Differentiëren: de afgeleide met de rekenregels, de kettingregel, de productregel en de quotiëntregel
Differentiëren is het bepalen van de afgeleide van een functie. Je gebruikt daarvoor de afgeleiden van de standaardfuncties en een handvol rekenregels: de somregel, de verschilregel en de kettingregel, en bij vwo ook de productregel en de quotiëntregel. Deze pagina zet ze op een rij, met voorbeelden en een vraag uit het centraal examen, als voorbereiding op het eindexamen.
Centraal examen vwo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; havo wiskunde B: in alle 5 examens; vwo wiskunde A: in alle 5 examens.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde B vwo
Subdomein C2 Technieken voor differentiërenDe kandidaat kan de eerste en tweede afgeleide van functies bepalen met behulp van de regels voor het differentiëren en daarbij algebraïsche technieken gebruiken.
Subdomein C2 Technieken voor differentiëren, specificatie 3voor het bepalen van de afgeleide de som-, verschil-, product-, quotiënt- en kettingregel gebruiken;
Subdomein C2 Technieken voor differentiëren, specificatie 2bij het bepalen van de afgeleide van exponentiële en logaritmische functies het getal e en de natuurlijke logaritme gebruiken;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein D3 Bepaling afgeleide functiesDe kandidaat kan de afgeleide functie van machtsfuncties met rationale exponenten bepalen en kan voor het bepalen van de afgeleide functie gebruik maken van de som-, verschil- en kettingregel.
Subdomein D3 Bepaling afgeleide functies, specificatie 3de kettingregel gebruiken bij het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie, waarvan de eerste functie lineair is en de tweede functie een machtsfunctie met rationale exponent;
Subdomein D3 Bepaling afgeleide functies, specificatie 5een combinatie van somregel, verschilregel en kettingregel gebruiken bij het bepalen van de afgeleide.
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein D3 AfgeleideDe kandidaat kan van eerstegraadsfuncties, tweedegraadsfuncties, machtsfuncties, exponentiële functies en logaritmische functies de afgeleide bepalen, de rekenregels voor het differentiëren gebruiken en aan de hand van de afgeleide het veranderingsgedrag van een functie beschrijven.
Subdomein D3 Afgeleide, specificatie 2gebruik maken van de somregel, de verschilregel, de productregel en de quotiëntregel;
Subdomein D3 Afgeleide, specificatie 3gebruik maken van de kettingregel voor het differentiëren van functies van de vorm g(f(x)), waarbij f en g standaardfuncties zijn;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
De afgeleide van f schrijf je als f′(x) of als dxdy. Het bepalen van de afgeleide heet differentiëren. Bij wiskunde B vwo komt de tweede afgeleidef′′(x) erbij: de afgeleide van de afgeleide.
Een machtsfunctie f(x)=a⋅xn heeft de afgeleide f′(x)=a⋅n⋅xn−1, voor elke rationale n. Herschrijf daarom eerst: x21=x−2 en x=x21.
De somregel en de verschilregel differentiëren term voor term. Een constante factor blijft staan, een constante term valt weg.
Bij wiskunde A en B vwo komen de afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies erbij: ex wordt ex,gx wordt gx⋅ln(g),ln(x) wordt x1 en glog(x) wordt x⋅ln(g)1. Bij wiskunde B vwo hoort ook sin(x) dat cos(x) wordt, en cos(x) dat −sin(x) wordt.
Bij vwo gebruik je ook de productregel en de quotiëntregel. De afgeleide van f(x)⋅g(x) is f′(x)⋅g(x) plus f(x)⋅g′(x). De afgeleide van q(x)=g(x)f(x) is q′(x)=(g(x))2f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x).
De kettingregel: k(x)=f(g(x)) geeft k′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Je differentieert de buitenste functie, vult de binnenste in en vermenigvuldigt met de afgeleide van de binnenste. Een bijzonder geval: de afgeleide van f(cx+d) is c⋅f′(cx+d).
Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Het centraal examen wiskunde A vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Herschrijf de formule
Zet wortels en breuken om in machten, bijvoorbeeld x6 als 6x−1. Werk haakjes alleen weg als dat de rekenregel eenvoudiger maakt.
2.Kies de regel
Een som of verschil: term voor term. Een functie in een functie, zoals 4x+1: de kettingregel. Bij vwo komen daar het product van twee functies met x (productregel) en het quotiënt (quotiëntregel) bij.
3.Noteer wat f en g zijn
Schrijf bij een keten, en bij vwo ook bij een product of quotiënt, op wat f(x) en g(x) zijn en bepaal hun afgeleiden apart, voordat je de regel invult.
4.Vul de regel in en vereenvoudig
Haal een gemeenschappelijke factor buiten haakjes, zeker als je daarna f′(x)=0 wilt oplossen. Rond tussenstappen niet af.
5.Controleer
Vul een waarde in, of laat de grafische rekenmachine de numerieke afgeleide in een punt bepalen en vergelijk die met je formule.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Machten, wortels en breuken
Bepaal de afgeleide van f(x)=4x3−x6+5x.
Herschrijf: f(x)=4x3−6x−1+5x21.
Differentieer term voor term: f′(x)=12x2+6x−2+25x−21.
Antwoord: f′(x)=12x2+x26+2x5.
2.De kettingregel
Bepaal de afgeleide van f(x)=4x+1 en bereken f′(6).
Schrijf f(x)=(4x+1)21. De buitenste functie is een macht, de binnenste is 4x+1 met afgeleide 4.
Dus f′(x)=21(4x+1)−21⋅4=4x+12.
Voor x=6 staat onder het wortelteken 4⋅6+1=25, dus f′(6)=52.
Antwoord: f′(x)=4x+12 en f′(6)=52.
3.De productregel met een e-macht (vwo)
Een vwo-opgave: bepaal de afgeleide van f(x)=(x2+1)e3x en schrijf het antwoord als een product.
Gebruik de productregel (vwo) met u(x)=x2+1 en v(x)=e3x. Dan is u′(x)=2x en, met de kettingregel, v′(x)=3e3x.
Invullen in de productregel (vwo) geeft f′(x)=2x⋅e3x+(x2+1)⋅3e3x. Haal e3x buiten haakjes.
Antwoord (vwo): f′(x)=(3x2+2x+3)e3x.
4.De quotiëntregel en horizontale raaklijnen (vwo)
Gegeven is f(x)=x2+12x. Bepaal f′(x) en bereken exact de x-coördinaten van de punten waar de grafiek van f een horizontale raaklijn heeft.
Neem u(x)=2x en v(x)=x2+1, met u′(x)=2 en v′(x)=2x.
De quotiëntregel (vwo) geeft f′(x)=(x2+1)22(x2+1)−2x⋅2x, en dat is (x2+1)22−2x2.
Een horizontale raaklijn hoort bij f′(x)=0. De noemer is nooit nul, dus 2−2x2=0 en x2=1.
Antwoord: f′(x)=(x2+1)22−2x2; de grafiek heeft een horizontale raaklijn voor x=−1 en x=1.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenvwo B
Stuiterbal
In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd model van de situatie waarin iemand een stuiterbal recht omlaag laat vallen.
Deze bal zal dan een aantal keer stuiteren. Het moment waarop de bal de grond raakt noemen we stuit. Na elke stuit komt de stuiterbal minder hoog dan na de voorgaande stuit.
De hoogte van de stuiterbal tussen twee opeenvolgende keren stuiten wordt steeds beschreven door een kwadratische functie van de tijd t. Vanaf het loslaten tot aan de eerste stuit heet de functie h0, tussen de eerste en de tweede stuit heet de functie h1, vervolgens h2 enzovoorts. De grafieken van deze functies zijn delen van parabolen.
In deze opgave bekijken we een stuiterbal die wordt losgelaten vanaf een hoogte van 1 meter op tijdstip t=0. De eerste stuit is na 0,45 seconden. Zie figuur 1.
figuur 1Bron: CvTE — Examenblad.nlEr geldt (bij benadering) h0(t)=−4,9t2+1, met t in seconden en h0 de hoogte in meters.
Vraag 8
Bereken algebraïsch de snelheid in m/s waarmee de stuiterbal voor het eerst de grond raakt. Geef je eindantwoord in één decimaal.
De snelheid van de bal is de afgeleide van de hoogte naar de tijd. Voor de val tot de eerste stuit is h0(t)=−4,9t2+1.
Differentieer: h0′(t)=−4,9⋅2t=−9,8t.
De bal raakt de grond voor het eerst op t=0,45. Invullen geeft h0′(0,45)=−9,8⋅0,45, dus h0′(0,45)=−4,41. Het minteken betekent dat de bal omlaag beweegt.
Antwoord: de bal raakt de grond met een snelheid van ongeveer 4,4 m/s.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde B havo
Bij wiskunde B havo bepaal je de afgeleide van machtsfuncties met rationale exponenten, met de somregel en de verschilregel. De kettingregel gebruik je bij een samengestelde functie waarvan de eerste functie lineair is en de tweede een machtsfunctie met rationale exponent. Neem f(x)=(2x−3)5: dan is f′(x)=5⋅2⋅(2x−3)4, dus f′(x)=10(2x−3)4.
De syllabus noemt de productregel en de quotiëntregel bij havo B niet, en ook de afgeleide van e-machten en de natuurlijke logaritme staat er niet in. Er staat geen formuleblad in het examen; de regels hierboven moet je dus zelf kennen.
Wiskunde A vwo
Bij wiskunde A vwo bepaal je de afgeleide van eerstegraadsfuncties, tweedegraadsfuncties, machtsfuncties, exponentiële functies en logaritmische functies. De rekenregels (somregel, verschilregel, productregel, quotiëntregel en kettingregel) staan op het formuleblad van het examen; de afgeleiden van de standaardfuncties staan er niet op.
De afgeleide van de sinusfunctie hoort er niet bij: de syllabus zegt ‘met uitzondering van’ sin(x). Een voorbeeld van de kettingregel: bij f(x)=e0,5x2 is f′(x)=e0,5x2⋅x=xe0,5x2.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
vwo B
Vraag 1.
Gegeven is de functie f met f(x)=−2x5+x7−7.
Geef een formule voor de afgeleide f′ van f.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo B
Vraag 2.
Gegeven is de functie f met f(x)=ln(2x2+4).
Geef een formule voor de afgeleide f′ van f.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo B
Vraag 3.
Gegeven is de functie f met f(x)=−x3ln(x).
Bereken exact f′′(1).
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 4.
Gegeven is de functie f met f(x)=−4(−2x−3)5.
Bereken exact f′(−1).
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo A
Vraag 5.
Gegeven is de functie f met f(x)=26⋅2log(x).
Geef een formule voor de afgeleide f′(x). Laat ln(2) in je antwoord staan; rond niet af.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
De wortel of de breuk niet herschrijven. Op x31 pas je de machtsregel pas toe als je er x−3 van maakt.
Bij de kettingregel de afgeleide van de binnenste functie vergeten. De afgeleide van (3x+1)4 is 12(3x+1)3 en niet 4(3x+1)3.
Bij vwo de productregel invullen als f′(x)⋅g′(x). De afgeleide van een product is niet het product van de afgeleiden.
Bij vwo de teller van de quotiëntregel omdraaien. Het is f′⋅g−f⋅g′, niet andersom; de volgorde bepaalt het teken.
Bij vwo de afgeleide van gx bepalen als x⋅gx−1. Bij een variabele exponent hoort gx⋅ln(g).
Onthoud
Macht: (xn)′=n⋅xn−1, ook voor breuken en wortels.
Productregel (vwo): de afgeleide van het eerste maal het tweede, plus het eerste maal de afgeleide van het tweede.
Quotiëntregel (vwo): noemer maal afgeleide van de teller, min teller maal afgeleide van de noemer, gedeeld door de noemer in het kwadraat.
Keten: afgeleide van de buitenste functie, met de binnenste ingevuld, maal de afgeleide van de binnenste.
Veelgestelde vragen
1.Welke rekenregels moet ik kennen voor het differentiëren?+
Antwoord:Bij wiskunde B vwo gebruik je de somregel, verschilregel, productregel, quotiëntregel en kettingregel, samen met de afgeleiden van de standaardfuncties. Bij wiskunde A vwo staan de regels op het formuleblad van het examen. Bij wiskunde B havo gaat het om machtsfuncties, de som- en verschilregel en de kettingregel met een lineaire binnenste functie.
2.Wanneer gebruik ik de kettingregel?+
Antwoord:Gebruik de kettingregel als er een functie in een andere functie staat, zoals 4x+1,(2x−3)5,e3x of ln(x2+3). Bepaal de afgeleide van de buitenste functie, vul de binnenste functie in en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenste functie. De voorbeelden met een e-macht en met ln horen bij vwo; de regel zelf geldt ook bij havo B met een lineaire binnenste functie.
3.Hoe differentieer ik een breuk met alleen x in de noemer?+
Antwoord:Herschrijf de breuk als macht met een negatieve exponent: x6 wordt 6x−1 en x35 wordt 5x−3. Pas dan de machtsregel toe en schrijf het antwoord daarna eventueel weer als breuk. Ook bij vwo heb je de quotiëntregel daarvoor niet nodig.
4.Wat is de afgeleide van gx en van een logaritme?+
Antwoord:Bij wiskunde A en B vwo geldt: voor een exponentiële functie met grondtal g is de afgeleide van gx gelijk aan gx⋅ln(g); bij grondtal e is ln(e)=1. Voor een logaritme geldt: de afgeleide van glog(x) is x⋅ln(g)1. Bij wiskunde B vwo laat je bij een vraag naar een exacte waarde ln(g) staan.
5.Hoe controleer ik of mijn afgeleide klopt?+
Antwoord:Kies een waarde van x, bereken met je formule de afgeleide en vergelijk die met de numerieke afgeleide die de grafische rekenmachine in dat punt geeft. Zijn de twee gelijk, dan is je formule waarschijnlijk juist. Controleer ook of de formule voor een eenvoudige x een logisch teken geeft: een dalende grafiek heeft een negatieve afgeleide.
6.Wat is de tweede afgeleide bij wiskunde B vwo?+
Antwoord:In het vwo B-examen is de tweede afgeleide f′′(x) de afgeleide van f′(x). Je gebruikt hem om te bepalen of een grafiek toenemend of afnemend stijgt of daalt, en om buigpunten te berekenen. Je differentieert de formule van f′ nog een keer, met dezelfde regels.