Czym różni się moment siły od siły?

Siła zmienia ruch postępowy, a moment siły M = rF sin∠(r, F) zmienia ruch obrotowy wokół osi. Ten sam moment możesz dostać małą siłą na dużym ramieniu albo dużą siłą na małym ramieniu, dlatego dłuższy klucz ułatwia odkręcanie nakrętki.

Od czego zależy moment bezwładności?

Od masy, od rozkładu masy względem osi i od wyboru osi: I = Σ mᵢrᵢ². Przy tej samej masie i tym samym promieniu rura ma większy moment bezwładności niż pełny walec, bo jej masa leży dalej od osi. Dla tego samego ciała każda oś daje inną wartość I.

Dlaczego pełny walec stacza się szybciej niż rura?

Oba tracą tę samą energię potencjalną, ale u rury większa część energii kinetycznej idzie na obrót, bo jej współczynnik k jest większy. Z a = (g sin β)/(1 + k) większe k daje mniejsze przyśpieszenie, więc rura jest wolniejsza, choć masy i promienie są równe.

Co oznacza toczenie bez poślizgu?

Punkt walca stykający się z podłożem ma w danej chwili prędkość równą zeru względem podłoża, więc v = ωR i a = εR. Tarcie statyczne nie wykonuje wtedy pracy, więc nie zmienia energii mechanicznej walca, choć ma wpływ na jego ruch.

Kiedy moment pędu jest zachowany?

Gdy suma momentów sił zewnętrznych względem osi jest równa zeru, na przykład gdy na układ nie działają siły zewnętrzne albo ich momenty się równoważą. Wtedy Iω jest stałe: łyżwiarka, która zmniejsza swój moment bezwładności, kręci się szybciej.

Matura 2027 · fizyka, poziom rozszerzony

Bryła sztywna: moment siły, moment bezwładności, ruch obrotowy i moment pędu

Podstawa programowa wymaga, żebyś wyznaczał położenie środka masy układu ciał, opisywał ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi, stosował warunki statyki i pojęcie momentu siły, stosował zasady dynamiki dla ruchu obrotowego z momentem bezwładności i przyśpieszeniem kątowym, obliczał energię ruchu obrotowego i toczenia, posługiwał się momentem pędu i stosował zasadę jego zachowania. Tak przygotujesz się do tej części matury z fizyki na poziomie rozszerzonym.

Na maturze 2023–2026: w każdej z 4 sesji, zadań: 8.

Podstawa programowa: fizyka

Podstawa programowa (zakres rozszerzony): dział III „Mechanika bryły sztywnej”, pkt 1–7

Pokaż wymagania

III.1wyznacza położenie środka masy układu ciał;
III.2stosuje pojęcie bryły sztywnej; opisuje ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi;
III.3stosuje warunki statyki bryły sztywnej; posługuje się pojęciem momentu sił wraz z jednostką;
III.4stosuje zasady dynamiki dla ruchu obrotowego; posługuje się pojęciami przyspieszenia kątowego oraz momentu bezwładności jako wielkości zależnej od rozkładu mas, wraz z ich jednostkami;
III.5oblicza energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej dookoła nieruchomej osi przy zadanym momencie bezwładności względem tej osi; oblicza energię ruchu bryły sztywnej jako sumę energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy;
III.6posługuje się pojęciem momentu pędu punktu materialnego i bryły; stosuje do obliczeń związek między momentem pędu i prędkością kątową;
III.7stosuje zasadę zachowania momentu pędu;

Dz.U. 2024 poz. 1019 · w arkuszach 2023–2026: w każdej z 4 sesji

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

W skrócie

najważniejsze w kilku zdaniach

Bryła sztywna zachowuje odległości między punktami; przy obrocie wokół osi wszystkie punkty mają tę samą prędkość kątową $\omega$ , a $v = \omega r$ .
Moment siły $M ={}$ $rF\sin\angle(\vec{r}, \vec{F})$ ; w równowadze suma sił i suma momentów sił są równe zeru.
Ruch obrotowy opisuje $I\varepsilon = M$ , gdzie $I = \sum m_i r_i^2$ zależy od rozkładu masy względem osi.
Toczenie bez poślizgu to $v = \omega R$ i energia kinetyczna $\frac{1}{2}mv^2 +{}$ $\frac{1}{2}I\omega^2 ={}$ $\frac{1}{2}mv^2(1 + k)$ , gdzie $I = kmR^2$ .
Moment pędu bryły $L = I\omega$ jest zachowany, gdy suma momentów sił zewnętrznych względem osi jest równa zeru.

Egzamin maturalny z fizyki na poziomie rozszerzonym trwa 180 minut; za cały arkusz można uzyskać 60 punktów. Zadania zamknięte dają około 20% punktów, otwarte — około 80%; za zadanie otwarte można otrzymać od 1 do 4 punktów. Podczas egzaminu korzystasz z linijki, kalkulatora naukowego i „Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych”.

Bryła sztywna i środek masy

Bryła sztywna to ciało, w którym odległości między dowolnymi dwoma punktami się nie zmieniają. Gdy taka bryła obraca się wokół osi, każdy jej punkt zakreśla okrąg o środku na osi, z tą samą prędkością kątową $\omega$ i prędkością liniową $v = \omega r$ , która rośnie z odległością od osi. Ruch dowolnej bryły możesz rozłożyć na ruch postępowy środka masy i obrót wokół osi przechodzącej przez ten środek.

Położenie środka masy układu punktów materialnych na prostej to średnia ważona ich położeń: $x_{sm} ={}$ $\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \ldots}{m_1 + m_2 + \ldots}$ . Dla ciała $2{,}0\ \mathrm{kg}$ w punkcie $x = 0$ i ciała $0{,}50\ \mathrm{kg}$ w punkcie $x = 1{,}5\ \mathrm{m}$ otrzymujesz $x_{sm} ={}$ $\frac{0{,}50 \cdot 1{,}5}{2{,}5}\ \mathrm{m} ={}$ $0{,}30\ \mathrm{m}$ , czyli bliżej cięższego ciała. Środek masy jednorodnego ciała z osią symetrii leży na tej osi.

Moment siły i warunki statyki

Moment siły względem osi to $M ={}$ $rF\sin\angle(\vec{r}, \vec{F})$ , w $\mathrm{N \cdot m}$ ; gdy siła tworzy z promieniem wodzącym kąt prosty, jest to iloczyn siły i ramienia. Bryła sztywna pozostaje w spoczynku, gdy suma sił zewnętrznych jest równa zeru i suma momentów sił względem dowolnej osi też jest równa zeru. Oś bilansu momentów wybierz przez punkt przyłożenia niewiadomej siły: jej moment wypada z równania.

Jednorodna belka o długości $4{,}0\ \mathrm{m}$ i masie $20\ \mathrm{kg}$ leży na podporach na końcach, a w odległości $1{,}0\ \mathrm{m}$ od lewego końca stoi na niej ciężar o masie $60\ \mathrm{kg}$ . Względem prawego końca $R_1 \cdot 4{,}0\ \mathrm{m} ={}$ $Q_1 \cdot 2{,}0\ \mathrm{m} +{}$ $Q_2 \cdot 3{,}0\ \mathrm{m}$ , stąd $R_1 \approx 540\ \mathrm{N}$ , a z równowagi sił $R_2 ={}$ $Q_1 +{}$ $Q_2 -{}$ $R_1 \approx 245\ \mathrm{N}$ .

Moment bezwładności i II zasada dynamiki ruchu obrotowego

Moment bezwładności układu punktów względem osi to $I = \sum m_i r_i^2$ , w $\mathrm{kg \cdot m^2}$ . Zależy od rozkładu masy: im dalej od osi leży masa, tym większy jest moment bezwładności przy tej samej masie. II zasada dynamiki ruchu obrotowego ma postać $I\varepsilon = M$ , gdzie przyśpieszenie kątowe $\varepsilon = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ jest w $\mathrm{rad/s^2}$ . Dla bryły o osi symetrii moment bezwładności zapisujesz jako $I = kmR^2$ ze współczynnikiem $k$ zależnym od kształtu. W cienkościennej rurze cała masa leży w odległości $R$ od osi, więc z definicji $k = 1$ ; dla pełnego walca zadania CKE podają $I = \frac{1}{2}mR^2$ .

Tarcza o masie $4{,}0\ \mathrm{kg}$ i promieniu $0{,}25\ \mathrm{m}$ ma $I ={}$ $\frac{1}{2}mR^2 ={}$ $0{,}125\ \mathrm{kg \cdot m^2}$ . Stały moment siły $2{,}5\ \mathrm{N \cdot m}$ nadaje jej przyśpieszenie kątowe $\varepsilon = \frac{M}{I} ={}$ $20\ \mathrm{rad/s^2}$ . Zwróć uwagę, że wartość $I$ musisz brać względem tej samej osi, względem której liczysz moment siły.

Bryła (oś symetrii)	Moment bezwładności	Współczynnik $k$
Cienkościenna rura	$I = mR^2$	$1$
Pełny walec	$I = \frac{1}{2}mR^2$	$\frac{1}{2}$

Energia ruchu obrotowego i toczenie bez poślizgu

Energia kinetyczna obrotu wokół osi to $E_{kin} ={}$ $\frac{1}{2}I\omega^2$ . Walec toczący się bez poślizgu ma prędkość kątową $\omega = \frac{v}{R}$ , więc jego całkowita energia kinetyczna, suma ruchu postępowego środka masy i obrotu wokół osi przez ten środek, wynosi $\frac{1}{2}mv^2 +{}$ $\frac{1}{2}kmv^2 ={}$ $\frac{1}{2}mv^2(1 + k)$ . Tarcie statyczne nie wykonuje wtedy pracy, więc energia mechaniczna jest zachowana.

Zasada zachowania energii przy staczaniu z wysokości $h$ daje $v^2 = \frac{2gh}{1 + k}$ , a dla równi o kącie $\beta$ przyśpieszenie $a ={}$ $\frac{g\sin\beta}{1 + k}$ . Z wysokości $0{,}50\ \mathrm{m}$ pełny walec ( $k = \frac{1}{2}$ ) osiąga $2{,}56\ \mathrm{m/s}$ i $\frac{2}{3}$ jego energii to ruch postępowy, a rura ( $k = 1$ ) tylko $2{,}21\ \mathrm{m/s}$ i połowę. Ciało zsuwające się bez tarcia, bez obrotu, miałoby $3{,}13\ \mathrm{m/s}$ .

Moment pędu i jego zachowanie

Moment pędu punktu materialnego to $L ={}$ $rp\sin\angle(\vec{r}, \vec{p})$ , a bryły obracającej się wokół osi $L = I\omega$ . Jeśli suma momentów sił zewnętrznych względem osi jest równa zeru, moment pędu się nie zmienia: $I_1\omega_1 ={}$ $I_2\omega_2$ . Gdy zmniejszasz moment bezwładności, prędkość kątowa rośnie. Tak działa łyżwiarka przyciągająca ramiona i osoba na obrotowym krześle, która zbliża do siebie trzymane w rękach ciężarki: to demonstracja zasady zachowania momentu pędu.

Osoba na krześle ma z wyciągniętymi ramionami $I_1 ={}$ $2{,}4\ \mathrm{kg \cdot m^2}$ i obraca się z $\omega_1 ={}$ $1{,}5\ \mathrm{rad/s}$ , czyli $L ={}$ $3{,}6\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$ . Po przyciągnięciu ciężarków $I_2 ={}$ $1{,}6\ \mathrm{kg \cdot m^2}$ , więc $\omega_2 ={}$ $\frac{L}{I_2} ={}$ $2{,}25\ \mathrm{rad/s}$ . Energia kinetyczna wzrosła z $2{,}7\ \mathrm{J}$ do $4{,}05\ \mathrm{J}$ kosztem pracy mięśni, bo zachowany jest moment pędu, nie energia.

Doświadczenie

pomiar i wniosek

Doświadczenie z tego działu: cel, przyrządy, przebieg, pomiary, opracowanie wyników z niepewnością i wniosek.

Cel doświadczenia: Sprawdzasz, jak moment bezwładności wpływa na ruch toczących się ciał, i wyznaczasz współczynnik $k$ cienkościennej rury, porównując czasy staczania rury i pełnego walca po tej samej równi.
Przyrządy: Równia pochyła o długości $s ={}$ $1{,}200\ \mathrm{m}$ , pełny walec i cienkościenna rura o tej samej masie i tym samym promieniu, taśma miernicza (rozdzielczość 1 mm), stoper (rozdzielczość 0,01 s).
Przebieg: Taśmą mierzysz długość równi $s$ i wysokość jej górnego końca nad podstawą $h ={}$ $0{,}150\ \mathrm{m}$ . Pełny walec układasz na szczycie, puszczasz bez prędkości początkowej i mierzysz stoperem czas staczania się bez poślizgu na całej długości równi. Pomiar powtarzasz pięć razy. To samo robisz dla rury, a potem wyznaczasz średnie czasy.

Wyniki pomiarów

Nr	$t$ walca, s	$t$ rury, s
1	1,71	1,97
2	1,73	1,99
3	1,70	1,98
4	1,72	1,96
5	1,71	1,98
średnia	1,714	1,976

Opracowanie wyników: Dla ciała staczającego się bez poślizgu $a ={}$ $\frac{g\sin\beta}{1 + k}$ , a z ruchu od spoczynku $s = \frac{1}{2}at^2$ , więc $t^2 ={}$ $\frac{2s(1 + k)}{g\sin\beta}$ . Długość $s$ i kąt $\beta$ są dla obu ciał jednakowe, zatem $\frac{t_2^2}{t_1^2} ={}$ $\frac{1 + k_2}{1 + k_1}$ . Dla pełnego walca $k_1 = \frac{1}{2}$ , stąd $k_2 ={}$ $\frac{3}{2} \cdot \frac{t_2^2}{t_1^2} -{}$ $1 ={}$ $0{,}99$ dla średnich czasów z tabeli.
Niepewność pomiaru: Połowa rozrzutu pięciu czasów, zaokrąglona w górę, wynosi $0{,}02\ \mathrm{s}$ dla obu ciał, więc $t_1 ={}$ $(1{,}71 \pm 0{,}02)\ \mathrm{s}$ dla pełnego walca i $t_2 ={}$ $(1{,}98 \pm 0{,}02)\ \mathrm{s}$ dla rury.
Wniosek: Rura stacza się dłużej niż pełny walec o tej samej masie i promieniu, a z ilorazu kwadratów średnich czasów otrzymujesz $k_2 \approx 0{,}99$ , czyli wartość bliską $1$ , jakiej oczekujesz dla cienkościennej rury. Drugiej cyfry po przecinku nie traktuj jako pewnej: czasy znasz tylko z niepewnością $0{,}02\ \mathrm{s}$ . Większy moment bezwładności oznacza mniejsze przyśpieszenie.
Uwaga: Wzór zakłada toczenie bez poślizgu i pomijalny opór toczenia. Wszystkie wyniki pomiarów w tabeli to dane umowne.

Doświadczenia, które podstawa programowa wymienia w tym dziale:

III.8.ademonstruje zasadę zachowania momentu pędu
III.8.bbada ruch ciał o różnych momentach bezwładności

Pojęcia

bryła sztywna: Ciało, w którym odległości między dowolnymi dwoma punktami pozostają stałe podczas ruchu.
środek masy: Punkt, w którym można myśleć o skupionej całej masie układu: średnia ważona położeń mas, $x_{sm} ={}$ $\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$ .
moment siły: Wielkość $M ={}$ $rF\sin\angle(\vec{r}, \vec{F})$ opisująca obrotowe działanie siły względem osi; jednostką jest $\mathrm{N \cdot m}$ .
moment bezwładności: Miara bezwładności w ruchu obrotowym, $I = \sum m_ir_i^2$ , zależna od rozkładu masy względem osi; jednostką jest $\mathrm{kg \cdot m^2}$ .
przyśpieszenie kątowe: Szybkość zmian prędkości kątowej, $\varepsilon = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ , w $\mathrm{rad/s^2}$ .
moment pędu: Wielkość opisująca ruch obrotowy względem osi lub punktu; dla bryły obracającej się wokół osi $L = I\omega$ , a jednostką jest $\mathrm{kg \cdot m^2/s}$ .
zasada zachowania momentu pędu: Gdy suma momentów sił zewnętrznych względem osi jest równa zeru, moment pędu układu względem tej osi się nie zmienia.

Zadanie z matury

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo, z materiałem źródłowym. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do wyjaśnienia.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2025, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 2.1

Zadanie 2.1. (0–2)

Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie (zobacz rysunek poniżej). Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi

\beta

. Przyjmij następujące dane: • promienie walców są sobie równe:

R_1 = R_2 = R

• masy walców są sobie równe:

m_1 = m_2 = m

(walce wykonano z różnych materiałów) • momenty bezwładności walców W1 i W2 względem osi każdego z nich wyrażają się – odpowiednio – wzorami:

I_1 ={}

k_1 m R^2 \qquad \text{oraz} \qquad I_2 ={}

k_2 m R^2

gdzie

k_1

k_2

są pewnymi współczynnikami oraz

k_1 \neq k_2

. Rysunek (widok z boku)Uwzględnij następujące założenia i warunki: • siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych • pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu • ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

k_2 > k_1

U podnóża równi całkowite energie kinetyczne walców W1 i W2 są sobie równe.

U podnóża równi wartość prędkości ruchu postępowego walca W1 jest mniejsza od wartości prędkości ruchu postępowego walca W2.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2025, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2505), zadanie 2.1. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 2.2

Zadanie 2.2. (0–3)

Jednorodny walec o masie

m = 10\ \mathrm{kg}

i promieniu

R

był ciągnięty siłą o wartości

F = 30\ \mathrm{N}

po płaskiej poziomej powierzchni. Siła

\vec{F}

była przyłożona poziomo do uchwytu i prostopadle do osi obrotu walca (zobacz rysunki 1.–3.). Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym: • walec toczył się bez poślizgu • w kierunku poziomym na walec działały tylko: stała siła tarcia statycznego

\vec{T}

oraz siła

\vec{F}

• siła tarcia

\vec{T}

między walcem a powierzchnią nie osiągnęła wartości maksymalnej • pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu • moment bezwładności walca względem jego osi obrotu – będącej osią symetrii walca – wyraża się wzorem:

I_0 = \frac{1}{2}mR^2

• ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym • pomijamy masę osi obrotu walca i masę jej uchwytu.Oblicz wartość przyśpieszenia (liniowego) środka masy walca. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2024, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2405), zadanie 2.2. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Dla sposobu 1.: poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem osi symetrii, oraz zapisanie wartości siły wypadkowej jako F_w = F − T lub zapisanie wzoru na moment siły tarcia M = RT, np. zapisy równoważne poniższym: ma = F − T oraz Iε = M albo ma = F_w oraz Iε = RT. ALBO dla sposobu 2.: poprawne zapisanie równania ruchu (z uwzględnieniem wzoru na moment siły) wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od I₀, np. zapisy równoważne poniższym: I_chw·ε = RF. ALBO dla sposobu 3.: zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy mechanicznej całkowitej i zmianie energii kinetycznej całkowitej oraz zastosowanie/wykorzystanie wyrażenia na tę pracę całkowitą (równą pracy siły F⃗), oraz wyodrębnienie w tym równaniu energii kinetycznych ruchu postępowego walca i energii kinetycznej ruchu obrotowego walca, np. zapisy równoważne poniższym: Fs = ΔE_kin post + ΔE_kin obr LUB zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy siły wypadkowej i zmianie energii kinetycznej ruchu postępowego oraz zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy wypadkowego momentu sił i zmianie energii kinetycznej ruchu obrotowego, oraz zapisanie/wykorzystanie wyrażeń definiujących pracę siły wypadkowej i pracę wypadkowego momentu siły, np. zapisy równoważne poniższym: (F − T)s = ΔE_kin post oraz RT·α = ΔE_kin obr.1 pkt
Dla sposobu 1.: poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca, oraz uwzględnienie wartości F i T sił F⃗, T⃗ w obu równaniach ruchu, oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym walca, np. zapisy równoważne poniższym: ma = F − T oraz I·a/R = RT. ALBO dla sposobu 2.: poprawne zapisanie równania ruchu (z uwzględnieniem siły F⃗) wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym walca, oraz uwzględnienie związku między momentem bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu a I₀, np. zapisy równoważne poniższym: I_chw·a/R = RF oraz I_chw = I₀ + mR². ALBO dla sposobu 3.: zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy mechanicznej całkowitej i zmianie energii kinetycznej całkowitej oraz zastosowanie/wykorzystanie wyrażenia na tę pracę całkowitą (równą pracy siły F⃗), oraz zastosowanie/wykorzystanie w tym równaniu wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i energię kinetyczną ruchu obrotowego walca, oraz wykorzystanie związku między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu), np. zapisy równoważne poniższym: Fs = 1/2·mv² + 1/2·I₀ω² oraz v = ωR albo w jednym równaniu Fs = 1/2·mv² + 1/2·I₀·v²/R² LUB zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy mechanicznej całkowitej i zmianie energii kinetycznej całkowitej oraz zastosowanie/wykorzystanie wyrażenia na tę pracę całkowitą (równą pracy siły F⃗), oraz zastosowanie/wykorzystanie w tym równaniu wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i energię kinetyczną ruchu obrotowego walca, oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej, np. zapisy równoważne poniższym: Fs = 1/2·mv² + 1/2·I₀ω² oraz 2as = v² albo w jednym równaniu F·v²/(2a) = 1/2·mv² + 1/2·I₀ω².1 pkt
Dla sposobu 1., sposobu 2. i sposobu 3.: poprawna metoda obliczenia wartości przyśpieszenia liniowego walca oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: a = 2 m/s².1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Na walec w kierunku poziomym działają siła

\vec{F}

(przyłożona do osi, w środku masy) i siła tarcia statycznego

\vec{T}

(na obwodzie, przeciwnie do

\vec{F}

). II zasada dynamiki dla ruchu postępowego i dla ruchu obrotowego względem osi walca:

ma ={}

F -{}

T \qquad I_0\varepsilon = RT

Toczenie bez poślizgu:

a = \varepsilon R

, a

I_0 = \frac{1}{2}mR^2

, więc

\frac{1}{2}mR^2 \cdot \frac{a}{R} ={}

RT

, czyli

T = \frac{1}{2}ma

Stąd

ma = F - \frac{1}{2}ma

, czyli

a ={}

\frac{2}{3} \cdot \frac{F}{m} ={}

\frac{2}{3} \cdot \frac{30\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{kg}} ={}

2\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}

Wyjaśnienie od Kleksy

Dane:

m = 10\ \mathrm{kg}

F = 30\ \mathrm{N}

I_0 = \frac{1}{2}mR^2

. Siła

\vec{F}

jest przyłożona do osi walca, a siła tarcia statycznego

\vec{T}

działa na obwodzie, przeciwnie do

\vec{F}

; jej wartość jest niewiadomą, bo nie osiągnęła wartości maksymalnej.

Zapisujesz dwa równania: dla ruchu postępowego

ma = F - T

i dla obrotu wokół osi

I_0\varepsilon = RT

. Toczenie bez poślizgu daje

a = \varepsilon R

, więc z drugiego równania

\frac{1}{2}mR^2 \cdot \frac{a}{R} ={}

RT

, czyli

T = \frac{1}{2}ma

. Po podstawieniu do pierwszego

ma = F - \frac{1}{2}ma

, skąd

a = \frac{2F}{3m}

Według zasad oceniania CKE: 3 punkty — pierwszy za oba równania ruchu, postępowego i obrotowego, drugi za uwzględnienie w nich

F

T

oraz związku przyśpieszenia liniowego z kątowym, trzeci za wynik z jednostką. CKE uznaje też metodę z zasady zachowania energii lub z chwilowej osi obrotu.

Przykładowe rozwiązanie:

ma = F - T

oraz

\frac{1}{2}mR^2 \cdot \frac{a}{R} ={}

RT

, czyli

T = \frac{1}{2}ma

. Stąd

a = \frac{2F}{3m}

, czyli

a ={}

\frac{2 \cdot 30\ \mathrm{N}}{3 \cdot 10\ \mathrm{kg}} ={}

2\ \mathrm{m/s^2}

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz lub wpisz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie. Jak ocenia CKE: rozwiązanie zadania otwartego ocenia się etapami — za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów, więc niedokończone obliczenie też warto zapisać. Wynik bez jednostki albo z błędną jednostką nie daje maksymalnej liczby punktów, a gdy polecenie podaje liczbę cyfr znaczących, wynik musi ją mieć.

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. Pełny jednorodny walec, którego masa wynosi

6{,}0\ \mathrm{kg}

, a promień

0{,}20\ \mathrm{m}

, może obracać się bez tarcia wokół swojej osi symetrii, a jego moment bezwładności względem tej osi wynosi

I = \frac{1}{2}mR^2

. Do walca przyłożono stały moment siły

0{,}90\ \mathrm{N \cdot m}

względem tej osi. Przyśpieszenie kątowe walca, zaokrąglone do dwóch cyfr znaczących, jest równe

\varepsilon = \ldots\ldots

rad/s²

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cztery jednakowe kulki o masie

0{,}20\ \mathrm{kg}

każda, traktowane jak punkty materialne, umieszczono w wierzchołkach kwadratu o boku

0{,}40\ \mathrm{m}

i połączono nieważkimi prętami. Moment bezwładności tego układu względem osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jego środek jest równy

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1. albo 2.

Pozioma tarcza obraca się swobodnie, bez tarcia, wokół pionowej osi. Na tarczę spada pionowo kawałek plasteliny i przykleja się do niej z dala od osi. Moment pędu układu tarcza–plastelina względem osi obrotu , a energia kinetyczna ruchu obrotowego układu .

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Siłą o stałej wartości, prostopadłą do klucza, działasz najpierw na końcu klucza, a potem w połowie jego długości. Moment siły względem osi nakrętki w drugim przypadku jest

ponieważ

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z maja 2026 roku

Częste pomyłki

tu najłatwiej stracić punkt

Liczenie momentu siły jako samej siły albo jej iloczynu z odległością od punktu przyłożenia do osi, gdy siła nie jest prostopadła do promienia. Trzeba wziąć ramię siły, czyli $r\sin\angle(\vec{r}, \vec{F})$ .
Pominięcie kwadratu odległości we wzorze na moment bezwładności albo użycie odległości od złej osi. Wartość $I$ zależy od osi i od $r^2$ , nie od $r$ .
Przyjęcie w toczeniu bez poślizgu całej energii jako energii ruchu postępowego. Część energii jest energią obrotu, a jej udział zależy od współczynnika $k$ .
Mylenie zachowania momentu pędu z zachowaniem energii kinetycznej. Gdy zmieniasz moment bezwładności układu swobodnego, moment pędu pozostaje stały, a energia kinetyczna się zmienia.

Zapamiętaj

Moment siły: $M ={}$ $rF\sin\angle(\vec{r}, \vec{F})$ ; równowaga: $\sum \vec{F} = 0$ i $\sum M = 0$ .
Ruch obrotowy: $I\varepsilon = M$ , $I = \sum m_ir_i^2$ .
Energia obrotu: $\frac{1}{2}I\omega^2$ ; toczenie: $\frac{1}{2}mv^2(1 + k)$ przy $v = \omega R$ .
Moment pędu: $L = I\omega$ , zachowany, gdy zewnętrzny moment siły jest równy zeru.
Z równi: $a ={}$ $\frac{g\sin\beta}{1 + k}$ ; im większe $k$ , tym wolniej.

Pytania i odpowiedzi

1.Czym różni się moment siły od siły?+
Odp.:Siła zmienia ruch postępowy, a moment siły $M ={}$ $rF\sin\angle(\vec{r}, \vec{F})$ zmienia ruch obrotowy wokół osi. Ten sam moment możesz dostać małą siłą na dużym ramieniu albo dużą siłą na małym ramieniu, dlatego dłuższy klucz ułatwia odkręcanie nakrętki.
2.Od czego zależy moment bezwładności?+
Odp.:Od masy, od rozkładu masy względem osi i od wyboru osi: $I = \sum m_ir_i^2$ . Przy tej samej masie i tym samym promieniu rura ma większy moment bezwładności niż pełny walec, bo jej masa leży dalej od osi. Dla tego samego ciała każda oś daje inną wartość $I$ .
3.Dlaczego pełny walec stacza się szybciej niż rura?+
Odp.:Oba tracą tę samą energię potencjalną, ale u rury większa część energii kinetycznej idzie na obrót, bo jej współczynnik $k$ jest większy. Z $a ={}$ $\frac{g\sin\beta}{1 + k}$ większe $k$ daje mniejsze przyśpieszenie, więc rura jest wolniejsza, choć masy i promienie są równe.
4.Co oznacza toczenie bez poślizgu?+
Odp.:Punkt walca stykający się z podłożem ma w danej chwili prędkość równą zeru względem podłoża, więc $v = \omega R$ i $a = \varepsilon R$ . Tarcie statyczne nie wykonuje wtedy pracy, więc nie zmienia energii mechanicznej walca, choć ma wpływ na jego ruch.
5.Kiedy moment pędu jest zachowany?+
Odp.:Gdy suma momentów sił zewnętrznych względem osi jest równa zeru, na przykład gdy na układ nie działają siły zewnętrzne albo ich momenty się równoważą. Wtedy $I\omega$ jest stałe: łyżwiarka, która zmniejsza swój moment bezwładności, kręci się szybciej.

Zobacz też

Wszystkie tematy matury z fizyki

Źródła

Serwis nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania oznaczone „CKE” pochodzą z arkuszy CKE; objaśnienia do nich i pozostałe zadania na stronie napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury z fizyki (poziom rozszerzony) z maja 2026 roku – 180 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i to, w którym dziale tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo