Co oznaczają współczynniki a i b w funkcji liniowej?

Współczynnik $a$, nazywany kierunkowym, mówi, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy argument rośnie o $1$, i decyduje o tym, czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji w zerze: wykres przecina oś $y$ w punkcie $(0, b)$.

Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów?

Najpierw policz współczynnik kierunkowy $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Potem podstaw współrzędne jednego z punktów do wzoru $y = ax + b$ i oblicz $b$. Na koniec sprawdź, czy drugi punkt spełnia otrzymany wzór. Dla punktów $(-2, 7)$ i $(1, -2)$ wychodzi $f(x) = -3x + 1$.

Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej?

Rozwiąż równanie $ax + b = 0$. Gdy $a \neq 0$, jedynym rozwiązaniem jest $x = -\frac{b}{a}$, na przykład dla $f(x) = 2x - 6$ miejscem zerowym jest $3$. Gdy $a = 0$, funkcja jest stała: nie ma miejsc zerowych, jeśli $b \neq 0$, a każda liczba jest miejscem zerowym, jeśli $b = 0$.

Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca?

Gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Jeśli $a$ zależy od parametru, na przykład $f(x) = (2m - 6)x + 1$, zapisz nierówność $2m - 6 > 0$ i ją rozwiąż: funkcja jest rosnąca dla $m > 3$. Przy $a < 0$ funkcja jest malejąca, przy $a = 0$ stała.

Jaki związek ma współczynnik kierunkowy z kątem nachylenia prostej?

Współczynnik kierunkowy jest równy tangensowi kąta $\alpha$, jaki wykres tworzy z dodatnią częścią osi $x$: $a = \operatorname{tg} \alpha$. Dla $a = 1$ kąt ma $45^\circ$. Gdy wykres opada, kąt jest rozwarty, a tangens i współczynnik $a$ są ujemne. Ten wzór jest w broszurze CKE na stronie 23.

Czy funkcja stała jest funkcją liniową?

Tak. Funkcja $f(x) = b$ to funkcja liniowa ze współczynnikiem kierunkowym $a = 0$. Jej wykresem jest prosta równoległa do osi $x$. Właśnie dlatego na maturze zdarzają się zadania, w których trzeba zauważyć, że dla pewnej wartości parametru funkcja staje się stała.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Funkcja liniowa

Q: Jaki związek ma współczynnik kierunkowy z kątem nachylenia prostej?

Współczynnik kierunkowy jest równy tangensowi kąta $\alpha$, jaki wykres tworzy z dodatnią częścią osi $x$: $a = \operatorname{tg} \alpha$. Dla $a = 1$ kąt ma $45^\circ$. Gdy wykres opada, kąt jest rozwarty, a tangens i współczynnik $a$ są ujemne. Ten wzór jest w broszurze CKE na stronie 23.

Q: Czy funkcja stała jest funkcją liniową?

Tak. Funkcja $f(x) = b$ to funkcja liniowa ze współczynnikiem kierunkowym $a = 0$. Jej wykresem jest prosta równoległa do osi $x$. Właśnie dlatego na maturze zdarzają się zadania, w których trzeba zauważyć, że dla pewnej wartości parametru funkcja staje się stała.

Funkcja liniowa ma wzór $f(x) = ax + b$ , a jej wykresem jest prosta. Z dwóch liczb $a$ i $b$ odczytasz, czy funkcja rośnie, czy maleje, gdzie wykres przecina osie i jak bardzo jest nachylony. Na tej stronie nauczysz się wyznaczać wzór funkcji z wykresu i z dwóch punktów, liczyć miejsce zerowe i opisywać funkcją liniową sytuacje z życia. Są tu też przykłady i zadania z arkuszy CKE.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, najczęściej jako zadanie zamknięte o współczynnikach $a$ i $b$ albo o wykresie.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Funkcja liniowa to funkcja o wzorze $f(x) = ax + b$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a wykresem prosta.
Współczynnik kierunkowy $a$ mówi, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy argument rośnie o $1$ . Gdy $a > 0$ , funkcja jest rosnąca, gdy $a < 0$ , malejąca, a gdy $a = 0$ , stała: $f(x) = b$ .
Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla $x = 0$ , bo $f(0) = b$ . Wykres przecina oś $y$ w punkcie $(0, b)$ .
Gdy $a \neq 0$ , funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe: $x_0 = -\frac{b}{a}$ . Funkcja stała $f(x) = b$ z $b \neq 0$ nie ma miejsc zerowych, a funkcja $f(x) = 0$ ma ich nieskończenie wiele.
Współczynnik kierunkowy wykresu przechodzącego przez punkty $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ , gdzie $x_A \neq x_B$ , to $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ . Jest on też równy tangensowi kąta, jaki wykres tworzy z dodatnią częścią osi $x$ : $a ={}$ $\operatorname{tg} \alpha$ .
Wykresy dwóch funkcji liniowych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy $a$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Policz współczynnik $a$
Gdy znasz dwa punkty wykresu, podziel różnicę drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych, w tej samej kolejności: $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ . Gdy masz wykres, odczytaj, o ile wykres się wznosi albo opada przy przejściu o jedną kratkę w prawo.
2.Wyznacz $b$
Podstaw do wzoru $y = ax + b$ współrzędne jednego z punktów i rozwiąż równanie z niewiadomą $b$ . Jeśli znasz punkt przecięcia z osią $y$ , to $b$ odczytujesz od razu.
3.Zapisz wzór i sprawdź
Zapisz $f(x) = ax + b$ z obliczonymi liczbami. Podstaw drugi punkt: jeśli wychodzi prawdziwa równość, wzór jest dobry.
4.Policz miejsce zerowe
Rozwiąż równanie $ax + b = 0$ . Gdy $a = 0$ , równanie albo nie ma rozwiązań, albo spełnia je każda liczba, więc najpierw sprawdź, czy funkcja nie jest stała.
5.Zinterpretuj wynik
W zadaniu z treścią zapisz, co oznaczają $a$ i $b$ : zwykle $b$ to wartość początkowa, a $a$ to zmiana na jednostkę, na przykład koszt jednego kilometra. Sprawdź, jakie argumenty mają sens w tej sytuacji.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Wzór funkcji z dwóch punktów
Wykres funkcji liniowej $f$ przechodzi przez punkty $A = (-2, 7)$ i $B = (1, -2)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ i jej miejsce zerowe.
2.Współczynnik z parametrem
Funkcja liniowa jest określona wzorem $f(x) = (2m - 6)x + 1$ . Dla jakich liczb $m$ jest rosnąca? Dla jakiego $m$ nie ma miejsca zerowego?
3.Funkcja liniowa w zadaniu z treścią
Przejazd taksówką kosztuje $8$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz koszt $K$ przejazdu jako funkcję liczby kilometrów $x$ . Oblicz koszt przejazdu $12$ km. Ile kilometrów przejedziesz za $50$ zł?
4.Wzór odczytany z wykresu
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f$ . Zaznaczone punkty mają współrzędne całkowite. Zapisz wzór funkcji $f$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2025, zadanie 13

Zadanie 13. (0–1)

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f(x) = (3 - m)x - 4

. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja

f

nie ma miejsca zerowego dla

m

równego

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2025, arkusz MMAP-P0-100-2505, zadanie 13 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f(x) = ax + b

, gdzie

a

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

Ox

układu współrzędnych pod kątem o mierze

\alpha

(zobacz rysunek). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik

a

we wzorze funkcji

f

jest liczbą dodatnią.

Współczynnik

b

we wzorze funkcji

f

jest liczbą dodatnią.

Zadanie 13.1 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f(x) = ax + b

, gdzie

a

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

Ox

układu współrzędnych pod kątem o mierze

\alpha

(zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta o mierze

\alpha

jest równy

Zadanie 13.2 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 3. (0–1)

Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej

f(x) = -2x + 10

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Prosta

k

ma równanie

y = 2x + 1

. Prosta równoległa do prostej

k

i przechodząca przez punkt

P = (2, 9)

ma równanie

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 5. (0–1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej. Zaznaczone punkty wykresu mają współrzędne całkowite. Ta funkcja jest określona wzorem

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Odwrócenie ilorazu przy liczeniu $a$ . Współczynnik kierunkowy to różnica drugich współrzędnych podzielona przez różnicę pierwszych, a nie odwrotnie.
Odejmowanie współrzędnych w różnej kolejności w liczniku i mianowniku. Jeśli w liczniku jest $y_B - y_A$ , w mianowniku musi być $x_B - x_A$ , inaczej zmienisz znak $a$ .
Pomylenie miejsca zerowego z wyrazem wolnym. Liczba $b$ to druga współrzędna punktu przecięcia wykresu z osią $y$ , a miejsce zerowe $-\frac{b}{a}$ to pierwsza współrzędna punktu przecięcia z osią $x$ .
Zapomnienie o przypadku $a = 0$ . Funkcja $f(x) = 5$ jest liniowa, tylko stała, i nie ma miejsca zerowego.
Uznanie, że proste równoległe mają ten sam wyraz wolny. Równoległe są proste o tym samym współczynniku $a$ , a $b$ wyznaczasz z punktu, przez który prosta przechodzi.

Do zapamiętania

$f(x) = ax + b$ : wykresem jest prosta.
$a > 0$ : rosnąca, $a < 0$ : malejąca, $a = 0$ : stała.
$f(0) = b$ : wykres przecina oś $y$ w punkcie $(0, b)$ .
Miejsce zerowe dla $a \neq 0$ : $x_0 = -\frac{b}{a}$ .
$a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} ={}$ $\operatorname{tg} \alpha$
Proste równoległe: ten sam współczynnik $a$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Geometria analityczna§ 11 · strona 22–26

Funkcja liniowa nie ma w broszurze „Wybrane wzory matematyczne” osobnej części, ale jej wzory znajdziesz w części 11, o geometrii analitycznej. Na stronie 23 jest równanie kierunkowe prostej

y = ax + b

wraz z

a ={}

\operatorname{tg} \alpha

, informacja, że prosta przecina oś

y

w punkcie

(0, b)

, oraz równanie prostej przez dany punkt i przez dwa dane punkty.

Na stronie 24 jest warunek równoległości prostych:

a_1 = a_2

. Obok stoi warunek prostopadłości, ale wyznaczanie równania prostej prostopadłej należy do zakresu rozszerzonego.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Co oznaczają współczynniki a i b w funkcji liniowej?+
Odp.:Współczynnik $a$ , nazywany kierunkowym, mówi, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy argument rośnie o $1$ , i decyduje o tym, czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji w zerze: wykres przecina oś $y$ w punkcie $(0, b)$ .
2.Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów?+
Odp.:Najpierw policz współczynnik kierunkowy $a ={}$ $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ . Potem podstaw współrzędne jednego z punktów do wzoru $y = ax + b$ i oblicz $b$ . Na koniec sprawdź, czy drugi punkt spełnia otrzymany wzór. Dla punktów $(-2, 7)$ i $(1, -2)$ wychodzi $f(x) = -3x + 1$ .
3.Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej?+
Odp.:Rozwiąż równanie $ax + b = 0$ . Gdy $a \neq 0$ , jedynym rozwiązaniem jest $x = -\frac{b}{a}$ , na przykład dla $f(x) = 2x - 6$ miejscem zerowym jest $3$ . Gdy $a = 0$ , funkcja jest stała: nie ma miejsc zerowych, jeśli $b \neq 0$ , a każda liczba jest miejscem zerowym, jeśli $b = 0$ .
4.Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca?+
Odp.:Gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Jeśli $a$ zależy od parametru, na przykład $f(x) = (2m - 6)x + 1$ , zapisz nierówność $2m - 6 > 0$ i ją rozwiąż: funkcja jest rosnąca dla $m > 3$ . Przy $a < 0$ funkcja jest malejąca, przy $a = 0$ stała.
5.Jaki związek ma współczynnik kierunkowy z kątem nachylenia prostej?+
Odp.:Współczynnik kierunkowy jest równy tangensowi kąta $\alpha$ , jaki wykres tworzy z dodatnią częścią osi $x$ : $a ={}$ $\operatorname{tg} \alpha$ . Dla $a = 1$ kąt ma $45^\circ$ . Gdy wykres opada, kąt jest rozwarty, a tangens i współczynnik $a$ są ujemne. Ten wzór jest w broszurze CKE na stronie 23.
6.Czy funkcja stała jest funkcją liniową?+
Odp.:Tak. Funkcja $f(x) = b$ to funkcja liniowa ze współczynnikiem kierunkowym $a = 0$ . Jej wykresem jest prosta równoległa do osi $x$ . Właśnie dlatego na maturze zdarzają się zadania, w których trzeba zauważyć, że dla pewnej wartości parametru funkcja staje się stała.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Funkcja liniowa

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Policz współczynnik aaa

2.Wyznacz bbb

3.Zapisz wzór i sprawdź

4.Policz miejsce zerowe

5.Zinterpretuj wynik

Przykłady

1.Wzór funkcji z dwóch punktów

2.Współczynnik z parametrem

3.Funkcja liniowa w zadaniu z treścią

4.Wzór odczytany z wykresu

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła

1.Policz współczynnik $a$

2.Wyznacz $b$