Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Piramida, piramida regulată și tetraedrul regulat: aria și volumul

O piramidă regulată se rezolvă cu același triunghi dreptunghic, format din înălțime, apotema bazei și apotema piramidei. Cu el afli apotema, apoi aria laterală, aria totală și volumul. Aici ai formulele pentru piramida regulată, pentru tetraedrul regulat și pentru trunchiul de piramidă, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și subiecte CNCE cu barem.

La Evaluarea Națională: în 1 din 4 ani (2023–2026), în itemul II.6 din 2026, cu o piramidă patrulateră regulată.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Piramida are o bază, un poligon, și fețe laterale triunghiulare cu un vârf comun VV. Într-o piramidă regulată baza este un poligon regulat, iar piciorul înălțimii VOVO este centrul OO al bazei. Toate muchiile laterale sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.
  • Apotema piramidei regulate este înălțimea unei fețe laterale, VMVM, unde MM este mijlocul unei laturi a bazei. Triunghiul VOMVOM este dreptunghic în OO, deci VM2=VO2+OM2VM^2 = VO^2 + OM^2. Segmentul OMOM este apotema bazei: pentru un pătrat cu latura ll, OM=l2OM = \dfrac{l}{2}.
  • Pentru muchia laterală folosește triunghiul VOAVOA, dreptunghic în OO: VA2=VO2+OA2VA^2 = VO^2 + OA^2. În baza pătrată, OAOA este jumătate din diagonală: OA=OA ={}l22 \dfrac{l\sqrt{2}}{2}.
  • Aria laterală este suma ariilor fețelor laterale: Al=\mathcal{A}_l ={}Pb⋅ap2 \dfrac{\mathcal{P}_b \cdot a_p}{2}, adică semiperimetrul bazei înmulțit cu apotema piramidei apa_p. Apoi At=\mathcal{A}_t ={}Al+ \mathcal{A}_l +{}Ab \mathcal{A}_b. Volumul este V=V ={}Ab⋅h3 \dfrac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}.
  • Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară cu toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale, deci cu șase muchii egale, de lungime aa. Are At=\mathcal{A}_t ={}a23 a^2\sqrt{3}, înălțimea h=h ={}a63 \dfrac{a\sqrt{6}}{3} și volumul V=V ={}a3212 \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}.
  • Trunchiul de piramidă regulată se obține tăind piramida cu un plan paralel cu baza. Are două baze, cea mare de arie AB\mathcal{A}_B și cea mică de arie Ab\mathcal{A}_b, și înălțimea hh. Volumul este V=h3(AB+Ab+AB⋅Ab)V = \dfrac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}\right).
ABCDOMV

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Recunoaște piramida și baza

    Citește enunțul: ce poligon este baza (pătrat, triunghi echilateral, hexagon regulat) și dacă piramida este regulată. Marchează pe figură centrul bazei OO și mijlocul MM al unei laturi a bazei. Dacă piramida este regulată, înălțimea cade exact în OO.

  2. 2.Alege triunghiul dreptunghic

    Pentru apotema piramidei folosește triunghiul VOMVOM. Pentru muchia laterală folosește triunghiul VOAVOA. Ambele au unghiul drept în OO, pentru că VOVO este perpendiculară pe planul bazei.

  3. 3.Calculează lungimea care lipsește

    Scrie teorema lui Pitagora cu numele punctelor din problemă, de exemplu VM2=VO2+OM2VM^2 = VO^2 + OM^2, înlocuiește valorile și extrage radicalul. Scoate factorii de sub radical, dacă se poate. Nu merge mai departe până nu ai înălțimea hh, apotema apa_p sau muchia laterală de care ai nevoie.

  4. 4.Calculează aria bazei

    Aria bazei apare și în aria totală, și în volum. Pentru un pătrat cu latura ll este l2l^2, iar pentru un triunghi echilateral cu latura aa este a234\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.

  5. 5.Aplică formula cerută și verifică

    Alege formula după cerință: aria laterală, aria totală sau volumul. Scrie unitatea de măsură: cm pentru lungimi, cm² pentru arii, cm³ pentru volume. La o piramidă regulată, aria laterală iese mai mare decât aria bazei, pentru că apotema piramidei este mai lungă decât apotema bazei: dacă nu e așa, caută greșeala.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Apotema, aria totală și volumul

    Piramida patrulateră regulată VABCDVABCD are AB=10AB = 10 cm și înălțimea VO=12VO = 12 cm. Calculează apotema piramidei, aria totală și volumul.
    ABCDOMV10

  2. 2.Volumul din muchia laterală

    Piramida patrulateră regulată VABCDVABCD are muchia laterală VA=10VA = 10 cm, iar baza are latura AB=62AB = 6\sqrt{2} cm. Calculează volumul piramidei.

  3. 3.Tetraedrul regulat

    Un tetraedru regulat are muchia de 66 cm. Calculează aria totală, înălțimea și volumul.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 6.a)

Problema 6.a) (0–2 p)

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12VA = AB = 12 cm. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).ABCDVMNa) Arată că volumul piramidei VABCDVABCD este egal cu 2882288\sqrt{2} cm³.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul de rezervă, subiectul al III-lea, 6.a) (varianta 5). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al II-lea, 6

Întrebarea 6. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat ABCDABCD. Dacă AB=4AB = 4 cm, atunci aria totală a tetraedrului ABCDABCD este egală cu:
ABCD

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, modelul de subiect, subiectul al II-lea, 6 (varianta model). Răspuns după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCDVABCD, cu AB=24AB = 24 cm și înălțimea VO=9VO = 9 cm, unde OO este centrul bazei. Punctul MM este mijlocul muchiei ABAB. Apotema VMVM a piramidei are lungimea egală cu:
ABCDOVM

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCDVABCD, cu AB=16AB = 16 cm și înălțimea VO=6VO = 6 cm, unde OO este centrul bazei. Punctul MM este mijlocul muchiei ABAB. Aria totală a piramidei este egală cu:
ABCDOVM

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 3. (0–5)

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCDVABCD, cu înălțimea VO=6VO = 6 cm și AB=4AB = 4 cm. Volumul piramidei VABCDVABCD este egal cu:
ABCDOV

Subiectul al II-lea, 6, din Evaluarea Națională 2026, matematică (CNCE, sesiunea iunie, varianta 1) — explicație Kleksa

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Confunzi apotema VMVM cu înălțimea VOVO. Înălțimea cade în centrul bazei, apotema cade în mijlocul unei laturi a bazei. Apotema este ipotenuza triunghiului VOMVOM, deci este mai lungă decât înălțimea.
  • Iei OMOM egal cu latura bazei. La o bază pătrată, OMOM este jumătate din latură, iar OAOA este jumătate din diagonală. Desenează-ți triunghiul dreptunghic și scrie pe el cele trei lungimi.
  • Uiți 13\dfrac{1}{3} din formula volumului. Volumul piramidei este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și aceeași înălțime, deci V=V ={}Ab⋅h3 \dfrac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}.
  • Încurci aria laterală cu aria totală. Citește cu atenție ce se cere: aria laterală nu conține baza, aria totală o conține. La o suprafață vopsită, vezi mai întâi care fețe se vopsesc.
  • La tetraedrul regulat împarți înălțimea bazei la 22 în loc să iei două treimi din ea. Piciorul înălțimii este centrul triunghiului echilateral, la 23\dfrac{2}{3} din înălțimea bazei față de vârf.

Reține

  • Al=\mathcal{A}_l ={}Pb⋅ap2 \dfrac{\mathcal{P}_b \cdot a_p}{2}, At=\mathcal{A}_t ={}Al+ \mathcal{A}_l +{}Ab \mathcal{A}_b, V=V ={}Ab⋅h3 \dfrac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}.
  • Apotema: VM2=VO2+OM2VM^2 = VO^2 + OM^2. Muchia laterală: VA2=VO2+OA2VA^2 = VO^2 + OA^2.
  • Baza pătrată cu latura ll: OM=l2OM = \dfrac{l}{2} și OA=OA ={}l22 \dfrac{l\sqrt{2}}{2}.
  • Tetraedrul regulat cu muchia aa: At=\mathcal{A}_t ={}a23 a^2\sqrt{3}, h=h ={}a63 \dfrac{a\sqrt{6}}{3}, V=V ={}a3212 \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}.
  • Aria triunghiului echilateral cu latura aa: a234\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.
  • Trunchiul: V=h3(AB+Ab+AB⋅Ab)V = \dfrac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}\right).

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce este o piramidă regulată?+
    Răspuns:O piramidă regulată are ca bază un poligon regulat, iar piciorul înălțimii este centrul bazei. Din această cauză toate muchiile laterale sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Cele mai des întâlnite sunt piramida patrulateră regulată, cu baza pătrat, și piramida triunghiulară regulată, cu baza triunghi echilateral.
  2. 2.Care este diferența dintre înălțimea și apotema piramidei?+
    Răspuns:Înălțimea VOVO este perpendiculară pe planul bazei și cade în centrul bazei. Apotema piramidei VMVM este înălțimea unei fețe laterale și cade în mijlocul unei laturi a bazei. Cele două sunt legate prin triunghiul dreptunghic VOMVOM, în care apotema este ipotenuza: VM2=VO2+OM2VM^2 = VO^2 + OM^2.
  3. 3.Cum calculez volumul unei piramide?+
    Răspuns:Volumul este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime: V=V ={}Ab⋅h3 \dfrac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}. Mai întâi afli aria bazei, apoi înălțimea, iar dacă ți se dă doar o muchie laterală sau o apotemă, calculezi înălțimea cu teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în OO.
  4. 4.Cum aflu aria laterală a unei piramide regulate?+
    Răspuns:Aria laterală este suma ariilor fețelor laterale, care sunt triunghiuri congruente. Formula este Al=\mathcal{A}_l ={}Pb⋅ap2 \dfrac{\mathcal{P}_b \cdot a_p}{2}, adică semiperimetrul bazei înmulțit cu apotema piramidei. Pentru aria totală adaugi aria bazei.
  5. 5.Ce este tetraedrul regulat și ce formule are?+
    Răspuns:Tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară cu toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale congruente, deci cu toate muchiile egale. Pentru muchia aa, aria totală este a23a^2\sqrt{3}, înălțimea este a63\dfrac{a\sqrt{6}}{3} și volumul este a3212\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}. Poți obține oricare dintre ele din teorema lui Pitagora, dacă nu ți le amintești.
  6. 6.Cum apare piramida la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În sesiunile din iunie 2023–2026 piramida a apărut într-un singur an, 2026, în itemul II.6, cu o piramidă patrulateră regulată și volumul cerut din latura bazei și din înălțime. Alte subiecte publicate de CNCE, modelele și sesiunile de rezervă, au mai avut tetraedrul regulat și piramida regulată, inclusiv în problema 6 din subiectul al III-lea.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.