Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Cercul pentru Evaluarea Națională: lungimea cercului, aria discului, unghiuri în cerc

Cercul apare la Evaluarea Națională în fiecare an, în itemul 5 al subiectului al II-lea, și uneori într-o problemă din subiectul al III-lea. Ai nevoie de formulele pentru lungimea cercului și aria discului, de legătura dintre unghiul la centru, unghiul înscris și arc și de proprietățile coardelor. Aici le găsești, cu metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE, unul cu baremul lui.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, în itemul 5 al subiectului al II-lea; în 2024 și în 2026 și într-o problemă din subiectul al III-lea.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Elementele cercului de centru OO și rază rr: raza OAOA, coarda (segment cu capetele pe cerc), diametrul (coarda care trece prin centru, d=2rd = 2r), arcul. Lungimea cercului este L=2πrL = 2\pi r, iar aria discului este A=\mathcal{A} ={}πr2 \pi r^2.
  • Unghiul la centru are vârful în centrul cercului, iar măsura lui este egală cu măsura arcului cuprins între laturile lui. Unghiul înscris are vârful pe cerc și măsoară jumătate din arcul cuprins între laturile lui, deci jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc.
  • Un unghi înscris care cuprinde un semicerc (laturile lui trec prin capetele unui diametru) este drept: 90∘90^\circ. Aici apare triunghiul dreptunghic și, odată cu el, teorema lui Pitagora și rapoartele din triunghiul dreptunghic.
  • Coarde și arce: coardele egale cuprind arce egale și invers. Coardele egale sunt la distanțe egale de centru. Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei, iar în triunghiul dreptunghic format raza este ipotenuza.
  • Poligoane regulate înscrise într-un cerc de rază RR: triunghiul echilateral are latura R3R\sqrt{3}, pătratul R2R\sqrt{2}, hexagonul regulat RR. În toate, centrul cercului este centrul poligonului, iar distanța de la el la o latură se numește apotemă.
  • Arce egale ale unui cerc se obțin împărțindu-l în nn părți: fiecare arc are 360∘n\dfrac{360^\circ}{n} și fiecare unghi la centru corespunzător tot atât.
2ααABCO

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Desenează cercul și raza care lipsește

    Marchează centrul și trasează razele care ajung la punctele din enunț. Două raze formează cu coarda dintre ele un triunghi isoscel, iar un punct de pe cerc unit cu capetele unui diametru formează un triunghi dreptunghic.

  2. 2.Caută diametrul și unghiurile

    Dacă enunțul spune „diametru”, ai un unghi drept. Dacă ai un unghi la centru, afli arcul, iar jumătatea lui este unghiul înscris care cuprinde același arc. Scrie fiecare unghi cu arcul pe care îl cuprinde.

  3. 3.Folosește triunghiul dreptunghic

    Pentru o coardă și distanța de la centru duci perpendiculara din centru. Pentru un diametru și un punct de pe cerc unești punctul cu capetele diametrului. În triunghiul obținut aplici Pitagora sau suma unghiurilor.

  4. 4.Alege formula de lungime sau de arie

    Pentru lungimea cercului scrie 2πr2\pi r, pentru aria discului scrie πr2\pi r^2. Dacă enunțul dă diametrul, împarte-l întâi la 22. Lasă π\pi în rezultat, dacă nu ți se cere o valoare aproximativă.

  5. 5.Verifică unitățile și rezultatul

    Lungimea se exprimă în cm, aria în cm². O coardă are cel mult lungimea diametrului, adică 2r2r, iar distanța de la centru la o coardă este mai mică decât raza.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Raza și aria discului dintr-o lungime

    Lungimea unui cerc este 18π18\pi cm. Calculează raza cercului și aria discului determinat de el.

  2. 2.Unghi la centru și unghi înscris

    Punctele AA, BB și CC aparțin cercului de centru OO, iar CC se află pe arcul mare ABAB. Știi că ∢AOB=\sphericalangle AOB ={}110∘ 110^\circ. Calculează măsurile unghiurilor ACBACB și OABOAB.
    110°ABCO

  3. 3.Lungimea unei coarde din distanța la centru

    Cercul de centru OO are raza de 1313 cm. Coarda ABAB se află la distanța OM=5OM = 5 cm de centru, unde M∈ABM \in AB și OM⊥ABOM \perp AB. Calculează lungimea coardei ABAB.
    OABM

  4. 4.Hexagonul regulat înscris într-un cerc

    Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu raza de 44 cm. Calculează perimetrul și aria hexagonului.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al II-lea, 5

Întrebarea 5. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABCABC, înscris în cercul de centru OO. Punctul DD aparține arcului mic BCBC. Măsura unghiului BDCBDC este egală cu:
OABCD

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 5 (varianta 7). Răspuns după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al III-lea, 5.a)

Problema 5.a) (0–2 p)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO, în care CDCD este diametru. Punctul BB aparține cercului astfel încât dreptele BOBO și CDCD sunt perpendiculare. Punctul MM aparține arcului mic BCBC, dreptele DMDM și BOBO se intersectează în punctul NN, DN=2⋅MNDN = 2 \cdot MN și MN=4MN = 4 cm. a) Arată că măsura unghiului CMDCMD este egală cu 90∘90^\circ.OCDBMN

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 5.a) (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată, punctele AA, BB și CC aparțin cercului de centru OO, iar ∢AOB=\sphericalangle AOB ={}50∘ 50^\circ. Măsura unghiului ACBACB este egală cu:
ABCO

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO, cu diametrul AB=8AB = 8 cm. Aria discului de centru OO și diametru ABAB este egală cu:
ABO

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 3. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO și rază 2929 cm. Coarda ABAB se află la distanța OM=20OM = 20 cm de centrul cercului, unde M∈ABM \in AB și OM⊥ABOM \perp AB. Lungimea coardei ABAB este egală cu:
ABMO

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 4. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO. Punctele AA, BB, CC și DD sunt situate pe cerc, în această ordine, astfel încât ACAC este diametru și măsura unghiului BDCBDC este egală cu 40∘40^\circ. Măsura unghiului BCABCA este egală cu:
OABCD

Subiectul al II-lea, 5, din Evaluarea Națională 2026, matematică (CNCE, sesiunea iunie, varianta 1) — explicație Kleksa

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Egalezi unghiul înscris cu unghiul la centru de pe același arc. Unghiul la centru are măsura arcului, unghiul înscris are jumătate din ea. Dacă ∢AOB=\sphericalangle AOB ={}80∘ 80^\circ, atunci orice unghi înscris pe același arc are 40∘40^\circ.
  • Amesteci formulele: scrii aria ca 2πr2\pi r sau lungimea ca πr2\pi r^2. Lungimea cercului se măsoară în cm și are rr la puterea întâi; aria este în cm², cu rr la pătrat. Dacă un rezultat nu are unitatea potrivită, formula e greșită.
  • Nu observi diametrul. Un unghi înscris care cuprinde un diametru este drept. Semn că trebuie să-l cauți: ai nevoie de teorema lui Pitagora sau de un unghi, dar nu vezi niciun triunghi dreptunghic.
  • Folosești distanța de la centru la coardă ca și cum ar fi raza. În triunghiul dreptunghic format cu perpendiculara din centru, ipotenuza este raza, iar distanța și jumătatea coardei sunt catetele. Nu uita la sfârșit să dublezi jumătatea coardei.
  • Încurci arcul mic cu arcul mare. Unghiul înscris cuprinde arcul din interiorul lui. Dacă vârful unghiului se află pe arcul mic, unghiul cuprinde arcul mare, iar un arc mare are mai mult de 180∘180^\circ: unghiul înscris depășește 90∘90^\circ.

Reține

  • Lungimea cercului: L=2πrL = 2\pi r. Aria discului: A=\mathcal{A} ={}πr2 \pi r^2. Diametrul: d=2rd = 2r.
  • Unghi la centru = arcul. Unghi înscris = arcul2\dfrac{\text{arcul}}{2}. Unghi înscris pe diametru: 90∘90^\circ.
  • Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul ei: r2=d2+(c2)2r^2 = d^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2, unde dd este distanța la coardă și cc lungimea coardei.
  • Înscrise în cercul de rază RR: triunghiul echilateral R3R\sqrt{3}, pătratul R2R\sqrt{2}, hexagonul RR.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Cum calculez lungimea cercului și aria discului?+
    Răspuns:Lungimea cercului este 2πr2\pi r, iar aria discului este πr2\pi r^2, unde rr este raza. Dacă enunțul dă diametrul, afli întâi raza împărțind la doi. Lasă rezultatul cu π\pi, de exemplu 24π24\pi cm, dacă enunțul nu cere o valoare aproximativă.
  2. 2.Care este legătura dintre unghiul la centru și unghiul înscris?+
    Răspuns:Dacă cele două unghiuri cuprind același arc, unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru. Unghiul la centru are exact măsura arcului. De aici rezultă că toate unghiurile înscrise pe același arc sunt egale între ele.
  3. 3.De ce este drept unghiul înscris pe un diametru?+
    Răspuns:Diametrul cuprinde un semicerc, care are 180∘180^\circ. Unghiul înscris are jumătate din arcul cuprins, adică 90∘90^\circ. Este una dintre cele mai folosite proprietăți din problemele cu cerc: dacă vezi un diametru și un punct de pe cerc, ai un triunghi dreptunghic.
  4. 4.Cum aflu lungimea unei coarde?+
    Răspuns:Duci din centru perpendiculara pe coardă; ea cade în mijlocul coardei. În triunghiul dreptunghic format, ipotenuza este raza, iar o catetă este distanța de la centru la coardă. Afli cealaltă catetă cu teorema lui Pitagora și o dublezi, pentru că ea este doar jumătate din coardă.
  5. 5.Cum apare cercul la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026 a apărut în fiecare an în itemul 5 al subiectului al II-lea: arce egale, un unghi pe un diametru, un triunghi echilateral înscris și iar un unghi pe un diametru. În subiectul al III-lea a apărut în 2024 (un diametru și o perpendiculară pe el) și în 2026 (două coarde perpendiculare și mijlocul uneia).
  6. 6.Ce poligoane regulate se înscriu în cerc?+
    Răspuns:Sunt cerute în special triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat. În cercul de rază RR, latura triunghiului echilateral este R3R\sqrt{3}, a pătratului R2R\sqrt{2}, iar a hexagonului chiar RR. Dacă nu ții minte formulele, le obții din triunghiul isoscel format de două raze.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.