Centraal examen 2027 · Wiskunde B vwo

Goniometrie: de eenheidscirkel, exacte waarden en goniometrische vergelijkingen oplossen

Bij goniometrie reken je met de sinus, de cosinus en de tangens van een hoek. Je kent een paar exacte waarden, gebruikt de symmetrie en de periode van de grafieken en lost vergelijkingen op een interval op. Voor het centraal examen zet deze pagina op een rij welke waarden je moet kennen, hoe je alle oplossingen van een vergelijking vindt en wat ‘exact’ van je vraagt. De eenheidscirkel helpt je daarbij.

Centraal examen vwo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; havo wiskunde B: in 2 van de 5.

Per examen

uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
  • Wiskunde B vwo

    • Domein D Goniometrische functies, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: het sinusmodel in de vormen f(x) = d + a sin(b(x − c)) en f(x) = d + a cos(b(x − c)) met als grafiek een sinusoïde; de exacte waarden van sin(x), cos(x) en tan(x) waarbij x een veelvoud van ⅙π of ¼π is;
    • Domein D Goniometrische functies, specificatie 6vergelijkingen oplossen van de vorm sin(x) = c, cos(x) = c, tan(x) = c en hierbij periodiciteit en symmetrie gebruiken.
    • Domein D Goniometrische functies, specificatie 12de som- en verschilformules en de verdubbelingsformules gebruiken bij het herleiden van formules en het oplossen van vergelijkingen;

    Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.

    2026: vraag 13, 14, 15; 2025: vraag 3, 4, 12; 2024: vraag 9, 10, 17; 2023: vraag 11, 12; 2022: vraag 8, 12

    Formuleblad: ja · Grafische rekenmachine: ja

    Alle onderwerpen van dit examenHet formulebladHet examen van 2026 gratis maken

  • Wiskunde B havo

    • Subdomein B4 Periodieke functies, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de exacte waarden van sin(x) en cos(x) waarbij x een veelvoud van ⅙π of ¼π is.
    • Subdomein B4 Periodieke functies, specificatie 1graden omrekenen in radialen en omgekeerd;
    • Subdomein B4 Periodieke functies, specificatie 3vergelijkingen van het type f(x) = c oplossen in een gegeven interval met f een functie als in B4.2. genoemd en daarbij gebruik maken van periodiciteit en symmetrie;

    Gevraagd in 2 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.

    2023: vraag 17; 2022: vraag 14

    Formuleblad: nee · Grafische rekenmachine: ja

    Alle onderwerpen van dit examenHet formulebladHet examen van 2026 gratis maken

Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.

Het belangrijkste

wat je moet weten
  • De eenheidscirkel is de cirkel met straal 1 om de oorsprong. Bij een hoek xx (in radialen, gemeten vanaf de positieve xx-as) ligt op de cirkel het punt (cos⁡(x),sin⁡(x))(\cos(x), \sin(x)), en tan⁡(x)=\tan(x) ={}sin⁡(x)cos⁡(x) \frac{\sin(x)}{\cos(x)}. De syllabus noemt de eenheidscirkel niet, maar je kunt er de waarden en de symmetrie aan aflezen.
  • Bij havo B en vwo B is de parate kennis de exacte waarden van sinus en cosinus bij veelvouden van 16π\frac{1}{6}\pi of 14π\frac{1}{4}\pi. Voor x=16πx = \frac{1}{6}\pi (30 graden) is sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} en cos⁡(x)=\cos(x) ={}123 \frac{1}{2}\sqrt{3}; voor x=14πx = \frac{1}{4}\pi (45 graden) zijn beide 122\frac{1}{2}\sqrt{2}; voor x=13πx = \frac{1}{3}\pi (60 graden) is sin⁡(x)=\sin(x) ={}123 \frac{1}{2}\sqrt{3} en cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2}. Verder is sin⁡(0)=0\sin(0) = 0, cos⁡(0)=1\cos(0) = 1, sin⁡(12π)=\sin(\frac{1}{2}\pi) ={}1 1 en cos⁡(12π)=\cos(\frac{1}{2}\pi) ={}0 0.
  • Bij vwo B komt de tangens erbij: tan⁡(16π)=\tan(\frac{1}{6}\pi) ={}133 \frac{1}{3}\sqrt{3}, tan⁡(14π)=\tan(\frac{1}{4}\pi) ={}1 1 en tan⁡(13π)=\tan(\frac{1}{3}\pi) ={}3 \sqrt{3}. Ook de formules voor de symmetrie van de grafieken horen bij vwo B tot de parate kennis, bijvoorbeeld sin⁡(π−x)=\sin(\pi - x) ={}sin⁡(x) \sin(x), cos⁡(−x)=\cos(-x) ={}cos⁡(x) \cos(x) en sin⁡(x+12π)=\sin(x + \frac{1}{2}\pi) ={}cos⁡(x) \cos(x).
  • De sinus en de cosinus hebben periode 2π2\pi, de tangens periode π\pi. Bij havo B en vwo B gebruik je periodiciteit en symmetrie om alle oplossingen op een interval te vinden. Voor sin⁡(x)=sin⁡(u)\sin(x) = \sin(u) zijn de oplossingen x=u+k⋅2πx = u + k \cdot 2\pi en x=x ={}π−u+k⋅2π \pi - u + k \cdot 2\pi; voor cos⁡(x)=cos⁡(u)\cos(x) = \cos(u) zijn ze x=u+k⋅2πx = u + k \cdot 2\pi en x=−u+k⋅2πx = -u + k \cdot 2\pi; voor tan⁡(x)=tan⁡(u)\tan(x) = \tan(u) is het x=u+k⋅πx = u + k \cdot \pi. Hierbij is kk een geheel getal.
  • Een vergelijking als sin⁡(x)=c\sin(x) = c of cos⁡(x)=c\cos(x) = c heeft alleen oplossingen als cc tussen −1-1 en 11 ligt. Bij ‘exact’ mag je geen specifieke opties van de grafische rekenmachine gebruiken en mag het eindantwoord niet benaderd worden: je schrijft 56π\frac{5}{6}\pi of 122\frac{1}{2}\sqrt{2}, geen afgeronde decimalen. Het examenwerkwoord ‘exact’ staat in de syllabus van wiskunde B.
  • Bij vwo B horen de som- en verdubbelingsformules en de formules sin⁡2(x)+\sin^2(x) +{}cos⁡2(x)= \cos^2(x) ={}1 1 en tan⁡(x)=\tan(x) ={}sin⁡(x)cos⁡(x) \frac{\sin(x)}{\cos(x)} bij het herleiden van formules en het oplossen van vergelijkingen. De som- en verdubbelingsformules staan op het formuleblad van vwo B, de andere twee niet.

Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.

Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.

Zo pak je het aan

stap voor stap
  1. 1.Herleid tot een basisvergelijking

    Breng de vergelijking terug tot de vorm sin⁡(…)=c\sin(\ldots) = c, cos⁡(…)=c\cos(\ldots) = c of tan⁡(…)=c\tan(\ldots) = c. Controleer bij sinus en cosinus eerst of cc tussen −1-1 en 11 ligt; zo niet, dan zijn er geen oplossingen.
  2. 2.Zoek de hoek uu bij de exacte waarde

    Gebruik de eenheidscirkel of de exacte waarden om een hoek uu te vinden met sin⁡(u)=c\sin(u) = c of cos⁡(u)=c\cos(u) = c. Staat de waarde niet bij de parate kennis, dan geeft de grafische rekenmachine een benadering; bij ‘exact’ moet je een waarde uit de parate kennis krijgen.
  3. 3.Schrijf alle oplossingen op

    Gebruik de symmetrie voor de tweede oplossing in een periode en tel daarna kk keer de periode op. Schrijf de oplossingen voor het hele argument, bijvoorbeeld voor 2x2x of voor x−14πx - \frac{1}{4}\pi.
  4. 4.Los op naar xx

    Deel door de factor voor xx en trek de verschuiving af. Let op: delen door 22 maakt ook de periode twee keer zo klein.
  5. 5.Kies de oplossingen op het interval

    Probeer gehele getallen kk tot de oplossingen buiten het interval vallen, en schrijf de oplossingen op in volgorde. Controleer een oplossing door in te vullen.

Voorbeelden

Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
  1. 1.Een cosinus gelijkstellen aan een exacte waarde

    Los exact op: 2cos⁡(x)=12\cos(x) = 1 op het interval [0,2π][0, 2\pi].
  2. 2.Een vergelijking met 2x2x binnen de sinus

    Los exact op: sin⁡(2x)=\sin(2x) ={}122 \frac{1}{2}\sqrt{2} op het interval [0,π][0, \pi].
  3. 3.Een exacte waarde met symmetrie

    Bereken exact cos⁡(34π)\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) en sin⁡(−13π)\sin\left(-\frac{1}{3}\pi\right).
  4. 4.Een verdubbelingsformule gebruiken (vwo B)

    Bij vwo B los je dit op met een verdubbelingsformule. Los exact op: sin⁡(2x)=\sin(2x) ={}sin⁡(x) \sin(x) op het interval [0,2π][0, 2\pi].

Een vraag uit het centraal examen

een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenvwo B

Gebroken gonio

De functie ff wordt gegeven door: f(x)=f(x) ={}1+2sin⁡(x)1+cos⁡(x) \dfrac{1 + 2\sin(x)}{1 + \cos(x)} voor 0≤x<π0 \le x < \pi en π<x<3π\pi < x < 3\pi De lijn met vergelijking y=1y = 1 snijdt de grafiek van ff in de punten AA, BB en CC, met xA<xB<xCx_A < x_B < x_C. Zie de figuur. Hierin zijn de twee verticale asymptoten gestippeld weergegeven. figuur
Bron: CvTE — Examenblad.nl

Vraag 13

Toon op algebraïsche wijze aan dat AB=BCAB = BC.

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo wiskunde B 2026, tijdvak 1, vraag 13 — Examenblad.nl · Het examen op Examenblad.nl · Maak het hele examen gratis

Per examen: wat verschilt

vmbo, havo, vwo

Wiskunde B havo

Bij wiskunde B havo staat dit in subdomein B4 Periodieke functies. Als parate kennis noemt de syllabus de exacte waarden van sinus en cosinus bij veelvouden van 16π\frac{1}{6}\pi of 14π\frac{1}{4}\pi; de exacte waarden van de tangens noemt de syllabus daar niet. Je rekent graden om in radialen en omgekeerd (B4.1).
Vergelijkingen van het type f(x)=cf(x) = c los je op in een gegeven interval, met periodiciteit en symmetrie (B4.3). De som- en verdubbelingsformules uit het vierde voorbeeld noemt de syllabus van wiskunde B havo niet.

Test jezelf

meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
vwo B

Vraag 1.

Los exact op: 2sin⁡(x)−1=−32\sin(x) - 1 = -3 op het interval [0,2π][0, 2\pi]. Deze vergelijking heeft daar één oplossing. Typ π als pi.

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 2.

Gegeven is de functie f(x)=f(x) ={}5+ 5 +{}4cos⁡(2x+16π) 4\cos(2x + \frac{1}{6}\pi). Bereken exact f(56π)f(\frac{5}{6}\pi). Typ een wortel als sqrt(…) of met √.

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 3.

Los exact op: cos⁡(2x)+sin⁡(x)=\cos(2x) + \sin(x) ={}0 0 op het interval [0,2π][0, 2\pi]. Je mag gebruiken: cos⁡(2t)=\cos(2t) ={}1−2sin⁡2(t) 1 - 2\sin^2(t). Deze vergelijking heeft daar 3 oplossingen. Geef ze van klein naar groot. Typ π als pi.

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 4.

Een hoek α\alpha is 343∘343^\circ. Bereken hoeveel radialen α\alpha is. Geef je antwoord in twee decimalen.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

havo B

Vraag 5.

Los exact op: 2sin⁡(2x)+1=02\sin(2x) + 1 = 0 op het interval [0,π][0, \pi]. Deze vergelijking heeft daar 2 oplossingen. Geef ze van klein naar groot. Typ π als pi.

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

Meer opgaven: maak gratis een heel centraal examen

Veelgemaakte fouten

waar punten verloren gaan
  • Maar één oplossing per periode geven. Bij sin⁡(x)=c\sin(x) = c horen twee hoeken, uu en π−u\pi - u; bij cos⁡(x)=c\cos(x) = c zijn het uu en −u-u. Schrijf ze allebei op voordat je het interval bekijkt.
  • Bij sin⁡(2x)=c\sin(2x) = c de oplossingen voor 2x2x niet door 22 delen, of vergeten dat de periode van xx dan maar π\pi is. Zoek eerst alle 2x2x en deel daarna.
  • Aan beide kanten delen door sin⁡(x)\sin(x) of cos⁡(x)\cos(x). Dan verdwijnen oplossingen; haal alles naar één kant en ontbind in factoren.
  • De grafische rekenmachine op graden laten staan terwijl het interval in radialen is gegeven, of een exacte vraag met een afgerond antwoord beantwoorden.
  • Een oplossing opschrijven zonder te controleren of hij in het interval ligt. Probeer k=−1,0,1,2k = -1, 0, 1, 2 en laat de waarden buiten het interval weg.

Onthoud

  • Sinus: x=ux = u of x=π−ux = \pi - u; cosinus: x=ux = u of x=−ux = -u; tangens: x=ux = u. Tel erbij op: een veelvoud van de periode.
  • Parate kennis bij havo B en vwo B: exacte waarden van sinus en cosinus bij veelvouden van 16π\frac{1}{6}\pi en 14π\frac{1}{4}\pi.
  • sin⁡2(x)+\sin^2(x) +{}cos⁡2(x)= \cos^2(x) ={}1 1 en tan⁡(x)=\tan(x) ={}sin⁡(x)cos⁡(x) \frac{\sin(x)}{\cos(x)}: vwo B.
  • Exact: geen benaderingen en geen specifieke opties van de grafische rekenmachine.

Veelgestelde vragen

  1. 1.Moet ik de eenheidscirkel kennen voor het examen?+
    Antwoord:De syllabus noemt de eenheidscirkel niet. Wel moet je de exacte waarden van sinus en cosinus bij veelvouden van 16π\frac{1}{6}\pi en 14π\frac{1}{4}\pi kennen. De eenheidscirkel is het gemakkelijkste hulpmiddel om die waarden en hun tekens uit je hoofd te halen, en om de symmetrie te zien: bij een hoek in het tweede kwadrant is de sinus positief en de cosinus negatief.
  2. 2.Welke exacte waarden van de sinus en de cosinus moet ik uit mijn hoofd kennen?+
    Antwoord:Bij havo B en vwo B de sinus en de cosinus bij veelvouden van 16π\frac{1}{6}\pi en 14π\frac{1}{4}\pi. Bij vwo B hoort ook de tangens erbij. Je hoeft niet tientallen waarden te leren: leer de waarden tussen 00 en 12π\frac{1}{2}\pi en leid de rest af met symmetrie. De waarden zijn 00, 12\frac{1}{2}, 122\frac{1}{2}\sqrt{2}, 123\frac{1}{2}\sqrt{3} en 11.
  3. 3.Hoe vind ik alle oplossingen op een interval?+
    Antwoord:Schrijf eerst alle oplossingen op met een geheel getal kk, voor sinus en cosinus met twee reeksen en voor de tangens met één. Vul dan k=k ={}…,−1,0,1,2,… \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots in en houd de waarden over die binnen het interval liggen. Een interval als [0,2π][0, 2\pi] bevat de randen; controleer dus ook x=0x = 0 en x=2πx = 2\pi.
  4. 4.Wat betekent ‘exact’ in een examenvraag?+
    Antwoord:Bij wiskunde B legt de toevoeging ‘exact’ beperkingen op aan de wijze van beantwoorden: zonder gebruik te maken van specifieke opties van de grafische rekenmachine, en tussenantwoorden en eindantwoord mogen niet benaderd opgeschreven worden. Je antwoord is dus een breuk met π\pi of een wortel. Het examenwerkwoord ‘algebraïsch’ vraagt ook geen specifieke opties van de rekenmachine, maar laat benaderingen wel toe.
  5. 5.Mag ik de grafische rekenmachine gebruiken bij een goniometrische vergelijking?+
    Antwoord:Als de vraag niet ‘exact’ of ‘algebraïsch’ vraagt, is de wijze waarop je het antwoord vindt vrij, en kun je de snijpunten van twee grafieken laten bepalen. Zet de rekenmachine dan wel op radialen als het interval in veelvouden van π\pi is gegeven, en lees alle snijpunten op het interval af, niet alleen het eerste.
  6. 6.Hoe reken ik graden om in radialen?+
    Antwoord:Een halve draai is 180 graden of π\pi radialen. Je vermenigvuldigt dus het aantal graden met π180\frac{\pi}{180}, en een aantal radialen met 180π\frac{180}{\pi} om graden te krijgen. Zo is 90 graden gelijk aan 12π\frac{1}{2}\pi radialen en 13π\frac{1}{3}\pi radialen gelijk aan 60 graden. De syllabus vraagt deze omrekening bij havo B (B4.1) en vwo B (D.1).

Bronnen

De rijen van de syllabus zijn geciteerd uit de syllabi centraal examen 2027 van het College voor Toetsen en Examens; de telling is van ons.

Pagina gecontroleerd op 27 oktober 2026

Laatste opgave.

Maak gratis het centraal examen 2026, eerste tijdvak — 180 minuten, en kijk het zelf na met het correctievoorschrift