Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Patrulaterele pentru Evaluarea Națională: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez

Un patrulater apare la Evaluarea Națională în fiecare an: în itemul 4 al subiectului al II-lea, la care se adaugă, în 2023, 2025 și 2026, una sau două probleme din subiectul al III-lea. Ca să le rezolvi ai nevoie de proprietățile fiecărui patrulater, de formulele perimetrelor și ale ariilor și de liniile mijlocii. Mai jos le ai, cu metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE, unul cu baremul lui.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, în itemul 4 al subiectului al II-lea; în 2023 și 2025 și problemele 4 și 5 din subiectul al III-lea, în 2026 problema 5.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Patrulaterul convex: suma măsurilor unghiurilor lui este 360∘360^\circ. După laturile paralele, un patrulater poate fi paralelogram (două perechi de laturi paralele), trapez (o singură pereche) sau niciunul dintre ele.
  • Paralelogramul are laturile opuse paralele și egale, unghiurile opuse egale, unghiurile alăturate unei laturi suplementare, iar diagonalele se înjumătățesc: AO=OCAO = OC și BO=ODBO = OD. Perimetrul este 2(a+b)2(a + b), iar aria A=\mathcal{A} ={}b⋅h b \cdot h, cu înălțimea dusă pe baza bb.
  • Paralelograme particulare: dreptunghiul are un unghi drept și diagonale egale, A=\mathcal{A} ={}L⋅l L \cdot l. Rombul are laturile egale și diagonale perpendiculare, bisectoare ale unghiurilor, A=\mathcal{A} ={}d1⋅d22 \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}. Pătratul le are pe toate: A=l2\mathcal{A} = l^2, diagonala d=l2d = l\sqrt{2}.
  • Trapezul are două laturi paralele, bazele BB și bb. Aria este A=\mathcal{A} ={}(B+b)⋅h2 \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}, iar linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele, este paralelă cu bazele și are lungimea B+b2\dfrac{B + b}{2}. Trapezul isoscel are laturile neparalele egale, unghiurile de la o bază egale și diagonalele egale.
  • Trapezul dreptunghic are o latură neparalelă perpendiculară pe baze. Pentru el, ca și pentru cel isoscel, duci înălțimile din vârfurile bazei mici și obții un dreptunghi și unul sau două triunghiuri dreptunghice, în care aplici teorema lui Pitagora.
  • Linia mijlocie în triunghi unește mijloacele a două laturi, este paralelă cu a treia și are lungimea egală cu jumătate din ea. Cu ea se arată și că centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul 2:12 : 1.
ABCDO

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Stabilește ce patrulater ai

    Citește enunțul și caută laturile paralele sau egale și unghiurile drepte. Un paralelogram cu un unghi drept este dreptunghi, unul cu laturile egale este romb, iar un patrulater cu o singură pereche de laturi paralele este trapez.

  2. 2.Scrie proprietățile lui

    Notează ce rezultă: diagonalele care se înjumătățesc, laturile opuse egale, unghiurile suplementare, diagonalele perpendiculare (la romb) sau egale (la dreptunghi, la trapezul isoscel).

  3. 3.Descompune în triunghiuri dreptunghice

    La trapez duci înălțimile din vârfurile bazei mici. La romb și la pătrat diagonalele formează patru triunghiuri dreptunghice. În ele aplici teorema lui Pitagora, regula unghiului de 30∘30^\circ sau o formulă de arie.

  4. 4.Alege formula de arie sau de perimetru

    Paralelogram: bază ori înălțime. Romb: jumătate din produsul diagonalelor. Trapez: media bazelor ori înălțimea. Perimetrul este suma tuturor laturilor, nu doar a celor diferite.

  5. 5.Verifică unitățile și rezultatul

    Perimetrul se măsoară în cm, aria în cm². Înălțimea unui paralelogram este cel mult egală cu latura alăturată (egală doar la dreptunghi), iar diagonalele unui paralelogram sunt mai mici decât suma laturilor vecine.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Pătratul și diagonala lui

    Pătratul ABCDABCD are diagonala AC=52AC = 5\sqrt{2} cm. Calculează lungimea laturii, perimetrul și aria pătratului.

  2. 2.Rombul din latură și o diagonală

    Rombul ABCDABCD are latura AB=10AB = 10 cm și diagonala AC=12AC = 12 cm. Calculează diagonala BDBD și aria rombului.

  3. 3.Înălțimea, aria și perimetrul unui trapez isoscel

    Trapezul isoscel ABCDABCD are bazele AB=16AB = 16 cm și CD=6CD = 6 cm, iar laturile neparalele au câte 1313 cm. Calculează înălțimea, aria și perimetrul trapezului.
    ABCDE16 cm6 cm13 cm

  4. 4.Aria unui paralelogram în două feluri

    Paralelogramul ABCDABCD are AB=12AB = 12 cm, AD=8AD = 8 cm, iar distanța de la DD la dreapta ABAB este 55 cm. Calculează aria și distanța de la BB la dreapta ADAD.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al II-lea, 4

Întrebarea 4. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=3⋅BCAB = 3 \cdot BC. Perimetrul dreptunghiului ABCDABCD este egal cu 3232 cm. Aria dreptunghiului ABCDABCD este egală cu:
ABCD

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 4 (varianta 7). Răspuns după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al III-lea, 5.a)

Problema 5.a) (0–2 p)

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCDABCD, cu AB∥DCAB \parallel DC, ∢DAB=\sphericalangle DAB ={}90∘ 90^\circ, AB=8AB = 8 cm și AD=DC=4AD = DC = 4 cm. Punctul MM este mijlocul segmentului DCDC și PP este punctul de intersecție a dreptelor AMAM și BDBD. a) Arată că BC=42BC = 4\sqrt{2} cm.ABCDMP

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 5.a) (varianta 7). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=BC+6AB = BC + 6 cm. Perimetrul dreptunghiului ABCDABCD este egal cu 3636 cm. Aria dreptunghiului ABCDABCD este egală cu:
ABCD

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat rombul ABCDABCD, cu diagonalele AC=42AC = 42 cm și BD=40BD = 40 cm, care se intersectează în punctul OO. Perimetrul rombului ABCDABCD este egal cu:
ABCDO

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 3. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCDABCD, cu bazele AB=24AB = 24 cm și CD=8CD = 8 cm. Punctele MM și NN sunt mijloacele laturilor ADAD, respectiv BCBC. Lungimea segmentului MNMN este egală cu:
ABCDMN

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 4. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu diagonala BDBD perpendiculară pe latura BCBC și BD⋅BC=12BD \cdot BC = 12 cm². Aria paralelogramului ABCDABCD este egală cu:
ADBC

Subiectul al II-lea, 4, din Evaluarea Națională 2026, matematică (CNCE, sesiunea iunie, varianta 1) — explicație Kleksa

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Calculezi aria paralelogramului ca produs al laturilor vecine. Aria este bază ori înălțime, iar înălțimea este perpendiculara pe bază, nu latura oblică. Produsul laturilor vecine este aria unui dreptunghi, nu a unui paralelogram înclinat.
  • Folosești pentru trapez B+b2\dfrac{B + b}{2} ca arie, sau uiți să împarți la 22. Media bazelor este lungimea liniei mijlocii; aria se obține înmulțind-o cu înălțimea. Atenție și la înălțime: nu este latura neparalelă.
  • Atribui oricărui paralelogram proprietăți pe care le au doar cele particulare. Diagonalele sunt egale doar la dreptunghi (și la pătrat), perpendiculare doar la romb (și la pătrat). La un paralelogram oarecare ele se înjumătățesc și atât.
  • Scrii linia mijlocie a trapezului ca B−b2\dfrac{B - b}{2}. Se adună bazele: B+b2\dfrac{B + b}{2}. Diferența bazelor, împărțită la doi, dă segmentul pe care înălțimea îl taie din baza mare într-un trapez isoscel.
  • Amesteci perimetrul cu aria sau pierzi unitatea. Perimetrul se exprimă în cm, aria în cm², iar „4848 cm” scris pentru o arie este un răspuns greșit.

Reține

  • Patrulater convex: suma unghiurilor 360∘360^\circ. Paralelogram: A=\mathcal{A} ={}b⋅h b \cdot h, diagonalele se înjumătățesc.
  • Dreptunghi: A=\mathcal{A} ={}L⋅l L \cdot l, diagonale egale. Pătrat: A=l2\mathcal{A} = l^2, d=l2d = l\sqrt{2}.
  • Romb: A=\mathcal{A} ={}d1⋅d22 \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}, diagonale perpendiculare care se înjumătățesc.
  • Trapez: A=\mathcal{A} ={}(B+b)⋅h2 \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}, linia mijlocie B+b2\dfrac{B + b}{2}.
  • Linia mijlocie în triunghi: paralelă cu a treia latură, de lungime latura2\dfrac{\text{latura}}{2}.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Care sunt formulele de arie pentru patrulatere?+
    Răspuns:Paralelogram: bază ori înălțime. Dreptunghi: lungime ori lățime. Pătrat: latura la pătrat. Romb: jumătate din produsul diagonalelor sau bază ori înălțime. Trapez: suma bazelor ori înălțimea, împărțită la doi. Alegi formula după ce date ai: laturi, diagonale sau înălțime.
  2. 2.Ce proprietăți are paralelogramul?+
    Răspuns:Laturile opuse sunt paralele și egale, unghiurile opuse sunt egale, iar unghiurile alăturate unei laturi sunt suplementare. Diagonalele se înjumătățesc, adică se taie în mijlocul fiecăreia. Reciproc, un patrulater cu diagonalele care se înjumătățesc este paralelogram.
  3. 3.Cum recunosc un romb și cum îi calculez aria?+
    Răspuns:Rombul are toate laturile egale; diagonalele lui sunt perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor. Dacă îi știi diagonalele, aria este jumătate din produsul lor. Dacă știi o diagonală și latura, afli cealaltă diagonală cu teorema lui Pitagora într-unul dintre cele patru triunghiuri dreptunghice.
  4. 4.Ce este linia mijlocie într-un trapez?+
    Răspuns:Este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. Este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor, B+b2\dfrac{B + b}{2}. Aria trapezului este lungimea liniei mijlocii înmulțită cu înălțimea.
  5. 5.Cum arată patrulaterele la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026, itemul 4 al subiectului al II-lea a fost în fiecare an un patrulater: un pătrat, un paralelogram, un dreptunghi și iar un paralelogram. În subiectul al III-lea, în problemele 4 și 5, au apărut în 2023, 2025 și 2026 două trapeze dreptunghice, un dreptunghi, un pătrat și un paralelogram.
  6. 6.Cum aflu înălțimea unui trapez isoscel?+
    Răspuns:Duci înălțimile din cele două vârfuri ale bazei mici. Ele taie din baza mare două segmente egale, fiecare de lungime B−b2\dfrac{B - b}{2}. Într-unul dintre triunghiurile dreptunghice formate, cunoști ipotenuza (latura neparalelă) și o catetă, iar înălțimea o afli cu teorema lui Pitagora.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.