrijf f(x)=x3+2=3x−1+2. De afgeleide is f′(x)=−3x−2=−x23.
In P is x=2, dus f′(2)=−43. De raaklijn in P heeft richtingscoëfficiënt −43 en dus een vergelijking van de vorm y=−43x+b.
De raaklijn gaat door P(2,321). Invullen geeft 321=−43⋅2+b, dus 321=−121+b en b=5.
Conclusie: de raaklijn in P is y=−43x+5, en dat is precies de gegeven lijn k.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde A vwo
Bij wiskunde A vwo hoort het verband tussen de helling van een grafiek en de bijbehorende raaklijn bij de parate kennis (subdomein D2). Je berekent de helling in een punt, bepaalt extreme waarden met de afgeleide en lost optimaliseringsproblemen in een context op met differentiëren (subdomeinen D2 en D3). De rekenregels voor het differentiëren staan op het formuleblad van wiskunde A vwo.
In het centraal examen wordt met ICT de grafische rekenmachine bedoeld. De syllabus zegt: tenzij anders aangegeven, is de wijze waarop het antwoord gevonden wordt vrij. Een extreme waarde mag je dus ook numeriek met de grafische rekenmachine bepalen, als de vraag dat niet uitsluit.
Wiskunde B vwo
Bij wiskunde B vwo komt de tweede afgeleide erbij: je gebruikt f′′(x) voor toenemend of afnemend stijgen of dalen en om buigpunten te berekenen. In een buigpunt is f′′(x)=0 en verandert het teken van f′′. Neem f(x)=x3−3x2: dan is f′′(x)=6x−6, dus x=1 en het buigpunt is (1,−2).
Verder differentieer je bij wiskunde B vwo ook functies met e-machten en de natuurlijke logaritme, en bij ‘exact’ laat je e en ln in het antwoord staan. Neem f(x)=x2e−x. Met de productregel is f′(x)=x(2−x)e−x, dus x=0 of x=2. De toppen zijn (0,0) en (2,4e−2).
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo B
Vraag 1.
Gegeven is de functie f met f(x)=24x−x.
De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A met xA=16.
Stel een vergelijking op van k. Schrijf je antwoord in de vorm y=ax+b.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 2.
Gegeven is de functie f met f(x)=x3+9x2+28x+4 en de lijn l:y=4x−6.
In twee punten van de grafiek van f is de raaklijn evenwijdig aan l. Bereken exact de x-coördinaten van deze twee punten.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 3.
Van een rechthoekig stuk karton van 47 cm bij 32 cm wordt een open doosje gevouwen. In elke hoek wordt een vierkantje met zijde x cm weggeknipt en daarna worden de randen omhoog gevouwen.
Voor de inhoud V van het doosje in cm³ geldt V=x(47−2x)(32−2x).
Bereken de grootst mogelijke inhoud van het doosje. Geef je antwoord als geheel getal.
cm³
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo A
Vraag 4.
Op een zomerdag verandert het aantal mensen in een openluchtzwembad tussen de opening en de sluiting. Er geldt Z=−t3+9t2+37t+74, met 0≤t≤12. Hierin is Z het aantal mensen in het zwembad en t de tijd in uren na de opening.
Bereken met behulp van de afgeleide op welk moment Z maximaal is en hoe groot Z dan is. Geef t in één decimaal en de maximale waarde als geheel getal.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo B
Vraag 5.
Gegeven is de functie f met f(x)=x3−6x2−4x−7.
De grafiek van f heeft één buigpunt. Bereken exact de coördinaten van dit buigpunt.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
De helling uitrekenen met f(p) in plaats van met f′(p). De functiewaarde is de hoogte van het raakpunt, de afgeleide is de helling.
Na f′(x)=0 stoppen. De oplossing is alleen de x-coördinaat van de top; de y-coördinaat reken je uit met f.
Niet controleren of het een maximum of een minimum is. Bij een vraag naar de grootste waarde kan het gevonden punt een minimum zijn, of een rand van het domein is het antwoord.
De raaklijn opschrijven zonder b te berekenen. De vergelijking y=f′(p)⋅x gaat alleen door de oorsprong.
Bij een optimaliseringsprobleem het antwoord zonder eenheid of zonder context geven. Zeg wat x en wat het maximum of minimum betekent.
Onthoud
Helling in x=p:f′(p); die is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
Raaklijn: y=f′(p)⋅(x−p)+f(p).
Top of extreme waarde: f′(x)=0, daarna y=f(x).
Raaklijn met helling m: los f′(x)=m op.
Veelgestelde vragen
1.Hoe stel ik de vergelijking van een raaklijn op?+
Antwoord:Bepaal de afgeleide f′(x) en bereken a=f′(p) voor het raakpunt met x=p. Bereken ook de hoogte f(p) van het raakpunt. De raaklijn is dan y=ax+b, en b volgt uit f(p)=a⋅p+b. Controleer ten slotte of het raakpunt op de lijn ligt.
2.Hoe weet ik of een top een maximum of een minimum is?+
Antwoord:Kijk naar het teken van de afgeleide aan weerszijden van de top. Gaat f′ van positief naar negatief, dan is het een maximum; van negatief naar positief een minimum. Een schets van de grafiek of een tekenschema helpt. Je kunt ook de grafiek op de grafische rekenmachine bekijken, als de vraag niet om een exacte of algebraïsche aanpak vraagt.
3.Hoe vind ik een raaklijn met een gegeven helling?+
Antwoord:Los de vergelijking f′(x)=m op, met m de gegeven helling. Elke oplossing is de x-coördinaat van een raakpunt. Daarna reken je de y-coördinaat uit met f en stel je de raaklijn op. Soms zijn er twee raakpunten, soms geen.
4.Hoe weet ik dat twee lijnen loodrecht op elkaar staan?+
Antwoord:Het product van de richtingscoëfficiënten is −1. Staat een raaklijn loodrecht op een lijn met richtingscoëfficiënt r, dan los je f′(x)=−r1 op. Een horizontale en een verticale lijn zijn een uitzondering, want een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt.
5.Mag ik de grafische rekenmachine gebruiken om een top te vinden?+
Antwoord:De syllabus zegt: tenzij anders aangegeven, is de wijze waarop het antwoord gevonden wordt vrij. Staat er ‘exact’ of ‘algebraïsch’ in de vraag (alleen wiskunde B), dan gebruik je geen specifieke opties van de grafische rekenmachine. Beschrijf bij een numerieke oplossing altijd welke vergelijking of grafiek je gebruikt.
6.Hoe pak ik een optimaliseringsprobleem aan?+
Antwoord:Kies een variabele, bijvoorbeeld de lengte van een zijde, en schrijf de grootheid die optimaal moet worden als formule in die ene variabele. Bepaal de afgeleide en los f′(x)=0 op. Controleer of het een maximum of minimum is, let op het domein van de variabele en geef het antwoord met de eenheid.