Co to jest funkcja wykładnicza?

To funkcja $f(x) = a^x$, w której podstawa $a$ jest stałą liczbą dodatnią różną od $1$, a zmienna $x$ stoi w wykładniku. Jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a zbiorem wartości przedział $(0, +\infty)$. Wykres przechodzi przez punkt $(0, 1)$ i leży nad osią $Ox$.

Kiedy funkcja wykładnicza jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Decyduje podstawa. Gdy $a > 1$, funkcja rośnie: większemu $x$ odpowiada większa wartość. Gdy $0 < a < 1$, funkcja maleje. Dlatego $2^x$ rośnie, a $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ maleje. Pamiętaj, że przy podstawie mniejszej od $1$ nierówność między wykładnikami zmienia kierunek.

Czy funkcja wykładnicza ma miejsce zerowe?

Nie. Potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, więc równanie $a^x = 0$ nie ma rozwiązań. Wykres zbliża się do osi $Ox$, ale jej nie przecina. Miejsce zerowe ma natomiast funkcja logarytmiczna $\log_a x$: jest nim $x = 1$.

Jaki jest związek funkcji wykładniczej z logarytmiczną?

Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania: $\log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c = b$. Dlatego jeśli punkt $(p, q)$ leży na wykresie $y = a^x$, to punkt $(q, p)$ leży na wykresie $y = \log_a x$. Z równania $2^t = 64$ dostajesz $t = \log_2 64 = 6$.

Dlaczego podstawa nie może być równa 1 ani ujemna?

Dla $a = 1$ każda potęga $1^x$ jest równa $1$, więc nie dostajesz funkcji wykładniczej, tylko stałą. Dla ujemnej podstawy potęga o niecałkowitym wykładniku nie jest określona w liczbach rzeczywistych, na przykład $(-4)^{\frac{1}{2}}$. Dlatego zakładamy $a > 0$ i $a \neq 1$.

Jak policzyć wartość po kilku okresach wzrostu lub spadku o procent?

Pomnóż wartość początkową przez mnożnik podniesiony do liczby okresów. Samochód wart $10\,000$ zł, który co roku traci $10\%$ wartości, po trzech latach jest wart $10\,000 \cdot 0{,}9^3 = 7\,290$ zł. Dla wzrostu o $10\%$ mnożnikiem byłoby $1{,}1$.

Czy na karcie wzorów jest wykres funkcji wykładniczej?

Nie. Broszura CKE podaje definicje, prawa działań na potęgach, monotoniczność potęgi $a^x$ i wzory na logarytmy, ale nie ma w niej żadnego wykresu. Kształt wykresu i to, kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje, musisz znać z nauki.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Q: Czy funkcja wykładnicza ma miejsce zerowe?

Nie. Potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, więc równanie $a^x = 0$ nie ma rozwiązań. Wykres zbliża się do osi $Ox$, ale jej nie przecina. Miejsce zerowe ma natomiast funkcja logarytmiczna $\log_a x$: jest nim $x = 1$.

Q: Jaki jest związek funkcji wykładniczej z logarytmiczną?

Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania: $\log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c = b$. Dlatego jeśli punkt $(p, q)$ leży na wykresie $y = a^x$, to punkt $(q, p)$ leży na wykresie $y = \log_a x$. Z równania $2^t = 64$ dostajesz $t = \log_2 64 = 6$.

Q: Dlaczego podstawa nie może być równa 1 ani ujemna?

Dla $a = 1$ każda potęga $1^x$ jest równa $1$, więc nie dostajesz funkcji wykładniczej, tylko stałą. Dla ujemnej podstawy potęga o niecałkowitym wykładniku nie jest określona w liczbach rzeczywistych, na przykład $(-4)^{\frac{1}{2}}$. Dlatego zakładamy $a > 0$ i $a \neq 1$.

Funkcja wykładnicza ma wzór $f(x) = a^x$ : zmienna stoi w wykładniku, a podstawa $a$ jest stałą liczbą dodatnią różną od $1$ . Opisuje wielkości, które w równych odstępach czasu rosną albo maleją tyle samo razy: liczbę bakterii, kwotę na lokacie, ilość leku we krwi. Z tej strony dowiesz się, jak wygląda jej wykres, kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje, i jak łączy się z nią funkcja logarytmiczna. Dalej są metoda, przykłady z rozwiązaniami i zadania do sprawdzenia.

Na maturze podstawowej: w żadnym z 4 arkuszy 2023–2026 nie było zadania o funkcji wykładniczej ani logarytmicznej; pytano o potęgi i logarytmy.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Funkcja wykładnicza to $f(x) = a^x$ , gdzie $a > 0$ i $a \neq 1$ . Jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a zbiorem wartości przedział $(0, +\infty)$ : wartości są zawsze dodatnie, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.
Każdy wykres $y = a^x$ przechodzi przez punkt $(0, 1)$ , bo $a^0 = 1$ . Wykres leży nad osią $Ox$ i zbliża się do niej, ale nigdy jej nie dotyka.
Dla $a > 1$ funkcja jest rosnąca, a dla $0 < a < 1$ malejąca. Wynika to z monotoniczności potęgowania: gdy $a > 1$ , to $a^x < a^y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x < y$ ; gdy $0 < a < 1$ , to $a^x < a^y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x > y$ . Przy podstawie mniejszej od $1$ nierówność zmienia kierunek.
Funkcja logarytmiczna to $f(x) = \log_a x$ , gdzie $a > 0$ i $a \neq 1$ . Jej dziedziną jest przedział $(0, +\infty)$ , a zbiorem wartości wszystkie liczby rzeczywiste. Wykres przechodzi przez punkt $(1, 0)$ , więc jedynym miejscem zerowym jest $x = 1$ . Dla $a > 1$ funkcja rośnie, dla $0 < a < 1$ maleje.
Obie funkcje łączy definicja logarytmu: $\log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c = b$ . Jeśli punkt $(p, q)$ leży na wykresie $y = a^x$ , to punkt $(q, p)$ leży na wykresie $y = \log_a x$ . Na przykład $2^3 = 8$ , więc $\log_2 8 = 3$ .
Funkcja wykładnicza opisuje wielkość, która w każdym okresie zmienia się tyle samo razy: $N(t) ={}$ $N_0 \cdot a^t$ . Wzrost o $p\%$ w jednym okresie to $a = 1 + \frac{p}{100}$ , a spadek o $p\%$ to $a = 1 - \frac{p}{100}$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Sprawdź, co jest zmienną
W funkcji wykładniczej zmienna stoi w wykładniku, jak w $2^x$ . W funkcji potęgowej stoi w podstawie, jak w $x^2$ . To dwie różne funkcje o różnych wykresach.
2.Ustal podstawę
Sprawdź, czy podstawa jest większa od $1$ (funkcja rośnie), czy leży między $0$ a $1$ (funkcja maleje). Zapis $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ to podstawa $\frac{1}{2}$ , więc funkcja maleje.
3.Sprowadź do tej samej podstawy
Zapisz obie strony równania lub nierówności jako potęgi jednej liczby: $32 = 2^5$ , $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ , $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ . Dopiero wtedy możesz porównać wykładniki.
4.Porównaj wykładniki
Przy równaniu przyrównaj wykładniki. Przy nierówności zostaw znak, jeśli podstawa jest większa od $1$ , a odwróć go, jeśli podstawa leży między $0$ a $1$ .
5.Sprawdź wynik
Podstaw wynik do równania. Pamiętaj, że potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, więc równanie $a^x = -8$ nie ma rozwiązań. Przy zadaniu o wzroście sprawdź też, czy wynik ma sens w opisanej sytuacji.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Wartości funkcji wykładniczej
Dana jest funkcja $f(x) = 3^x$ . Oblicz $f(-2)$ , $f(0)$ , $f(3)$ i $f\left(\frac{1}{2}\right)$ .
2.Która liczba jest większa?
Porównaj liczby $2^{\sqrt{2}}$ i $2^{1{,}5}$ oraz $0{,}5^3$ i $0{,}5^5$ .
3.Równania i nierówności wykładnicze
Rozwiąż równania $2^x = 32$ i $9^x = \frac{1}{27}$ oraz nierówności $5^x \ge \frac{1}{25}$ i $\left(\frac{1}{2}\right)^x < \frac{1}{8}$ .
4.Model wzrostu
W probówce jest $500$ bakterii i ich liczba podwaja się co godzinę. Zapisz wzór na liczbę bakterii po $t$ godzinach, oblicz ich liczbę po $3$ godzinach i oblicz, po ilu godzinach będzie ich $32\,000$ .

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Wykres funkcji wykładniczej

f(x) = a^x

przechodzi przez punkt

(3, 125)

. Oblicz

a

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcją malejącą jest funkcja określona wzorem

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dane są trzy zdania o funkcjach wykładniczej i logarytmicznej. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wykres funkcji

f(x) = 2^x

ma punkt wspólny z osią

Ox

Liczba

\log_2 \frac{1}{4}

jest ujemna.

Punkt

(2, 9)

leży na wykresie funkcji

g(x) = \log_3 x

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Pomylenie funkcji wykładniczej z potęgową. W $2^x$ zmienna jest w wykładniku, w $x^2$ w podstawie. Dla $x = 5$ pierwsza daje $32$ , a druga $25$ , a dla $x = -1$ pierwsza daje $\frac{1}{2}$ , a druga $1$ .
Przekonanie, że większy wykładnik zawsze daje większą potęgę. To prawda tylko dla podstawy większej od $1$ . Dla podstawy między $0$ a $1$ jest odwrotnie: $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ jest większe niż $\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$ .
Szukanie rozwiązań równania, które ich nie ma. Potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, więc $4^x = -16$ i $4^x = 0$ nie mają rozwiązań. Podobnie nie istnieje $\log_2 (-4)$ ani $\log_2 0$ .
Zła podstawa w zadaniu o procentach. Wzrost o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$ , a nie przez $0{,}2$ ; spadek o $20\%$ to mnożenie przez $0{,}8$ . Podstawa $0{,}2$ oznaczałaby spadek o $80\%$ .

Do zapamiętania

$f(x) = a^x$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ : dziedzina $\mathbb{R}$ , zbiór wartości $(0, +\infty)$ , wykres przez $(0, 1)$ .
$a > 1$ : funkcja rośnie. $0 < a < 1$ : funkcja maleje (nierówność między wykładnikami się odwraca).
$f(x) = \log_a x$ : dziedzina $(0, +\infty)$ , zbiór wartości $\mathbb{R}$ , wykres przez $(1, 0)$ .
$\log_a b ={}$ $c \iff a^c ={}$ $b$ .
Wzrost o $p\%$ : mnożnik $1 + \frac{p}{100}$ . Spadek o $p\%$ : mnożnik $1 - \frac{p}{100}$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Potęgi i pierwiastki§ 2 · strona 4–5
Logarytmy§ 3 · strona 5–6

Na stronie 5 broszury „Wybrane wzory matematyczne” znajdziesz monotoniczność potęgi

a^x

(osobno dla

a \in (0, 1)

i dla

a \in (1, +\infty)

) oraz definicję logarytmu z wzorami na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. Prawa działań na potęgach o wykładnikach rzeczywistych są na tej samej stronie, tuż nad monotonicznością, w części 2.

Wykresów funkcji wykładniczej i logarytmicznej broszura nie zawiera, więc kształt wykresu i kierunek monotoniczności musisz znać. Na stronie 6 jest jeszcze wzór na zamianę podstawy logarytmu, ale na poziomie podstawowym nie obowiązuje: to zakres rozszerzony.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Co to jest funkcja wykładnicza?+
Odp.:To funkcja $f(x) = a^x$ , w której podstawa $a$ jest stałą liczbą dodatnią różną od $1$ , a zmienna $x$ stoi w wykładniku. Jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a zbiorem wartości przedział $(0, +\infty)$ . Wykres przechodzi przez punkt $(0, 1)$ i leży nad osią $Ox$ .
2.Kiedy funkcja wykładnicza jest rosnąca, a kiedy malejąca?+
Odp.:Decyduje podstawa. Gdy $a > 1$ , funkcja rośnie: większemu $x$ odpowiada większa wartość. Gdy $0 < a < 1$ , funkcja maleje. Dlatego $2^x$ rośnie, a $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ maleje. Pamiętaj, że przy podstawie mniejszej od $1$ nierówność między wykładnikami zmienia kierunek.
3.Czy funkcja wykładnicza ma miejsce zerowe?+
Odp.:Nie. Potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, więc równanie $a^x = 0$ nie ma rozwiązań. Wykres zbliża się do osi $Ox$ , ale jej nie przecina. Miejsce zerowe ma natomiast funkcja logarytmiczna $\log_a x$ : jest nim $x = 1$ .
4.Jaki jest związek funkcji wykładniczej z logarytmiczną?+
Odp.:Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania: $\log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c = b$ . Dlatego jeśli punkt $(p, q)$ leży na wykresie $y = a^x$ , to punkt $(q, p)$ leży na wykresie $y = \log_a x$ . Z równania $2^t = 64$ dostajesz $t = \log_2 64 = 6$ .
5.Dlaczego podstawa nie może być równa 1 ani ujemna?+
Odp.:Dla $a = 1$ każda potęga $1^x$ jest równa $1$ , więc nie dostajesz funkcji wykładniczej, tylko stałą. Dla ujemnej podstawy potęga o niecałkowitym wykładniku nie jest określona w liczbach rzeczywistych, na przykład $(-4)^{\frac{1}{2}}$ . Dlatego zakładamy $a > 0$ i $a \neq 1$ .
6.Jak policzyć wartość po kilku okresach wzrostu lub spadku o procent?+
Odp.:Pomnóż wartość początkową przez mnożnik podniesiony do liczby okresów. Samochód wart $10\,000$ zł, który co roku traci $10\%$ wartości, po trzech latach jest wart $10\,000 \cdot 0{,}9^3 ={}$ $7\,290$ zł. Dla wzrostu o $10\%$ mnożnikiem byłoby $1{,}1$ .
7.Czy na karcie wzorów jest wykres funkcji wykładniczej?+
Odp.:Nie. Broszura CKE podaje definicje, prawa działań na potęgach, monotoniczność potęgi $a^x$ i wzory na logarytmy, ale nie ma w niej żadnego wykresu. Kształt wykresu i to, kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje, musisz znać z nauki.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 26 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Sprawdź, co jest zmienną

2.Ustal podstawę

3.Sprowadź do tej samej podstawy

4.Porównaj wykładniki

5.Sprawdź wynik

Przykłady

1.Wartości funkcji wykładniczej

2.Która liczba jest większa?

3.Równania i nierówności wykładnicze

4.Model wzrostu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła