Jak brzmi twierdzenie Talesa?

Jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu. Na przykład gdy $|OA| = 4$, $|AA_1| = 6$ i $|OB| = 5$, to $|BB_1| = 7{,}5$, bo $\frac{4}{6} = \frac{5}{7{,}5}$.

Jaka jest zależność między kątem wpisanym a środkowym?

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt środkowy $140^\circ$ daje kąt wpisany $70^\circ$. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na półokręgu ma $90^\circ$.

Jak sprawdzić, czy trójkąty są podobne?

Najczęściej przez kąty: wystarczy, że dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego. Inne cechy to proporcjonalność wszystkich trzech par boków albo proporcjonalność dwóch par boków i równość kątów między nimi. Równe kąty dają proste równoległe i kąt wspólny dwóch trójkątów.

Jak zmienia się pole figury podobnej?

Gdy figura jest podobna w skali $k$, jej obwód zmienia się $k$ razy, a pole $k^2$ razy. Trójkąt o bokach dwa razy dłuższych ma cztery razy większe pole. Odwrotnie: gdy pola mają się jak $9 : 4$, to skala jest równa $\frac{3}{2}$.

Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?

W środku przeciwprostokątnej, bo kąt prosty jest kątem wpisanym opartym na półokręgu. Dlatego promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie przeciwprostokątnej, $R = \frac{c}{2}$. Dla boków $6$, $8$, $10$ wychodzi $R = 5$.

Czy na maturze podstawowej są dowody z planimetrii?

Tak. Podstawa programowa wymaga przeprowadzania dowodów geometrycznych (VIII.11), a w arkuszu z 2026 roku było takie zadanie otwarte za 2 punkty, o stosunku pól dwóch trójkątów. W dowodzie zapisz, z czego wynika każdy krok: z równości kątów, z cechy podobieństwa, z wzoru na pole.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Planimetria — kąty wpisane, twierdzenie Talesa, podobieństwo

Planimetria to geometria figur płaskich. Na maturze podstawowej najczęściej wracają w niej kąty wpisane i środkowe, twierdzenie Talesa, trójkąty podobne oraz okręgi opisane i wpisane w trójkąt. Na tej stronie znajdziesz najważniejsze twierdzenia, metodę krok po kroku, przykłady z rozwiązaniami i prawdziwe zadania z arkuszy CKE z matury z matematyki na poziomie podstawowym.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, w każdym od dwóch do czterech zadań, w 2026 także dowód.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Kąt wpisany ma miarę równą połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty.
Twierdzenie Talesa: jeśli ramiona kąta o wierzchołku $O$ przecinają dwie proste równoległe, pierwsza w punktach $A$ i $B$ , druga w punktach $A_1$ i $B_1$ (punkty $A$ i $A_1$ na jednym ramieniu), to $\frac{|OA|}{|OA_1|} ={}$ $\frac{|OB|}{|OB_1|}$ oraz $\frac{|OA|}{|AA_1|} ={}$ $\frac{|OB|}{|BB_1|}$ .
Trójkąty są podobne, gdy mają odpowiednie kąty równe (wystarczą dwie pary), gdy ich boki są proporcjonalne albo gdy dwa boki są proporcjonalne i kąty między nimi równe. W trójkątach podobnych boki odpowiadające leżą naprzeciw równych kątów.
Jeśli figury są podobne w skali $k$ , to stosunek ich obwodów jest równy $k$ , a stosunek pól jest równy $k^2$ .
Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia symetralnych boków, a środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych kątów. Środkowe przecinają się w środku ciężkości, który dzieli każdą z nich w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej, więc $R = \frac{c}{2}$ .
W trójkącie równobocznym o boku $a$ i wysokości $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ wszystkie te punkty się pokrywają: $R ={}$ $\frac{2}{3}h ={}$ $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ oraz $r ={}$ $\frac{1}{3}h ={}$ $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ .
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Odcinki stycznych poprowadzonych do okręgu z jednego punktu mają równe długości. Suma kątów wewnętrznych $n$ -kąta wynosi $(n - 2) \cdot 180^\circ$ , więc kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma $120^\circ$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Narysuj i oznacz
Przerysuj figurę albo naszkicuj ją z treści. Zaznacz wszystkie dane: długości, kąty, proste równoległe, kąty proste. Niewiadomą oznacz literą, na przykład $x$ .
2.Szukaj kąta wpisanego i środkowego
Gdy w zadaniu jest okrąg, znajdź łuk, na którym opiera się dany kąt, i kąt środkowy albo wpisany oparty na tym samym łuku. Pamiętaj, że promienie $OA$ i $OB$ tworzą trójkąt równoramienny $AOB$ .
3.Szukaj trójkątów podobnych
Proste równoległe dają równe kąty odpowiadające i naprzemianległe, a wspólny kąt dwóch trójkątów to pierwsza para równych kątów. Gdy znajdziesz dwie pary równych kątów, zapisz proporcję boków, łącząc boki leżące naprzeciw równych kątów.
4.Rozwiąż proporcję
Z proporcji $\frac{x}{5} ={}$ $\frac{14}{10}$ masz $x ={}$ $\frac{5 \cdot 14}{10} ={}$ $7$ . Gdy masz pola figur podobnych, pamiętaj o kwadracie skali.
5.Sprawdź wynik
Sprawdź, czy wynik ma sens na rysunku: odcinek wewnątrz innego odcinka musi być krótszy od niego, kąt wpisany oparty na krótszym łuku jest ostry, a suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$ .

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Kąt wpisany, kąt środkowy i trójkąt równoramienny
Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku $O$ . Kąt środkowy $AOB$ , oparty na łuku $AB$ , do którego nie należy punkt $C$ , ma miarę $140^\circ$ . Oblicz miary kątów $ACB$ i $OAB$ .
2.Twierdzenie Talesa
Ramiona kąta o wierzchołku $O$ przecięto dwiema prostymi równoległymi. Pierwsza przecina ramiona w punktach $A$ i $B$ , druga w punktach $A_1$ i $B_1$ , a punkty $A$ i $A_1$ leżą na tym samym ramieniu. Wiadomo, że $|OA| = 4$ , $|AA_1| = 6$ i $|OB| = 5$ . Oblicz $|BB_1|$ .
3.Obwód i pole trójkąta podobnego
Trójkąt $T_1$ ma boki długości $6$ , $8$ i $10$ . Trójkąt $T_2$ jest do niego podobny, a jego najdłuższy bok ma długość $15$ . Oblicz obwód i pole trójkąta $T_2$ .
4.Promienie okręgów opisanego i wpisanego
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o bokach $6$ , $8$ , $10$ i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 19

Zadanie 19. (0–1)

Punkty

A

B

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Punkt

B

leży na krótszym łuku

AC

. Kąt

CDA

ma miarę

50^\circ

, a kąt

COB

ma miarę

30^\circ

(zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego

BOA

jest równa

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 19 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Na płaszczyźnie dane są cztery proste:

k

l

m

oraz

n

. Proste

k

oraz

l

są równoległe. Prosta

m

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

A

oraz

C

. Prosta

n

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

D

oraz

B

. Odcinki

AC

BD

przecinają się w punkcie

O

. Ponadto

|OA| = 12

|OB| = 6

oraz

|OC| = 8

(zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek

OD

ma długość

Zadanie 20 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

W okrąg

\mathcal{O}

o promieniu

9\sqrt{3}

wpisano trójkąt równoboczny

\mathcal{T}

. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta

\mathcal{T}

ma długość .

Zadanie 22 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 3. (0–1)

Punkty

A

B

C

leżą na okręgu o środku

O

(zobacz rysunek). Oblicz miarę (w stopniach) kąta oznaczonego znakiem zapytania.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny i podano długości jego podstaw oraz ramienia. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Kąt wpisany i kąt środkowy oparte na różnych łukach. Zależność o połowie działa tylko wtedy, gdy oba kąty opierają się na tym samym łuku. Zaznacz ten łuk na rysunku, zanim podzielisz przez $2$ .
Proporcja z niepasujących boków. W trójkątach podobnych porównujesz boki leżące naprzeciw równych kątów, a nie boki, które na rysunku leżą w podobnym miejscu. Wypisz pary równych kątów i dopiero wtedy pary boków.
Skala zamiast jej kwadratu przy polach. Gdy boki są $\frac{3}{2}$ razy dłuższe, pole jest $\frac{9}{4}$ razy większe, a nie $\frac{3}{2}$ razy. Obwody zmieniają się w skali $k$ , pola w skali $k^2$ .
Mieszanie odcinków w twierdzeniu Talesa. Odcinki na ramionach możesz porównywać na dwa sposoby, $\frac{|OA|}{|OA_1|} ={}$ $\frac{|OB|}{|OB_1|}$ albo $\frac{|OA|}{|AA_1|} ={}$ $\frac{|OB|}{|BB_1|}$ , ale w jednej proporcji nie łącz odcinka od wierzchołka z odcinkiem między prostymi równoległymi.
Pomylenie okręgu opisanego z wpisanym. Środek okręgu opisanego leży na symetralnych boków i jest jednakowo odległy od wierzchołków; środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych kątów i jest jednakowo odległy od boków.

Do zapamiętania

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty.
Tales: $\frac{|OA|}{|OA_1|} ={}$ $\frac{|OB|}{|OB_1|}$ dla prostych równoległych przecinających ramiona kąta.
Figury podobne w skali $k$ : obwody w stosunku $k$ , pola w stosunku $k^2$ .
Trójkąt prostokątny: $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$ .
Trójkąt równoboczny: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ , $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ .
Suma kątów wewnętrznych $n$ -kąta: $(n - 2) \cdot 180^\circ$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Planimetria§ 10 · strona 15–22

Planimetria zaczyna się na stronie 15 broszury. Na stronie 16 są wzory na pole trójkąta oraz związki miarowe w trójkącie prostokątnym i równobocznym, w tym promienie okręgów opisanego i wpisanego. Cechy przystawania i podobieństwa trójkątów są na stronie 17, twierdzenie Talesa na stronie 18, a kąty wpisane i środkowe oraz wycinek koła na stronie 19.

Na stronie 20 znajdziesz twierdzenie o odcinkach stycznych i definicje czworokątów. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa oraz warunki, przy których na czworokącie można opisać okrąg albo w niego wpisać okrąg, też są w broszurze, ale należą do zakresu rozszerzonego. Stosunek pól figur podobnych, równy kwadratowi skali, jest na stronie 22.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak brzmi twierdzenie Talesa?+
Odp.:Jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu. Na przykład gdy $|OA| = 4$ , $|AA_1| = 6$ i $|OB| = 5$ , to $|BB_1| = 7{,}5$ , bo $\frac{4}{6} ={}$ $\frac{5}{7{,}5}$ .
2.Jaka jest zależność między kątem wpisanym a środkowym?+
Odp.:Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt środkowy $140^\circ$ daje kąt wpisany $70^\circ$ . Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na półokręgu ma $90^\circ$ .
3.Jak sprawdzić, czy trójkąty są podobne?+
Odp.:Najczęściej przez kąty: wystarczy, że dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego. Inne cechy to proporcjonalność wszystkich trzech par boków albo proporcjonalność dwóch par boków i równość kątów między nimi. Równe kąty dają proste równoległe i kąt wspólny dwóch trójkątów.
4.Jak zmienia się pole figury podobnej?+
Odp.:Gdy figura jest podobna w skali $k$ , jej obwód zmienia się $k$ razy, a pole $k^2$ razy. Trójkąt o bokach dwa razy dłuższych ma cztery razy większe pole. Odwrotnie: gdy pola mają się jak $9 : 4$ , to skala jest równa $\frac{3}{2}$ .
5.Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?+
Odp.:W środku przeciwprostokątnej, bo kąt prosty jest kątem wpisanym opartym na półokręgu. Dlatego promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie przeciwprostokątnej, $R = \frac{c}{2}$ . Dla boków $6$ , $8$ , $10$ wychodzi $R = 5$ .
6.Czy na maturze podstawowej są dowody z planimetrii?+
Odp.:Tak. Podstawa programowa wymaga przeprowadzania dowodów geometrycznych (VIII.11), a w arkuszu z 2026 roku było takie zadanie otwarte za 2 punkty, o stosunku pól dwóch trójkątów. W dowodzie zapisz, z czego wynika każdy krok: z równości kątów, z cechy podobieństwa, z wzoru na pole.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Planimetria — kąty wpisane, twierdzenie Talesa, podobieństwo

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Narysuj i oznacz

2.Szukaj kąta wpisanego i środkowego

3.Szukaj trójkątów podobnych

4.Rozwiąż proporcję

5.Sprawdź wynik

Przykłady

1.Kąt wpisany, kąt środkowy i trójkąt równoramienny

2.Twierdzenie Talesa

3.Obwód i pole trójkąta podobnego

4.Promienie okręgów opisanego i wpisanego

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła