Kleksa

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Trygonometria — sinus, cosinus, tangens

Sinus, cosinus i tangens to stosunki boków trójkąta prostokątnego. Z nich policzysz brakujący bok albo kąt, pole trójkąta z dwóch boków i kąta, a z twierdzenia cosinusów trzeci bok dowolnego trójkąta. Na tej stronie znajdziesz definicje, wartości dla kątów 30°, 45° i 60°, metodę krok po kroku, przykłady i prawdziwe zadania z matury z matematyki na poziomie podstawowym, gdzie trygonometria pojawia się w każdym arkuszu.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, za każdym razem w co najmniej dwóch zadaniach, także w planimetrii i stereometrii.

  • liceum, zakres podstawowy
  • matura

Najważniejsze

to musisz umieć
  • W trójkącie prostokątnym z kątem ostrym α\alpha: sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}. Tu aa to przyprostokątna naprzeciw kąta α\alpha, bb przyprostokątna przy kącie α\alpha, a cc przeciwprostokątna.
  • Wartości, które trzeba znać: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; cosinusy tych kątów to te same liczby w odwrotnej kolejności. Tangensy: tg⁡30∘=33\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 45^\circ = 1, tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}.
  • Dla każdego kąta α\alpha: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 (jedynka trygonometryczna) oraz tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, o ile cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0. Znając jedną z tych funkcji, obliczysz pozostałe.
  • Dla kątów od 0∘0^\circ do 180∘180^\circ umieszczasz kąt w układzie współrzędnych: wierzchołek w punkcie (0,0)(0, 0), jedno ramię na dodatniej półosi xx. Na drugim ramieniu bierzesz punkt M=(x,y)M = (x, y) różny od (0,0)(0, 0) i r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}: sin⁡α=yr\sin\alpha = \frac{y}{r}, cos⁡α=xr\cos\alpha = \frac{x}{r}, tg⁡α=yx\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}. Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne. Ponieważ sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha i cos⁡(180∘−α)=\cos(180^\circ - \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha, masz na przykład sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \frac{1}{2} i cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}.
  • Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi: P=P ={}12absin⁡γ \frac{1}{2}ab\sin\gamma.
  • Twierdzenie cosinusów: w każdym trójkącie c2=c^2 ={}a2+ a^2 +{}b2− b^2 -{}2abcos⁡γ 2ab\cos\gamma, gdzie γ\gamma to kąt między bokami aa i bb, leżący naprzeciw boku cc. Dla γ=90∘\gamma = 90^\circ jest to twierdzenie Pitagorasa, bo cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0.
  • Twierdzenie sinusów jest wydrukowane na karcie wzorów, ale należy do zakresu rozszerzonego. Miara łukowa (radiany), wykresy funkcji trygonometrycznych i równania trygonometryczne także nie obowiązują na poziomie podstawowym.
αABCabc

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

  1. 1.Oznacz boki względem kąta

    Zaznacz na rysunku kąt, o który pytają. Przyprostokątna, która go nie dotyka, leży naprzeciw kąta; ta, która jest jego ramieniem, leży przy kącie. Przeciwprostokątna leży zawsze naprzeciw kąta prostego.

  2. 2.Wybierz funkcję

    Wybierz tę funkcję, która łączy bok lub kąt, który znasz, z tym, którego szukasz. Sinus: naprzeciw przez przeciwprostokątną. Cosinus: przy kącie przez przeciwprostokątną. Tangens: naprzeciw przez przy kącie.

  3. 3.Zapisz równanie i rozwiąż je

    Na przykład sin⁡30∘=a10\sin 30^\circ = \frac{a}{10} daje a=a ={}10⋅12= 10 \cdot \frac{1}{2} ={}5 5. Gdy szukasz kąta, oblicz wartość funkcji i odczytaj kąt z wartości, które znasz, albo z tablicy na końcu karty wzorów.

  4. 4.Z jednej funkcji policz pozostałe

    Gdy znasz tylko sin⁡α\sin\alpha, cos⁡α\cos\alpha albo tg⁡α\operatorname{tg}\alpha, użyj jedynki trygonometrycznej i wzoru tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. Znak wybierz według kąta: dla kąta ostrego wszystkie trzy funkcje są dodatnie, dla rozwartego cosinus i tangens są ujemne.

  5. 5.Trójkąt, który nie jest prostokątny

    Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, trzeci bok obliczysz z twierdzenia cosinusów, a pole ze wzoru P=P ={}12absin⁡γ \frac{1}{2}ab\sin\gamma. Możesz też poprowadzić wysokość i liczyć w dwóch trójkątach prostokątnych.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

  1. 1.Przyprostokątne z przeciwprostokątnej i kąta

    Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 1010, a jeden z jego kątów ostrych ma miarę 30∘30^\circ. Oblicz długości przyprostokątnych.

  2. 2.Sinus i cosinus, gdy znasz tangens

    Kąt α\alpha jest ostry i tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2. Oblicz sin⁡α\sin\alpha i cos⁡α\cos\alpha.

  3. 3.Twierdzenie cosinusów i pole z sinusem

    W trójkącie ABCABC boki ABAB i ACAC mają długości 88 i 55, a kąt BACBAC ma miarę 60∘60^\circ. Oblicz długość boku BCBC i pole trójkąta.

  4. 4.Kąt rozwarty: pole równoległoboku

    Równoległobok ma boki długości 66 i 44, a jeden z jego kątów ma miarę 150∘150^\circ. Oblicz pole tego równoległoboku.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE
Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.
Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 23

Zadanie 23. (0–1)

Kąt α\alpha jest ostry i spełnia warunek 3sin⁡α+4cos⁡α4cos⁡α=\frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} ={}6 6. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α\alpha jest równy

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 23 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu
Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.
matura

Zadanie 1. (0–1)

Dany jest trójkąt prostokątny ABCABC, w którym bok ACAC jest przeciwprostokątną oraz ∣BC∣=2|BC| = 2 i ∣AC∣=210|AC| = 2\sqrt{10}. Oznaczmy kąt BCABCA przez γ\gamma (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta γ\gamma jest równy
γABC22√10

Zadanie 18 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

W trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku jeden z kątów ostrych ma miarę α\alpha. Wtedy tg⁡α\operatorname{tg} \alpha jest równy
α24725

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 3. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia cos⁡0∘−8sin⁡30∘\cos 0^\circ - 8\sin 30^\circ.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Dwa boki trójkąta mają długości 10 i 12, a kąt między nimi ma miarę 150∘150^\circ. Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 5. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia 12cos⁡60∘−2sin⁡30∘12\cos 60^\circ - 2\sin 30^\circ.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt
  • Pomylenie przyprostokątnych. Sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną, cosinus to przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną. Gdy kąt jest przy innym wierzchołku niż na rysunku w podręczniku, oznacz boki od nowa.
  • Sinus albo cosinus większy od 11. Taki wynik oznacza, że przeciwprostokątna trafiła do licznika zamiast do mianownika. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, więc zawsze stoi w mianowniku.
  • Zły znak cosinusa kąta rozwartego. Z jedynki trygonometrycznej dostajesz cos⁡2α\cos^2\alpha, a znak wybierasz według kąta: cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, nie 12\frac{1}{2}.
  • Twierdzenie cosinusów z niewłaściwym kątem. We wzorze c2=c^2 ={}a2+ a^2 +{}b2− b^2 -{}2abcos⁡γ 2ab\cos\gamma kąt γ\gamma leży między bokami aa i bb, naprzeciw boku cc. Nie zapominaj też o wyrazie −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma.
  • Liczenie na kalkulatorze funkcji, których on nie ma. Kalkulator prosty na maturze nie liczy sinusów. Wartości dla 30∘30^\circ, 45∘45^\circ i 60∘60^\circ znaj na pamięć, a przybliżenia innych kątów odczytuj z tablicy na końcu karty wzorów.

Do zapamiętania

  • sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}: naprzeciw, przy kącie, przeciwprostokątna.
  • sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • tg⁡30∘=33\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 45^\circ = 1, tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}.
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 oraz tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.
  • sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=\cos(180^\circ - \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha.
  • Pole trójkąta: P=P ={}12absin⁡γ \frac{1}{2}ab\sin\gamma.
  • Twierdzenie cosinusów: c2=c^2 ={}a2+ a^2 +{}b2− b^2 -{}2abcos⁡γ 2ab\cos\gamma.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.
  • Trygonometria§ 9 · strona 11–15
  • Planimetria§ 10 · strona 15–22
  • Tablica wartości funkcji trygonometrycznych§ 17 · strona 34
Trygonometria zaczyna się na stronie 11 broszury: tam są definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym i dla dowolnego kąta. Jedynka trygonometryczna i wzór na tangens są na stronie 12, a wartości dla kątów 0∘0^\circ, 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ i 90∘90^\circ na stronie 13. Zależność sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha znajdziesz na stronie 14.
Twierdzenie cosinusów jest na stronie 15, w części o planimetrii, a wzór P=P ={}12absin⁡γ \frac{1}{2}ab\sin\gamma na stronie 16. Na stronie 34 jest tablica przybliżonych wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od 0∘0^\circ do 90∘90^\circ co jeden stopień.
Wzory na funkcje sumy kątów, wykresy i miara łukowa, które też są w tej części broszury, należą do zakresu rozszerzonego.
Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

  1. 1.Jak zapamiętać, co to sinus, cosinus i tangens?+
    Odp.:Patrz z wierzchołka kąta. Sinus to bok naprzeciw kąta podzielony przez przeciwprostokątną, cosinus to bok przy kącie podzielony przez przeciwprostokątną, tangens to bok naprzeciw podzielony przez bok przy kącie. Tangens jest też ilorazem sinusa przez cosinus.
  2. 2.Jak obliczyć cosinus, gdy znam sinus?+
    Odp.:Z jedynki trygonometrycznej: cos⁡2α=1−\cos^2\alpha = 1 -{}sin⁡2α \sin^2\alpha. Dla kąta ostrego bierzesz pierwiastek dodatni, dla rozwartego ujemny. Na przykład gdy sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5} i kąt jest ostry, to cos⁡2α=1−\cos^2\alpha = 1 -{}925= \frac{9}{25} ={}1625 \frac{16}{25} i cos⁡α=45\cos\alpha = \frac{4}{5}.
  3. 3.Kiedy stosuje się twierdzenie cosinusów?+
    Odp.:W trójkącie, który nie musi być prostokątny, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi i szukasz trzeciego boku, albo gdy znasz trzy boki i szukasz kąta. Dla boków 88 i 55 i kąta 60∘60^\circ trzeci bok to 64+25−40=7\sqrt{64 + 25 - 40} = 7.
  4. 4.Czy twierdzenie sinusów należy do zakresu rozszerzonego?+
    Odp.:Tak. W podstawie programowej z 2024 roku twierdzenie sinusów jest wymaganiem zakresu rozszerzonego (VII.7), choć broszura CKE drukuje je obok twierdzenia cosinusów. Na poziomie podstawowym w trójkącie dowolnym wystarczają twierdzenie cosinusów, wzór na pole P=P ={}12absin⁡γ \frac{1}{2}ab\sin\gamma i podział trójkąta wysokością na dwa trójkąty prostokątne.
  5. 5.Jak obliczyć sinus kąta rozwartego?+
    Odp.:Skorzystaj z równości sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha: sinus kąta rozwartego jest równy sinusowi kąta, który dopełnia go do 180∘180^\circ. Na przykład sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. Cosinus i tangens kąta rozwartego są ujemne: cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}.
  6. 6.Czy na maturze można liczyć sinusy na kalkulatorze?+
    Odp.:Nie. Według komunikatu CKE na maturze z matematyki masz kalkulator prosty, który dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli, czasem liczy procenty i pierwiastki kwadratowe, ale nie ma funkcji trygonometrycznych. Masz za to broszurę z wartościami dla kątów 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ i tablicą dla kątów od 0∘0^\circ do 90∘90^\circ.
  7. 7.Ile wynosi tangens 90 stopni?+
    Odp.:Tangens kąta 90∘90^\circ nie istnieje, bo cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0, a przez zero nie dzielimy. W definicji z punktem M=(x,y)M = (x, y) dla tego kąta x=0x = 0. W tablicy na karcie wzorów w tym miejscu stoi kreska. Sinus kąta 90∘90^\circ jest równy 11, a cosinus 00.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.