Cum calculez distanța de la un punct la un plan?

Duci din punct perpendiculara pe plan și arăți că este perpendiculară pe două drepte concurente din plan. Apoi găsești un triunghi dreptunghic care conține perpendiculara și calculezi lungimea ei, de obicei cu teorema lui Pitagora sau cu formula înălțimii din unghiul drept, $h = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{i}$.

Ce spune teorema celor trei perpendiculare?

Dacă $AO$ este perpendiculară pe planul $\alpha$ în punctul $O$, iar $OB$ este perpendiculară pe dreapta $d$ din $\alpha$, cu $B \in d$, atunci $AB$ este perpendiculară pe $d$. Cu ea găsești piciorul perpendicularei din punctul $A$ pe dreapta $d$ și poți calcula distanța de la $A$ la $d$.

Cum găsesc unghiul dintre o dreaptă și un plan?

Proiectezi dreapta pe plan, adică proiectezi două puncte ale ei, și unghiul căutat este unghiul dintre dreapta dată și proiecția ei. Apoi calculezi unghiul într-un triunghi dreptunghic, cu $\sin$, $\cos$ sau $\operatorname{tg}$, sau recunoști un unghi cunoscut, de exemplu $45^\circ$ sau $60^\circ$.

Cum măsor unghiul a două drepte care nu se intersectează?

Duci printr-un punct al uneia dintre drepte o paralelă la cealaltă, iar unghiul dintre dreapta dată și paralela construită este unghiul căutat. La un cub sau la un paralelipiped dreptunghic, paralela este de obicei o muchie sau o diagonală a unei fețe, iar unghiul apare într-un triunghi cu laturi cunoscute.

Ce este unghiul diedru?

Unghiul diedru este unghiul format de două plane care au o muchie comună. Îl măsori cu unghiul a două perpendiculare pe muchie, câte una în fiecare plan, duse în același punct al muchiei. La o piramidă regulată, unghiul dintre o față laterală și bază se obține în triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei.

Cum apar distanțele și unghiurile în spațiu la Evaluarea Națională?

În iunie 2023–2026 punctul b) al problemei 6 din subiectul al III-lea a cerut, în 2023, 2024 și 2026, o distanță de la un punct la un plan, iar în 2025 o demonstrație de perpendicularitate. Un unghi a fost cerut în 2023, la punctul a) al problemei 6, și în 2024, în itemul II.6.

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Distanțe și unghiuri în spațiu: teorema celor trei perpendiculare

Distanța de la un punct la un plan, unghiul a două drepte, unghiul dintre o dreaptă și un plan și unghiul diedru se rezolvă la fel: găsești o perpendiculară sau o proiecție, o justifici, apoi calculezi într-un triunghi dreptunghic. Aici ai definițiile, teorema celor trei perpendiculare, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu barem.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, la punctul b) al problemei 6 din subiectul al III-lea.

Programa de examen

Evaluarea Națională

Geometrie · Paralelism: drepte paralele, unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu un plan, plane paralele, aplicații: secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate; trunchiul de piramidă și trunchiul de con circular drept · p. 8
Geometrie · Perpendicularitate: drepte perpendiculare în spațiu, dreaptă perpendiculară pe un plan; proiecții de puncte, de segmente și de drepte pe un plan; unghiul dintre o dreaptă și un plan; unghi diedru; teorema celor trei perpendiculare; calculul distanței de la un punct la o dreaptă și de la un punct la un plan · p. 8
Geometrie · Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice studiate · p. 9

OM nr. 4730/2022, anexa nr. 11 · sesiunile din iunie: în fiecare an 2023–2026

La Evaluarea Națională nu primești formule: le scrii din memorie. Ai voie cu instrumente de desen, nu cu calculatorul.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Dreaptă perpendiculară pe un plan. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan. Atunci ea este perpendiculară pe orice dreaptă din plan. Într-un corp drept, muchia laterală este perpendiculară pe planul bazei.
Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din punct pe plan. Distanța de la un punct la un plan este lungimea acestei perpendiculare, iar distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă.
Teorema celor trei perpendiculare: dacă $AO \perp \alpha$ , cu $O \in \alpha$ , dreapta $d$ este în planul $\alpha$ și $OB \perp d$ , cu $B \in d$ , atunci $AB \perp d$ . Cu ea găsești piciorul perpendicularei din $A$ pe dreapta $d$ , deci distanța de la $A$ la $d$ .
Unghiul a două drepte în spațiu se măsoară între două drepte concurente, paralele cu cele date. Dacă dreptele nu se intersectează, duci printr-un punct al uneia o paralelă la cealaltă. În cub, trei diagonale ale unor fețe diferite, unite două câte două prin capete, formează un triunghi echilateral, iar o diagonală a unei fețe și o muchie perpendiculară pe acea față sunt catetele unui triunghi dreptunghic.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Unghiul diedru al două plane se măsoară cu unghiul format de două perpendiculare pe muchia comună, câte una în fiecare plan, duse în același punct al muchiei.
Distanța de la un punct $P$ la un plan $\alpha$ , în trei pași: alegi o dreaptă $d$ din $\alpha$ și duci perpendiculare pe ea; arăți că perpendiculara dusă din $P$ este perpendiculară pe două drepte concurente din $\alpha$ ; calculezi lungimea ei într-un triunghi dreptunghic, de obicei cu înălțimea din unghiul drept, $h ={}$ $\dfrac{c_1 \cdot c_2}{i}$ .

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Stabilește ce ți se cere
Spune în cuvinte ce măsori: o distanță de la un punct la o dreaptă sau la un plan, un unghi între drepte, între o dreaptă și un plan sau între două plane. Notează corpul și muchiile cunoscute.
2.Găsește proiecția sau piciorul perpendicularei
Pentru o distanță de la un punct la un plan găsești piciorul perpendicularei. Pentru un unghi dreaptă–plan proiectezi dreapta pe plan. Într-un corp drept, proiecția pe planul bazei se face cu muchiile laterale, care sunt perpendiculare pe bază.
3.Justifică perpendicularitatea
Arată că dreapta este perpendiculară pe două drepte concurente din plan, sau folosește teorema celor trei perpendiculare. În baremul din subiectul citat mai jos, primii doi pași sunt astfel de justificări, deci scrie-le.
4.Alege triunghiul dreptunghic
Găsește triunghiul dreptunghic care conține segmentul căutat. Calculează laturile lui cu teorema lui Pitagora, apoi segmentul căutat.
5.Calculează distanța sau unghiul
Dacă segmentul căutat este înălțimea din unghiul drept, folosește $h ={}$ $\dfrac{c_1 \cdot c_2}{i}$ sau scrie aria triunghiului în două feluri. Pentru un unghi, folosește $\sin$ , $\cos$ sau $\operatorname{tg}$ în același triunghi dreptunghic.
6.Scrie răspunsul și verifică
Scrie unitatea de măsură. O distanță de la un punct la un plan este mai mică decât orice segment dus din punct la un alt punct al planului, deci ea nu poate depăși un segment pe care l-ai calculat deja.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Distanța de la un vârf la un plan diagonal
Cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $4$ cm. Calculează distanța de la punctul $A$ la planul $(BDD')$ .
2.Unghiul dintre diagonala unei fețe laterale și bază
Paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ are $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm și $CC' = 2\sqrt{3}$ cm. Calculează măsura unghiului dintre dreapta $BC'$ și planul $(ABC)$ .
3.Unghiul diedru al unei piramide
Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are $AB = 12$ cm și înălțimea $VO = 6\sqrt{3}$ cm, iar $M$ este mijlocul laturii $AB$ . Calculează măsura unghiului dintre planele $(VAB)$ și $(ABC)$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 6.b)

Problema 6.b) (0–3 p)

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă

ABCDA'B'C'D'

, cu baza pătratul

ABCD

AB = 4

cm și

AA' = 4\sqrt{2}

cm.b) Arată că distanța de la punctul

A'

la planul

(C'BD)

este egală cu

\frac{8\sqrt{10}}{5}

cm.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 6.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Baremul CNCE

BD ⊥ AC, BD ⊥ A′A și, cum AC ∩ A′A = {A}, obținem BD ⊥ (A′AC)1 p
A′P ⊥ C′O, P ∈ C′O, unde AC ∩ BD = {O}, A′P ⊂ (A′AC) ⇒ A′P ⊥ BD și, cum C′O ∩ BD = {O} ⇒ A′P ⊥ (C′BD)1 p
𝒜(ΔA′OC′) = A′P · C′O/2 și, cum 𝒜(ΔA′OC′) = 16 cm² și C′O = 2√10 cm, obținem A′P = 8√10/5 cm, deci d(A′, (C′BD)) = 8√10/5 cm1 p

Rezolvarea Kleksa

Baza

ABCD

este un pătrat, deci

BD \perp AC

. Muchia

AA'

este perpendiculară pe planul bazei, deci

BD \perp AA'

. Dreptele

AC

și

AA'

sunt concurente în

A

, deci

BD \perp (A'AC)

Fie

AC \cap BD = \{O\}

și

A'P \perp C'O

, cu

P \in C'O

. Dreapta

A'P

este în planul

(A'AC)

, deci

A'P \perp BD

. Cum

A'P \perp C'O

și

C'O \cap BD = \{O\}

, obținem

A'P \perp (C'BD)

, deci distanța cerută este

A'P

Triunghiul

A'OC'

are baza

A'C' = 4\sqrt{2}

cm. Înălțimea lui din

O

este

AA' = 4\sqrt{2}

cm, pentru că proiecția lui

O

pe planul

(A'B'C')

este mijlocul lui

A'C'

. Deci aria lui este

\dfrac{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} ={}

16

cm². În triunghiul

COC'

, dreptunghic în

C

C'O^2 ={}

CC'^2 + CO^2 ={}

32 + 8 ={}

40

, deci

C'O = 2\sqrt{10}

cm.

Aria triunghiului este și

\dfrac{A'P \cdot C'O}{2}

, deci

A'P ={}

\dfrac{2 \cdot 16}{2\sqrt{10}} ={}

\dfrac{16}{\sqrt{10}} ={}

\dfrac{8\sqrt{10}}{5}

cm, adică

d(A', (C'BD)) ={}

\dfrac{8\sqrt{10}}{5}

cm.

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al II-lea, 6

Întrebarea 6. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat cubul

ABCDA'B'C'D'

. Unghiul dreptelor

AC

și

AD'

are măsura egală cu:

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 6 (varianta 7). Răspuns după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 1. (0–5)

În paralelipipedul dreptunghic

ABCDA'B'C'D'

avem

AB = 15

cm,

BC = 20

cm și

CC' = 5

cm. Calculează, în centimetri, distanța de la punctul

C'

la dreapta

BD

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 2. (0–5)

În cubul

ABCDA'B'C'D'

, tangenta unghiului dintre dreapta

AC'

și planul

(ABC)

este egală cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

Piramida patrulateră regulată

VABCD

are

AB = 6

cm și înălțimea

VO = 4

cm, unde

O

este centrul bazei. Calculează distanța, în centimetri, de la punctul

O

la planul

(VAB)

. Scrie rezultatul ca număr zecimal, cu virgulă.

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Iei orice segment dintre punct și plan drept distanță. Distanța este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan; orice alt segment dus din același punct la plan este mai lung.
Scrii direct că un segment este distanța, fără să arăți că este perpendicular pe plan. Arată că dreapta este perpendiculară pe două drepte concurente din plan, de exemplu cu teorema celor trei perpendiculare.
Măsori unghiul dintre o dreaptă și un plan cu o dreaptă din plan care nu este proiecția ei. Proiectează mai întâi dreapta pe plan: unghiul se formează cu proiecția.
Confunzi unghiul diedru cu unghiul a două drepte oarecare din cele două plane. Unghiul diedru se măsoară cu două perpendiculare pe muchia comună, duse în același punct al ei.
Aplici teorema lui Pitagora într-un triunghi care nu este dreptunghic. Înainte de calcul, spune de ce are triunghiul un unghi drept, de exemplu pentru că o muchie este perpendiculară pe baza corpului.

Reține

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.
Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan.
Teorema celor trei perpendiculare: $AO \perp \alpha$ și $OB \perp d$ implică $AB \perp d$ .
Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
Înălțimea din unghiul drept: $h ={}$ $\dfrac{c_1 \cdot c_2}{i}$ .

Întrebări și răspunsuri

1.Cum calculez distanța de la un punct la un plan?+
Răspuns:Duci din punct perpendiculara pe plan și arăți că este perpendiculară pe două drepte concurente din plan. Apoi găsești un triunghi dreptunghic care conține perpendiculara și calculezi lungimea ei, de obicei cu teorema lui Pitagora sau cu formula înălțimii din unghiul drept, $h ={}$ $\dfrac{c_1 \cdot c_2}{i}$ .
2.Ce spune teorema celor trei perpendiculare?+
Răspuns:Dacă $AO$ este perpendiculară pe planul $\alpha$ în punctul $O$ , iar $OB$ este perpendiculară pe dreapta $d$ din $\alpha$ , cu $B \in d$ , atunci $AB$ este perpendiculară pe $d$ . Cu ea găsești piciorul perpendicularei din punctul $A$ pe dreapta $d$ și poți calcula distanța de la $A$ la $d$ .
3.Cum găsesc unghiul dintre o dreaptă și un plan?+
Răspuns:Proiectezi dreapta pe plan, adică proiectezi două puncte ale ei, și unghiul căutat este unghiul dintre dreapta dată și proiecția ei. Apoi calculezi unghiul într-un triunghi dreptunghic, cu $\sin$ , $\cos$ sau $\operatorname{tg}$ , sau recunoști un unghi cunoscut, de exemplu $45^\circ$ sau $60^\circ$ .
4.Cum măsor unghiul a două drepte care nu se intersectează?+
Răspuns:Duci printr-un punct al uneia dintre drepte o paralelă la cealaltă, iar unghiul dintre dreapta dată și paralela construită este unghiul căutat. La un cub sau la un paralelipiped dreptunghic, paralela este de obicei o muchie sau o diagonală a unei fețe, iar unghiul apare într-un triunghi cu laturi cunoscute.
5.Ce este unghiul diedru?+
Răspuns:Unghiul diedru este unghiul format de două plane care au o muchie comună. Îl măsori cu unghiul a două perpendiculare pe muchie, câte una în fiecare plan, duse în același punct al muchiei. La o piramidă regulată, unghiul dintre o față laterală și bază se obține în triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei.
6.Cum apar distanțele și unghiurile în spațiu la Evaluarea Națională?+
Răspuns:În iunie 2023–2026 punctul b) al problemei 6 din subiectul al III-lea a cerut, în 2023, 2024 și 2026, o distanță de la un punct la un plan, iar în 2025 o demonstrație de perpendicularitate. Un unghi a fost cerut în 2023, la punctul a) al problemei 6, și în 2024, în itemul II.6.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.

Rezolvă gratuit un test

Distanțe și unghiuri în spațiu: teorema celor trei perpendiculare

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Stabilește ce ți se cere

2.Găsește proiecția sau piciorul perpendicularei

3.Justifică perpendicularitatea

4.Alege triunghiul dreptunghic

5.Calculează distanța sau unghiul

6.Scrie răspunsul și verifică

Exemple rezolvate

1.Distanța de la un vârf la un plan diagonal

2.Unghiul dintre diagonala unei fețe laterale și bază

3.Unghiul diedru al unei piramide

Subiect de examen

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse