Co to jest dziedzina funkcji?

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Gdy funkcja jest dana wykresem, odczytujesz ją z osi $x$. Gdy jest dana samym wzorem, dziedziną jest zbiór liczb, dla których wzór ma sens, na przykład przy ułamku wykluczasz liczby, dla których mianownik jest zerem.

Jak odczytać zbiór wartości funkcji z wykresu?

Znajdź najniższy i najwyższy punkt wykresu i odczytaj ich drugie współrzędne. Jeśli wykres nie ma przerw w pionie, zbiór wartości to przedział między tymi liczbami. Uważaj na puste kropki: wartość w pustej kropce nie należy do zbioru wartości, chyba że funkcja przyjmuje ją w innym miejscu.

Co to jest miejsce zerowe funkcji?

To argument $x$, dla którego wartość funkcji jest równa zeru: $f(x) = 0$. Na wykresie to pierwsza współrzędna punktu wspólnego wykresu z osią $x$. Funkcja może mieć jedno miejsce zerowe, kilka albo żadnego, na przykład $f(x) = x^2 + 1$ nie ma miejsc zerowych.

Czym się różni wykres $y = f(x - 2)$ od wykresu $y = f(x) - 2$?

Wykres $y = f(x - 2)$ to wykres funkcji $f$ przesunięty o $2$ jednostki w prawo, wzdłuż osi $x$. Wykres $y = f(x) - 2$ to wykres przesunięty o $2$ jednostki w dół, wzdłuż osi $y$. Zmiana pod nawiasem działa w poziomie i w przeciwną stronę niż znak, zmiana na zewnątrz działa w pionie.

Jak zapisywać przedziały na maturze?

W arkuszach CKE przedział domknięty zapisuje się nawiasami kwadratowymi, na przykład $[-4, 5]$, a otwarty okrągłymi, na przykład $(-3, 4)$. W wielu podręcznikach spotkasz dla przedziału domkniętego nawiasy ostre $\langle -4, 5 \rangle$. Oba zapisy oznaczają to samo, ważne, żeby było jasne, które końce należą do przedziału.

Kiedy funkcja jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy dla większego argumentu ma większą wartość: wykres idzie w górę, gdy patrzysz od lewej do prawej. Jest malejąca, gdy dla większego argumentu ma mniejszą wartość, a stała, gdy wszystkie wartości w przedziale są równe. Przedziały monotoniczności zapisujesz na osi $x$.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Funkcja — dziedzina, miejsca zerowe, wykres

Prawie każde zadanie z funkcji na maturze podstawowej zaczyna się od wykresu albo wzoru, z którego trzeba coś odczytać: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały, w których funkcja rośnie albo maleje. Na tej stronie nauczysz się czytać wykres krok po kroku, liczyć wartości funkcji danej kilkoma wzorami i przesuwać wykres. Są tu też przykłady i prawdziwe zadania z arkuszy CKE.

Na maturze podstawowej: w 3 z 4 arkuszy 2023–2026, zwykle jako zadanie z wykresem, z którego odczytujesz dziedzinę, zbiór wartości albo przedziały.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi $x$ z dziedziny dokładnie jedną wartość $f(x)$ . Może być dana opisem słownym, tabelą, wykresem albo wzorem, także różnymi wzorami na różnych przedziałach.
Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, czyli tych $x$ , dla których funkcja jest określona. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb $f(x)$ , które funkcja przyjmuje. Na wykresie dziedzinę odczytujesz z osi $x$ , a zbiór wartości z osi $y$ .
Miejsce zerowe to argument $x$ , dla którego $f(x) = 0$ . Na wykresie jest to pierwsza współrzędna punktu, w którym wykres przecina oś $x$ albo się z nią styka. Miejsce zerowe jest liczbą, a nie punktem.
Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy jej wykres, czytany od lewej do prawej, się wznosi, malejąca, gdy opada, i stała, gdy biegnie poziomo. Przedziały monotoniczności odczytujesz zawsze na osi $x$ .
Pełna kropka na końcu wykresu oznacza, że punkt należy do wykresu, i wtedy przy tej liczbie stawiasz nawias kwadratowy. Pusta kropka oznacza, że punkt nie należy do wykresu, i wtedy stawiasz nawias okrągły. W zbiorze wartości sprawdź jeszcze, czy funkcja nie przyjmuje tej wartości w innym miejscu.
Wykres funkcji $y = f(x - a)$ to wykres $y = f(x)$ przesunięty o $a$ jednostek wzdłuż osi $x$ : w prawo, gdy $a > 0$ . Wykres $y = f(x) + b$ to wykres $y = f(x)$ przesunięty o $b$ jednostek wzdłuż osi $y$ : w górę, gdy $b > 0$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Dziedzina
Spójrz, nad którymi liczbami osi $x$ leży wykres, od skrajnego lewego punktu do skrajnego prawego. Sprawdź, czy końce są pełnymi kropkami, czy pustymi, i dobierz nawiasy. Jeśli wykres ma przerwy, dziedzina składa się z kilku przedziałów.
2.Zbiór wartości
Zrób to samo na osi $y$ : znajdź najniższy i najwyższy punkt wykresu. Zbiór wartości to wszystkie liczby od najmniejszej do największej wartości, o ile wykres nie ma przerw w pionie.
3.Miejsca zerowe
Zaznacz punkty wspólne wykresu z osią $x$ i zapisz ich pierwsze współrzędne. Jeśli funkcja jest dana wzorem, rozwiąż równanie $f(x) = 0$ i sprawdź, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
4.Przedziały monotoniczności
Przesuwaj wzrok od lewej do prawej i zapisz, na jakich przedziałach osi $x$ wykres się wznosi, opada albo biegnie poziomo. Zapisujesz przedziały argumentów, nie wartości.
5.Nierówności typu $f(x) > c$
Narysuj poziomą prostą $y = c$ . Rozwiązaniem są te argumenty $x$ , dla których wykres leży nad tą prostą. Przy znaku $\geq$ dołącz też punkty wspólne wykresu i prostej.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Odczytywanie własności z wykresu
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ . Odczytaj dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności oraz zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
2.Funkcja dana dwoma wzorami
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = -x + 3$ dla $x \in [-2, 1]$ oraz $f(x) = 2x$ dla $x \in (1, 4]$ . Oblicz $f(1)$ i $f(3)$ . Rozwiąż równanie $f(x) = 4$ .
3.Dziedzina funkcji danej wzorem
Wyznacz dziedzinę i miejsce zerowe funkcji $f(x) ={}$ $\frac{x + 2}{x - 3}$ .
4.Przesunięcie wykresu
Funkcja $f$ ma wykres z przykładu pierwszego. Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x) = f(x - 3)$ . Podaj dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji $g$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2025, zadanie 11

Zadanie 11. (0–4)

Funkcja

f

jest określona następująco:

f(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{dla } x \in [-4, -2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2, 2] \\ -3x + 9 & \text{dla } x \in (2, 4) \end{cases}

Wykres funkcji

y = f(x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. (Uwaga serwisu, nie arkusza: przedział wpisz z nawiasami i przecinkiem, np. (0, 7] albo [0, 7).)

1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział . 2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział . 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział . 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania

f(x) = 3

jest przedział .

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2025, arkusz MMAP-P0-100-2505, zadanie 11 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–2)

Funkcja

f

jest określona następująco:

f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4, 2] \\ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 5) \end{cases}

Wykres funkcji

y = f(x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Rozwiązaniem równania

f(x) = 3

jest liczba . 2. Największa wartość funkcji

f

w przedziale

[2, 3]

jest równa .

Zadanie 12.1 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–2)

Funkcja

f

jest określona następująco:

f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4, 2] \\ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 5) \end{cases}

Wykres funkcji

y = f(x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. (Uwaga serwisu, nie arkusza: przedział wpisz z nawiasami i przecinkiem, np. (0, 7] albo [0, 7).)

1. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział . 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości większe od

1

, jest przedział .

Zadanie 12.2 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 3. (0–1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej. Zaznaczone punkty wykresu mają współrzędne całkowite. Ta funkcja jest określona wzorem

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołek paraboli ma współrzędne całkowite. Zbiorem wartości funkcji

f

jest

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Pomylenie dziedziny ze zbiorem wartości. Dziedzinę odczytujesz z osi $x$ , a zbiór wartości z osi $y$ .
Podanie miejsca zerowego jako punktu $(4, 0)$ zamiast liczby $4$ . Miejsce zerowe to argument, czyli liczba na osi $x$ .
Niezauważenie pustej kropki na końcu wykresu. Jeśli koniec nie należy do wykresu, przy tej liczbie stoi w dziedzinie nawias okrągły. W zbiorze wartości także, chyba że funkcja przyjmuje tę wartość w innym miejscu.
Przesunięcie wykresu w złą stronę. Wykres $y = f(x - 3)$ przesuwasz o $3$ w prawo, a nie w lewo, mimo że we wzorze stoi minus.
Zapisanie przedziałów monotoniczności na osi $y$ . Funkcja rośnie albo maleje w przedziale argumentów, więc liczby bierzesz z osi $x$ .

Do zapamiętania

Dziedzina: oś $x$ . Zbiór wartości: oś $y$ .
Miejsce zerowe to liczba $x$ , dla której $f(x) = 0$ .
Pełna kropka: nawias kwadratowy. Pusta kropka: nawias okrągły.
$y = f(x - a)$ : przesunięcie o $a$ wzdłuż osi $x$ . $y = f(x) + b$ : przesunięcie o $b$ wzdłuż osi $y$ .
Przy funkcji danej kilkoma wzorami najpierw sprawdź, do którego przedziału należy argument.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Funkcja kwadratowa§ 7 · strona 7–9
Geometria analityczna§ 11 · strona 22–26

Broszura „Wybrane wzory matematyczne” nie ma osobnej części o pojęciu funkcji, dziedzinie ani odczytywaniu wykresu: tego trzeba się nauczyć. Ma za to wzory dwóch funkcji, których wykresy spotkasz najczęściej.

Funkcja kwadratowa jest na stronach 7 i 8: postać ogólna, kanoniczna, wierzchołek paraboli i miejsca zerowe. Równanie prostej

y = ax + b

, czyli wykres funkcji liniowej, znajdziesz na stronie 23, w części o geometrii analitycznej.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Co to jest dziedzina funkcji?+
Odp.:Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Gdy funkcja jest dana wykresem, odczytujesz ją z osi $x$ . Gdy jest dana samym wzorem, dziedziną jest zbiór liczb, dla których wzór ma sens, na przykład przy ułamku wykluczasz liczby, dla których mianownik jest zerem.
2.Jak odczytać zbiór wartości funkcji z wykresu?+
Odp.:Znajdź najniższy i najwyższy punkt wykresu i odczytaj ich drugie współrzędne. Jeśli wykres nie ma przerw w pionie, zbiór wartości to przedział między tymi liczbami. Uważaj na puste kropki: wartość w pustej kropce nie należy do zbioru wartości, chyba że funkcja przyjmuje ją w innym miejscu.
3.Co to jest miejsce zerowe funkcji?+
Odp.:To argument $x$ , dla którego wartość funkcji jest równa zeru: $f(x) = 0$ . Na wykresie to pierwsza współrzędna punktu wspólnego wykresu z osią $x$ . Funkcja może mieć jedno miejsce zerowe, kilka albo żadnego, na przykład $f(x) = x^2 + 1$ nie ma miejsc zerowych.
4.Czym się różni wykres $y = f(x - 2)$ od wykresu $y = f(x) - 2$ ?+
Odp.:Wykres $y = f(x - 2)$ to wykres funkcji $f$ przesunięty o $2$ jednostki w prawo, wzdłuż osi $x$ . Wykres $y = f(x) - 2$ to wykres przesunięty o $2$ jednostki w dół, wzdłuż osi $y$ . Zmiana pod nawiasem działa w poziomie i w przeciwną stronę niż znak, zmiana na zewnątrz działa w pionie.
5.Jak zapisywać przedziały na maturze?+
Odp.:W arkuszach CKE przedział domknięty zapisuje się nawiasami kwadratowymi, na przykład $[-4, 5]$ , a otwarty okrągłymi, na przykład $(-3, 4)$ . W wielu podręcznikach spotkasz dla przedziału domkniętego nawiasy ostre $\langle -4, 5 \rangle$ . Oba zapisy oznaczają to samo, ważne, żeby było jasne, które końce należą do przedziału.
6.Kiedy funkcja jest rosnąca, a kiedy malejąca?+
Odp.:Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy dla większego argumentu ma większą wartość: wykres idzie w górę, gdy patrzysz od lewej do prawej. Jest malejąca, gdy dla większego argumentu ma mniejszą wartość, a stała, gdy wszystkie wartości w przedziale są równe. Przedziały monotoniczności zapisujesz na osi $x$ .

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Funkcja — dziedzina, miejsca zerowe, wykres

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Dziedzina

2.Zbiór wartości

3.Miejsca zerowe

4.Przedziały monotoniczności

5.Nierówności typu f(x)>cf(x) > cf(x)>c

Przykłady

1.Odczytywanie własności z wykresu

2.Funkcja dana dwoma wzorami

3.Dziedzina funkcji danej wzorem

4.Przesunięcie wykresu

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła

5.Nierówności typu $f(x) > c$