Logarytm liczby $b$ przy podstawie $a$ to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść $a$, żeby otrzymać $b$. Zapisujesz to $\log_a b = c$, co oznacza $a^c = b$. Na przykład $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$. Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$, a liczba logarytmowana dodatnia.

Jakie wzory na logarytmy trzeba znać na maturze podstawowej?

Definicję i trzy wzory: na logarytm iloczynu $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$, na logarytm ilorazu $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ i na logarytm potęgi $\log_a x^r = r \cdot \log_a x$. Tak opisuje to podstawa programowa w wymaganiu I.9 zakresu podstawowego. Wszystkie są w broszurze CKE na stronie 5.

Czy wzór na zamianę podstawy logarytmu obowiązuje na poziomie podstawowym?

Nie. Podstawa programowa wymienia go tylko w zakresie rozszerzonym. Na maturze podstawowej zadania są ułożone tak, żeby wystarczyła definicja i wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, zwykle przy jednej podstawie.

Czy logarytm może być ujemny?

Tak, wynik logarytmu może być dowolną liczbą rzeczywistą: $\log_2 \frac{1}{4} = -2$ i $\log 0{,}1 = -1$. Ujemna nie może być liczba logarytmowana ani podstawa. Logarytm jest ujemny na przykład wtedy, gdy podstawa jest większa od $1$, a liczba logarytmowana leży między $0$ a $1$.

Jak policzyć logarytm na maturze, skoro kalkulator nie ma klawisza log?

Na maturze z matematyki masz kalkulator prosty: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, czasem procenty i pierwiastek kwadratowy. Logarytmów na nim nie policzysz, więc w zadaniach CKE liczby są dobrane tak, żeby po zastosowaniu wzorów pod logarytmem została potęga podstawy, na przykład $\log_3 27$.

Co oznacza zapis log bez podstawy?

To logarytm dziesiętny, czyli logarytm o podstawie $10$: $\log 100 = 2$, $\log 0{,}001 = -3$. Broszura CKE podaje, że zapisy $\log x$ i $\lg x$ oznaczają to samo. Logarytm dziesiętny przydaje się w fizyce i chemii, na przykład przy skali pH.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Logarytmy — definicja i działania

Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Gdy to zrozumiesz, policzysz $\log_2 32$ w pamięci, a trzy wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi pozwolą ci uprościć wyrażenia, jakie pojawiają się na maturze podstawowej. Tu znajdziesz definicję, wzory, metodę krok po kroku, przykłady i zadania z arkuszy CKE.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, za każdym razem jako jedno zadanie zamknięte za 1 punkt.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Definicja: $\log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c = b$ . Logarytm to wykładnik potęgi: $\log_2 8 = 3$ , bo $2^3 = 8$ .
Logarytm ma sens tylko wtedy, gdy podstawa jest dodatnia i różna od $1$ , a liczba logarytmowana jest dodatnia: $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ . Nie istnieje ani $\log_2 0$ , ani $\log_2 (-4)$ .
Zawsze $\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ i $a^{\log_a b} = b$ . Logarytm dziesiętny zapisuje się bez podstawy: $\log 100 = 2$ .
Logarytm iloczynu to suma logarytmów: $\log_a (xy) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ . Logarytm ilorazu to różnica logarytmów: $\log_a \frac{x}{y} ={}$ $\log_a x - \log_a y$ . Oba wzory działają tylko wtedy, gdy logarytmy mają tę samą podstawę.
Logarytm potęgi: $\log_a x^r ={}$ $r \cdot \log_a x$ . Czytany od prawej strony pozwala wprowadzić współczynnik do wykładnika: $2\log_3 2 ={}$ $\log_3 4$ .
Logarytm sumy nie jest sumą logarytmów: $\log_a (x + y)$ nie upraszcza się żadnym wzorem.
Wzór na zamianę podstawy logarytmu jest w broszurze CKE, ale w zakresie podstawowym nie obowiązuje: należy do zakresu rozszerzonego.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Zapisz liczby jako potęgi podstawy
Sprawdź, czy liczba pod logarytmem jest potęgą podstawy: $32 = 2^5$ , $\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , $\sqrt{5} ={}$ $5^{\frac{1}{2}}$ . Jeśli jest, wynik odczytasz od razu z definicji.
2.Wprowadź współczynniki do wykładnika
Liczbę stojącą przed logarytmem przenieś do wykładnika: $2\log_3 6 ={}$ $\log_3 36$ . Dopiero potem łącz logarytmy, bo wzory na iloczyn i iloraz działają na logarytmach bez współczynników.
3.Połącz w jeden logarytm
Sumę logarytmów o tej samej podstawie zamień na logarytm iloczynu, a różnicę na logarytm ilorazu. Pod logarytmem powinna zostać liczba, którą łatwo zapisać jako potęgę podstawy.
4.Policz z definicji
Zadaj pytanie: do jakiej potęgi podnieść podstawę, żeby otrzymać liczbę spod logarytmu? Ten wykładnik jest wynikiem.
5.Sprawdź potęgą
Podnieś podstawę do otrzymanego wyniku i porównaj z liczbą spod logarytmu. Kalkulator prosty, który masz na maturze, nie ma klawisza logarytmu, więc to sprawdzenie robisz w pamięci albo mnożeniem.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Logarytm z definicji
Oblicz $\log_2 32$ , $\log_3 \frac{1}{27}$ , $\log_5 \sqrt{5}$ i $\log 1000$ .
2.Suma i różnica logarytmów
Oblicz $\log_4 8 + \log_4 2$ oraz $\log_3 54 - \log_3 2$ .
3.Współczynnik przed logarytmem
Oblicz $2\log_3 6 - \log_3 4$ .
4.Niewiadoma w logarytmie
Wyznacz $x$ , jeśli $\log_x 49 = 2$ . Wyznacz $y$ , jeśli $\log_5 y = -2$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2025, zadanie 3

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\log_3 108 - 2\log_3 2

jest równa

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2025, arkusz MMAP-P0-100-2505, zadanie 3 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\log_8 4 - \log_8 32

jest równa

Zadanie 4 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Oblicz

\log_2 48 - \log_2 3

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

2\log_6 3 + \log_6 4

jest równa

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Dane są trzy równości z logarytmami. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

\log_3 \frac{1}{9} ={}

-2

\log_2 (4 + 4) ={}

\log_2 4 + \log_2 4

\log 0{,}01 = -2

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Zapisanie $\log_a (x + y) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ . Wzór dotyczy iloczynu: $\log_a (x \cdot y)$ . Logarytmu sumy nie da się rozbić.
Odejmowanie liczb spod logarytmów albo dzielenie samych logarytmów: $\log_3 108 - \log_3 4$ to $\log_3 27$ , a nie $\log_3 104$ ani $\frac{\log_3 108}{\log_3 4}$ .
Mnożenie współczynnika przez liczbę logarytmowaną: $2\log_3 6$ to $\log_3 36$ , a nie $\log_3 12$ . Współczynnik idzie do wykładnika.
Łączenie logarytmów o różnych podstawach jednym wzorem. Wzory na iloczyn, iloraz i potęgę działają tylko przy tej samej podstawie.
Pomylenie podstawy z wynikiem: $\log_2 8$ to $3$ , a nie $4$ ani $16$ . Zadaj sobie pytanie: do jakiej potęgi podnieść $2$ , żeby otrzymać $8$ ?

Do zapamiętania

$\log_a b ={}$ $c \iff a^c ={}$ $b$ , gdzie $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ .
$\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ , $a^{\log_a b} = b$ .
$\log_a (xy) ={}$ $\log_a x + \log_a y$
$\log_a \frac{x}{y} ={}$ $\log_a x - \log_a y$
$\log_a x^r ={}$ $r \cdot \log_a x$
$\log x$ bez podstawy to logarytm dziesiętny: $\log 1000 = 3$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Logarytmy§ 3 · strona 5–6
Potęgi i pierwiastki§ 2 · strona 4–5

Definicja logarytmu, równość

a^{\log_a b} = b

i wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi są na stronie 5 broszury „Wybrane wzory matematyczne”, w części 3. Na tej samej stronie, tuż nad logarytmami, kończy się część 2 z prawami działań na potęgach, z których te wzory wynikają.

Na stronie 6 broszury jest wzór na zamianę podstawy logarytmu. W zakresie podstawowym nie obowiązuje, należy do zakresu rozszerzonego. Tam też przeczytasz, że zapis

\log x

oznacza logarytm o podstawie

10

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Co to jest logarytm?+
Odp.:Logarytm liczby $b$ przy podstawie $a$ to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść $a$ , żeby otrzymać $b$ . Zapisujesz to $\log_a b = c$ , co oznacza $a^c = b$ . Na przykład $\log_2 8 = 3$ , bo $2^3 = 8$ . Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$ , a liczba logarytmowana dodatnia.
2.Jakie wzory na logarytmy trzeba znać na maturze podstawowej?+
Odp.:Definicję i trzy wzory: na logarytm iloczynu $\log_a (xy) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ , na logarytm ilorazu $\log_a \frac{x}{y} ={}$ $\log_a x - \log_a y$ i na logarytm potęgi $\log_a x^r ={}$ $r \cdot \log_a x$ . Tak opisuje to podstawa programowa w wymaganiu I.9 zakresu podstawowego. Wszystkie są w broszurze CKE na stronie 5.
3.Czy wzór na zamianę podstawy logarytmu obowiązuje na poziomie podstawowym?+
Odp.:Nie. Podstawa programowa wymienia go tylko w zakresie rozszerzonym. Na maturze podstawowej zadania są ułożone tak, żeby wystarczyła definicja i wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, zwykle przy jednej podstawie.
4.Czy logarytm może być ujemny?+
Odp.:Tak, wynik logarytmu może być dowolną liczbą rzeczywistą: $\log_2 \frac{1}{4} ={}$ $-2$ i $\log 0{,}1 = -1$ . Ujemna nie może być liczba logarytmowana ani podstawa. Logarytm jest ujemny na przykład wtedy, gdy podstawa jest większa od $1$ , a liczba logarytmowana leży między $0$ a $1$ .
5.Jak policzyć logarytm na maturze, skoro kalkulator nie ma klawisza log?+
Odp.:Na maturze z matematyki masz kalkulator prosty: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, czasem procenty i pierwiastek kwadratowy. Logarytmów na nim nie policzysz, więc w zadaniach CKE liczby są dobrane tak, żeby po zastosowaniu wzorów pod logarytmem została potęga podstawy, na przykład $\log_3 27$ .
6.Co oznacza zapis log bez podstawy?+
Odp.:To logarytm dziesiętny, czyli logarytm o podstawie $10$ : $\log 100 = 2$ , $\log 0{,}001 = -3$ . Broszura CKE podaje, że zapisy $\log x$ i $\lg x$ oznaczają to samo. Logarytm dziesiętny przydaje się w fizyce i chemii, na przykład przy skali pH.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Logarytmy — definicja i działania

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Zapisz liczby jako potęgi podstawy

2.Wprowadź współczynniki do wykładnika

3.Połącz w jeden logarytm

4.Policz z definicji

5.Sprawdź potęgą

Przykłady

1.Logarytm z definicji

2.Suma i różnica logarytmów

3.Współczynnik przed logarytmem

4.Niewiadoma w logarytmie

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła