Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Triunghiul pentru Evaluarea Națională: aria, liniile importante, triunghiul isoscel și echilateral

Triunghiul apare la Evaluarea Națională în fiecare an, de obicei în itemul 3 al subiectului al II-lea. Cu suma unghiurilor, cu proprietățile triunghiului isoscel, echilateral și dreptunghic și cu formula ariei rezolvi majoritatea cerințelor despre triunghi. Aici ai ce trebuie să știi pe de rost, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE, unul cu baremul lui, ca să vezi ce se punctează.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, mai ales în itemul 3 al subiectului al II-lea; în 2024 și în subiectul al III-lea, problema 4.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘180^\circ. Unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el (teorema unghiului exterior). Într-un triunghi, unghiului mai mare i se opune latura mai mare, iar fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.
  • Liniile importante: mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse, înălțimea este perpendiculara din vârf pe latura opusă, bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale, mediatoarea este perpendiculara pe mijlocul unei laturi. Medianele se taie în centrul de greutate GG, care împarte fiecare mediană în raportul 2:12 : 1, socotit de la vârf. Bisectoarele se taie în centrul cercului înscris, mediatoarele în centrul cercului circumscris. Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi: este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
  • Criterii de congruență: LUL, ULU, LLL. Pentru triunghiurile dreptunghice: CC (două catete), IC (ipotenuză și o catetă), CU (o catetă și un unghi ascuțit), IU (ipotenuză și un unghi ascuțit). Două triunghiuri congruente au laturile corespunzătoare și unghiurile corespunzătoare congruente.
  • Triunghiul isoscel (AB=ACAB = AC) are unghiurile de la bază egale, ∢B=\sphericalangle B ={}∢C \sphericalangle C, iar mediana din AA este și înălțime, bisectoare și mediatoare. Triunghiul echilateral are toate unghiurile de 60∘60^\circ și înălțimea h=h ={}l32 \dfrac{l\sqrt{3}}{2}.
  • Triunghiul dreptunghic: cateta opusă unghiului de 30∘30^\circ este jumătate din ipotenuză, iar mediana dusă din unghiul drept este jumătate din ipotenuză. Ambele au reciproce: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are 30∘30^\circ; dacă mediana este jumătate din latura pe care cade, triunghiul este dreptunghic.
  • Aria este A=\mathcal{A} ={}b⋅h2 \dfrac{b \cdot h}{2}, cu orice latură bb și înălțimea hh dusă pe ea. Triunghiurile cu aceeași înălțime au ariile în același raport ca bazele. Triunghiul echilateral de latură ll are A=\mathcal{A} ={}l234 \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}.
ABCHM

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Desenează și notează datele

    Fă o figură mare și scrie pe ea tot ce dă enunțul: laturile egale, unghiurile, punctele care sunt mijloace, perpendicularele. Dacă figura este dată, notează pe ea și ce deduci pas cu pas.

  2. 2.Recunoaște tipul triunghiului

    Caută „AB=ACAB = AC” (isoscel), trei laturi egale (echilateral), un unghi de 90∘90^\circ (dreptunghic). Fiecare tip îți aduce o proprietate: unghiuri la bază egale, unghiuri de 60∘60^\circ, teorema lui Pitagora.

  3. 3.Folosește linia potrivită

    Dacă se vorbește despre un mijloc, gândește-te la mediană. Dacă apare un unghi drept cu o latură, gândește-te la înălțime. În triunghiul isoscel, mediana bazei face ambele roluri.

  4. 4.Alege relația

    Pentru unghiuri folosești suma de 180∘180^\circ sau unghiul exterior. Pentru lungimi folosești congruența, proprietatea unghiului de 30∘30^\circ sau teorema lui Pitagora. Pentru arii folosești b⋅h2\dfrac{b \cdot h}{2} sau raportul bazelor.

  5. 5.Scrie fiecare pas cu justificarea

    La subiectul al III-lea baremul se acordă pe pași, așa că scrie ce teoremă folosești la fiecare: „din LLL”, „suma unghiurilor”, „mediana este și înălțime”. Baremul punctează pașii justificați, nu doar rezultatul.

  6. 6.Verifică rezultatul

    Un unghi dintr-un triunghi este mai mic de 180∘180^\circ, iar latura cea mai mare stă în fața unghiului celui mai mare. Dacă un rezultat încalcă asta, ai greșit undeva.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Unghiul al treilea și unghiul exterior

    În triunghiul ABCABC avem ∢A=\sphericalangle A ={}52∘ 52^\circ și ∢B=\sphericalangle B ={}61∘ 61^\circ. Calculează măsura unghiului CC și a unghiului exterior triunghiului în vârful CC.

  2. 2.Două triunghiuri congruente într-un triunghi isoscel

    Triunghiul ABCABC este isoscel, cu AB=ACAB = AC, iar DD este mijlocul laturii BCBC. Arată că ADAD este bisectoarea unghiului AA și că AD⊥BCAD \perp BC.

  3. 3.Înălțimea și aria triunghiului echilateral

    Triunghiul ABCABC este echilateral, cu latura BC=8BC = 8 cm. Calculează lungimea înălțimii ADAD și aria triunghiului.
    ABCD8 cm

  4. 4.Aria unui triunghi mai mic, din raportul bazelor

    Aria triunghiului ABCABC este 4848 cm². Punctul MM aparține laturii BCBC, astfel încât BM=BM ={}14⋅BC \dfrac{1}{4} \cdot BC. Calculează ariile triunghiurilor ABMABM și AMCAMC.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al II-lea, 3

Întrebarea 3. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC, cu ∢BAC=\sphericalangle BAC ={}120∘ 120^\circ. Punctul EE aparține segmentului BCBC, astfel încât CE=4CE = 4 cm, iar dreptele ABAB și AEAE sunt perpendiculare. Lungimea segmentului BCBC este egală cu:
ABCE

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 3 (varianta 7). Răspuns după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al III-lea, 4.a)

Problema 4.a) (0–2 p)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC cu AB=ACAB = AC. Înălțimea din vârful AA intersectează latura BCBC în punctul DD și AD=BCAD = BC. Înălțimea din vârful BB intersectează latura ACAC în punctul EE. Înălțimile ADAD și BEBE se intersectează în punctul HH. a) Arată că unghiurile DACDAC și EBCEBC au aceeași măsură.ABCDEH

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 4.a) (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC, cu AB=ACAB = AC și ∢BAC=\sphericalangle BAC ={}138∘ 138^\circ. Măsura unghiului ABCABC este egală cu:
ABC

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC. Punctele MM și NN sunt mijloacele laturilor ABAB, respectiv ACAC, iar MN=2MN = 2 cm. Lungimea segmentului BCBC este egală cu:
ABCMN

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 3. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=10BC = 10 cm. Punctul MM este mijlocul ipotenuzei BCBC. Lungimea segmentului AMAM este egală cu:
ABCM

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 4. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC. Punctul DD este mijlocul segmentului BCBC și punctul GG este centrul de greutate al triunghiului ABCABC. Aria triunghiului DGCDGC este egală cu 1515 cm². Aria triunghiului ABCABC este egală cu:
ABCDG

Subiectul al II-lea, 3, din Evaluarea Națională 2026, matematică (CNCE, sesiunea iunie, varianta 1) — explicație Kleksa

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Confunzi mediana cu înălțimea. Mediana merge la mijlocul laturii opuse, înălțimea cade perpendicular pe ea. Doar în triunghiul isoscel (pe bază) și în cel echilateral cele două linii coincid; într-un triunghi oarecare sunt segmente diferite.
  • Spui că unghiul exterior este suma tuturor celor trei unghiuri, sau o egalezi cu un singur unghi interior. Unghiul exterior este suma celor două unghiuri neadiacente cu el sau, altfel spus, 180∘180^\circ minus unghiul interior alăturat.
  • Aplici regula unghiului de 30∘30^\circ greșit. Jumătate din ipotenuză este cateta care se opune unghiului de 30∘30^\circ. Cateta alăturată lui, opusă unghiului de 60∘60^\circ, este mai lungă: are ipotenuza⋅32\dfrac{\text{ipotenuza}\cdot\sqrt{3}}{2}. Verifică mereu care catetă stă în fața unghiului.
  • Inventezi criterii de congruență: LLU (două laturi și un unghi oarecare) sau UUU (trei unghiuri) nu dovedesc congruența. Unghiul din LUL trebuie să fie cuprins între cele două laturi; trei unghiuri egale dau doar triunghiuri de aceeași formă.
  • Dai doar rezultatul la subiectul al III-lea. Baremul acordă puncte pe pași, deci fiecare afirmație trebuie justificată: „din LLL”, „suma unghiurilor este 180∘180^\circ”, „mediana este și înălțime”.

Reține

  • Suma unghiurilor unui triunghi: 180∘180^\circ. Unghiul exterior = suma celor două neadiacente.
  • Isoscel: unghiurile de la bază sunt egale; mediana bazei = înălțime = bisectoare = mediatoare.
  • Echilateral: unghiuri de 60∘60^\circ, h=h ={}l32 \dfrac{l\sqrt{3}}{2}, A=\mathcal{A} ={}l234 \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}.
  • Dreptunghic: cateta opusă unghiului de 30∘30^\circ este ipotenuza2\dfrac{\text{ipotenuza}}{2}; mediana din unghiul drept este ipotenuza2\dfrac{\text{ipotenuza}}{2}.
  • Centrul de greutate stă pe mediană la 23\dfrac{2}{3} de vârf: AG=2⋅GDAG = 2 \cdot GD.
  • Arie: A=\mathcal{A} ={}b⋅h2 \dfrac{b \cdot h}{2}. Congruență: LUL, ULU, LLL; CC, IC, CU, IU.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Care sunt liniile importante într-un triunghi?+
    Răspuns:Sunt patru: mediana (de la un vârf la mijlocul laturii opuse), înălțimea (perpendiculara din vârf pe latura opusă), bisectoarea (împarte unghiul în două părți egale) și mediatoarea (perpendiculara pe mijlocul unei laturi). Fiecare tip are trei linii care se taie într-un singur punct.
  2. 2.Cum calculez aria unui triunghi?+
    Răspuns:Înmulțești o latură cu înălțimea dusă pe ea și împarți la doi: A=\mathcal{A} ={}b⋅h2 \dfrac{b \cdot h}{2}. Într-un triunghi dreptunghic poți lua catetele drept bază și înălțime. Pentru triunghiul echilateral de latură ll ai și formula l234\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}.
  3. 3.Ce proprietăți are triunghiul isoscel?+
    Răspuns:Are două laturi egale și, de aceea, unghiurile de la baza lor sunt egale. Mediana dusă pe bază este în același timp înălțime, bisectoare și mediatoare. Reciproc, dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, triunghiul este isoscel.
  4. 4.Cum aflu înălțimea unui triunghi echilateral?+
    Răspuns:Înălțimea este și mediană, deci taie baza în două părți egale. Cu teorema lui Pitagora într-unul dintre cele două triunghiuri dreptunghice obținute afli h=h ={}l32 \dfrac{l\sqrt{3}}{2}. Poți scrie direct formula, dar la subiectul al III-lea arată și calculul.
  5. 5.Care sunt criteriile de congruență a triunghiurilor?+
    Răspuns:Pentru triunghiuri oarecare: LUL (două laturi și unghiul cuprins între ele), ULU (o latură și cele două unghiuri alăturate ei) și LLL (trei laturi). Pentru triunghiuri dreptunghice: CC, IC, CU și IU, unde C este catetă, I ipotenuză și U unghi ascuțit.
  6. 6.Cum apare triunghiul la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026 a apărut în fiecare an. De regulă este itemul 3 al subiectului al II-lea (aria, unghiuri, triunghi isoscel sau dreptunghic), iar în 2024 și problema 4 din subiectul al III-lea s-a bazat pe înălțimile unui triunghi isoscel. Triunghiul apare și ca pas în problemele despre patrulatere și cerc.
  7. 7.Ce este centrul de greutate al unui triunghi?+
    Răspuns:Este punctul în care se taie cele trei mediane. El împarte fiecare mediană în două segmente, cel dinspre vârf fiind de două ori mai lung decât celălalt. De exemplu, dacă GG este centrul de greutate și ADAD este mediană, atunci AG=2⋅GDAG = 2 \cdot GD.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.