Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Prisma, cubul și paralelipipedul dreptunghic: arie, volum, diagonală

Prisma dreaptă, cubul și paralelipipedul dreptunghic se rezolvă cu două idei: formulele ariei și ale volumului, apoi teorema lui Pitagora aplicată în doi pași pentru diagonale. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu barem, dintre care unul din problema 6 a subiectului al III-lea.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, în problema 6 din subiectul al III-lea.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Prisma dreaptă are două baze congruente, în plane paralele, iar muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Fețele laterale sunt dreptunghiuri, iar înălțimea hh este egală cu muchia laterală. Prisma este regulată dacă baza ei este un poligon regulat.
  • Pentru orice prismă dreaptă: Al=\mathcal{A}_l ={}Pb⋅h \mathcal{P}_b \cdot h, At=\mathcal{A}_t ={}Al+ \mathcal{A}_l +{}2Ab 2\mathcal{A}_b și V=V ={}Ab⋅h \mathcal{A}_b \cdot h. Desfășurarea suprafeței laterale este un dreptunghi cu dimensiunile Pb\mathcal{P}_b și hh, de aceea aria laterală este produsul lor.
  • Paralelipipedul dreptunghic este prisma dreaptă cu baza dreptunghi. Dacă are dimensiunile aa, bb și cc, atunci At=\mathcal{A}_t ={}2(ab+bc+ca) 2(ab + bc + ca) și V=abcV = abc.
  • Diagonala paralelipipedului dreptunghic este d=d ={}a2+b2+c2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}. O obții în doi pași cu teorema lui Pitagora: întâi diagonala bazei, a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}, apoi triunghiul dreptunghic format cu muchia cc.
  • Cubul cu muchia ll are At=\mathcal{A}_t ={}6l2 6l^2, V=l3V = l^3, diagonala unei fețe l2l\sqrt{2} și diagonala cubului l3l\sqrt{3}. Cele patru diagonale ale cubului au aceeași lungime și se taie în centrul lui.
ABCDA'B'C'D'

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Stabilește baza și înălțimea

    Citește ce corp este: prismă triunghiulară, patrulateră sau regulată, paralelipiped, cub. Notează baza, perimetrul și aria ei, apoi înălțimea corpului. La prisma dreaptă, înălțimea este chiar muchia laterală, de exemplu AA′AA'.

  2. 2.Găsește triunghiul dreptunghic

    Pentru o lungime din corp, un segment între două vârfuri, caută un triunghi dreptunghic. Unghiul drept apare între o muchie laterală și o dreaptă din planul bazei, pentru că muchia laterală este perpendiculară pe bază. Pornește de la diagonala bazei.

  3. 3.Aplică teorema lui Pitagora

    Scrie relația cu numele punctelor din problemă, de exemplu AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2 în bază, apoi AC′2=AC'^2 ={}AC2+CC′2 AC^2 + CC'^2 în triunghiul dreptunghic ACC′ACC'. Extrage radicalul la sfârșit și scoate factorii de sub radical.

  4. 4.Calculează aria bazei și perimetrul ei

    Pentru o bază dreptunghi sau pătrat, aria este produsul laturilor. Pentru un triunghi echilateral cu latura aa, aria este a234\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}. Perimetrul îți trebuie pentru aria laterală.

  5. 5.Alege formula cerută și verifică unitățile

    Folosește Al=\mathcal{A}_l ={}Pb⋅h \mathcal{P}_b \cdot h, At=\mathcal{A}_t ={}Al+ \mathcal{A}_l +{}2Ab 2\mathcal{A}_b sau V=V ={}Ab⋅h \mathcal{A}_b \cdot h, după cerință. Scrie rezultatul în cm, cm² sau cm³. Verifică dacă diagonala corpului este mai lungă decât fiecare muchie.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Diagonala, aria totală și volumul

    Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are AB=3AB = 3 cm, BC=4BC = 4 cm și AA′=12AA' = 12 cm. Calculează diagonala AC′AC', aria totală și volumul.

  2. 2.Prisma triunghiulară regulată

    Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ABCA'B'C' are latura bazei AB=6AB = 6 cm și înălțimea AA′=8AA' = 8 cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

  3. 3.Cubul din diagonala unei fețe

    Diagonala unei fețe a unui cub este de 929\sqrt{2} cm. Calculează muchia cubului, diagonala cubului și volumul.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 6.a)

Problema 6.a) (0–2 p)

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4AB = 4 cm și AA′=42AA' = 4\sqrt{2} cm.ABCDA′B′C′D′a) Calculează aria laterală a prismei ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 6.a) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2023, matematică — subiectul al II-lea, 6

Întrebarea 6. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu AB=5AB = 5 cm. Lungimea segmentului BD′BD' este egală cu:
ABCDA′B′C′D′

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2023, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 6 (varianta 1). Răspuns după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=6AB = 6 cm, BC=6BC = 6 cm și AA′=7AA' = 7 cm. Aria totală a paralelipipedului este egală cu:
ABCDA′B′C′D′

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=7AB = 7 cm. Volumul cubului este egal cu:
ABCDA′B′C′D′

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

O prismă dreaptă are ca bază un triunghi dreptunghic cu catetele de 99 cm și 1212 cm, iar înălțimea prismei este de 1010 cm. Aria laterală a prismei este egală cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 4. (0–5)

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 44 cm, 44 cm și 77 cm. Calculează lungimea diagonalei paralelipipedului, în centimetri.

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Încurci aria laterală cu aria totală. Aria laterală nu conține bazele, aria totală le conține pe amândouă: At=\mathcal{A}_t ={}Al+ \mathcal{A}_l +{}2Ab 2\mathcal{A}_b. Verifică în enunț dacă se cere „aria laterală” sau „aria totală”.
  • Te oprești după primul pas și iei diagonala bazei drept diagonala corpului. Diagonala corpului are nevoie și de înălțime: AC′2=AC'^2 ={}AC2+CC′2 AC^2 + CC'^2.
  • Scrii d=a+b+cd = a + b + c în loc de d=d ={}a2+b2+c2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}. Ridici la pătrat fiecare dimensiune, aduni, apoi extragi radicalul din sumă.
  • Confunzi l2l\sqrt{2} cu l3l\sqrt{3} la cub. Prima este diagonala unei fețe, o diagonală dintr-un pătrat; a doua este diagonala cubului, care străbate corpul.
  • Pui în formula volumului o latură a bazei în loc de aria bazei. La o bază triunghi echilateral, aria nu este latura, ci a234\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.

Reține

  • Al=\mathcal{A}_l ={}Pb⋅h \mathcal{P}_b \cdot h, At=\mathcal{A}_t ={}Al+ \mathcal{A}_l +{}2Ab 2\mathcal{A}_b, V=V ={}Ab⋅h \mathcal{A}_b \cdot h.
  • Paralelipiped dreptunghic: V=abcV = abc, At=\mathcal{A}_t ={}2(ab+bc+ca) 2(ab + bc + ca), d=d ={}a2+b2+c2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
  • Cub: V=l3V = l^3, At=\mathcal{A}_t ={}6l2 6l^2, diagonala feței l2l\sqrt{2}, diagonala cubului l3l\sqrt{3}.
  • Triunghiul echilateral cu latura aa are aria a234\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce este o prismă dreaptă?+
    Răspuns:Prisma dreaptă are două baze, poligoane congruente situate în plane paralele, și fețe laterale dreptunghiulare. Muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze și egale cu înălțimea prismei. Dacă baza este un poligon regulat, prisma se numește regulată. Paralelipipedul dreptunghic și cubul sunt prisme drepte speciale.
  2. 2.Cum calculez aria laterală și aria totală a unei prisme drepte?+
    Răspuns:Aria laterală este produsul dintre perimetrul bazei și înălțime: Al=\mathcal{A}_l ={}Pb⋅h \mathcal{P}_b \cdot h. Pentru aria totală adaugi ariile celor două baze: At=\mathcal{A}_t ={}Al+ \mathcal{A}_l +{}2Ab 2\mathcal{A}_b. Dacă baza este un triunghi dreptunghic, calculezi mai întâi ipotenuza, ca să afli perimetrul.
  3. 3.Cum calculez diagonala unui paralelipiped dreptunghic?+
    Răspuns:Aplici teorema lui Pitagora de două ori. Mai întâi diagonala bazei, a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}, apoi diagonala corpului, în triunghiul dreptunghic format de ea și de muchia cc. Rezultatul este d=d ={}a2+b2+c2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}, formulă pe care o poți scrie direct, dar la examen scrie și cei doi pași, fiindcă baremul îi notează.
  4. 4.Cum aflu diagonala unui cub dacă știu muchia?+
    Răspuns:Diagonala cubului cu muchia ll este l3l\sqrt{3}. De exemplu, pentru muchia de 22 cm diagonala este 232\sqrt{3} cm. Nu o confunda cu diagonala unei fețe, care este l2l\sqrt{2} și se află în planul unei fețe pătrate.
  5. 5.Care este diferența dintre cub și paralelipipedul dreptunghic?+
    Răspuns:Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale. Cele șase fețe ale cubului sunt pătrate congruente. Formulele cubului se obțin din cele ale paralelipipedului dreptunghic punând a=b=c=la = b = c = l: V=l3V = l^3, At=\mathcal{A}_t ={}6l2 6l^2, d=l3d = l\sqrt{3}.
  6. 6.Cum apar prisma, cubul și paralelipipedul la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În sesiunile din iunie 2023–2026 un cub sau o prismă dreaptă apare în fiecare an în problema 6 din subiectul al III-lea. Punctul a) a cerut un unghi, o arie laterală sau un volum, iar punctul b) o distanță sau, o singură dată, o demonstrație de perpendicularitate. În 2023 și 2024 cubul a apărut și în itemul II.6.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.