Jak obliczyć deltę?

Odczytaj współczynniki równania $ax^2 + bx + c = 0$ razem ze znakami i podstaw do wzoru $\Delta = b^2 - 4ac$. Dla $2x^2 - 3x - 2 = 0$ masz $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$, więc $\Delta = 9 + 16 = 25$. Uważaj na znaki: kwadrat liczby ujemnej jest dodatni.

Co oznacza ujemna delta?

Gdy $\Delta 0$ trójmian jest zawsze dodatni, więc nierówność z $>$ spełnia każda liczba, a nierówność z $<$ żadna.

Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Przenieś wszystko na jedną stronę, wyznacz pierwiastki trójmianu, naszkicuj parabolę z ramionami w górę lub w dół zależnie od znaku $a$ i odczytaj, gdzie wykres leży nad osią, a gdzie pod nią. Na koniec zapisz zbiór w postaci przedziałów, pilnując nawiasów przy pierwiastkach.

Czy zawsze trzeba liczyć deltę?

Nie. Gdy w równaniu brakuje wyrazu wolnego, wyłącz $x$ przed nawias. Gdy brakuje wyrazu z $x$, przenieś liczbę na drugą stronę i wyciągnij pierwiastek. Gdy trójmian łatwo rozłożyć na czynniki albo równanie jest już w postaci iloczynowej, pierwiastki odczytasz od razu. Delta jest pewną metodą wtedy, gdy nic prostszego nie widać.

Jaki nawias postawić przy końcu przedziału?

Domknięty, gdy koniec należy do zbioru rozwiązań, czyli przy znakach $\geq$ i $\leq$; otwarty przy $>$ i $<$ oraz zawsze przy nieskończoności. W polskich podręcznikach przedział domknięty zapisuje się zwykle nawiasami $\langle$ i $\rangle$, spotkasz też zapis z nawiasami kwadratowymi. Ważne, żeby było jednoznaczne, które końce należą do rozwiązania.

Ile punktów jest za nierówność kwadratową na maturze?

W arkuszach 2025 i 2026 nierówność kwadratowa była zadaniem otwartym za 2 punkty: jeden za poprawnie wyznaczone pierwiastki trójmianu, drugi za poprawny zbiór rozwiązań. Zapisz obliczenia, bo w zadaniu otwartym sam wynik bez rachunków nie wystarczy.

Czy na maturze podstawowej są równania wyższych stopni?

Tylko w postaci iloczynowej, na przykład $3(x + 3)(x - m)(2x + 4) = 0$: każdy czynnik przyrównujesz do zera. Rozkładanie wielomianu metodą grupowania wyrazów, równania dwukwadratowe i badanie liczby rozwiązań w zależności od parametru należą do zakresu rozszerzonego i na poziomie podstawowym nie obowiązują.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Równania i nierówności kwadratowe

Q: Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Przenieś wszystko na jedną stronę, wyznacz pierwiastki trójmianu, naszkicuj parabolę z ramionami w górę lub w dół zależnie od znaku $a$ i odczytaj, gdzie wykres leży nad osią, a gdzie pod nią. Na koniec zapisz zbiór w postaci przedziałów, pilnując nawiasów przy pierwiastkach.

Q: Czy zawsze trzeba liczyć deltę?

Nie. Gdy w równaniu brakuje wyrazu wolnego, wyłącz $x$ przed nawias. Gdy brakuje wyrazu z $x$, przenieś liczbę na drugą stronę i wyciągnij pierwiastek. Gdy trójmian łatwo rozłożyć na czynniki albo równanie jest już w postaci iloczynowej, pierwiastki odczytasz od razu. Delta jest pewną metodą wtedy, gdy nic prostszego nie widać.

Q: Jaki nawias postawić przy końcu przedziału?

Domknięty, gdy koniec należy do zbioru rozwiązań, czyli przy znakach $\geq$ i $\leq$; otwarty przy $>$ i $<$ oraz zawsze przy nieskończoności. W polskich podręcznikach przedział domknięty zapisuje się zwykle nawiasami $\langle$ i $\rangle$, spotkasz też zapis z nawiasami kwadratowymi. Ważne, żeby było jednoznaczne, które końce należą do rozwiązania.

Q: Ile punktów jest za nierówność kwadratową na maturze?

W arkuszach 2025 i 2026 nierówność kwadratowa była zadaniem otwartym za 2 punkty: jeden za poprawnie wyznaczone pierwiastki trójmianu, drugi za poprawny zbiór rozwiązań. Zapisz obliczenia, bo w zadaniu otwartym sam wynik bez rachunków nie wystarczy.

Q: Czy na maturze podstawowej są równania wyższych stopni?

Tylko w postaci iloczynowej, na przykład $3(x + 3)(x - m)(2x + 4) = 0$: każdy czynnik przyrównujesz do zera. Rozkładanie wielomianu metodą grupowania wyrazów, równania dwukwadratowe i badanie liczby rozwiązań w zależności od parametru należą do zakresu rozszerzonego i na poziomie podstawowym nie obowiązują.

Równanie kwadratowe rozwiążesz wzorem z deltą albo szybciej, rozkładając lewą stronę na czynniki. Nierówność kwadratową rozwiążesz tymi samymi pierwiastkami i jednym szkicem paraboli. Na tej stronie znajdziesz wzory, metodę krok po kroku, przykłady i prawdziwe zadania z arkuszy CKE z matury z matematyki na poziomie podstawowym, gdzie nierówność kwadratowa była w ostatnich latach zadaniem otwartym za 2 punkty.

Na maturze podstawowej: w 3 z 4 arkuszy 2023–2026; w 2025 i 2026 nierówność kwadratowa była zadaniem otwartym za 2 punkty.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Równanie kwadratowe ma postać $ax^2 + bx + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ . Liczba jego rozwiązań zależy od wyróżnika (delty): $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Gdy $\Delta > 0$ , równanie ma dwa rozwiązania: $x_1 ={}$ $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x_2 ={}$ $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Gdy $\Delta = 0$ , ma jedno rozwiązanie $x_0 = -\frac{b}{2a}$ . Gdy $\Delta < 0$ , nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Nie zawsze potrzebujesz delty. Gdy brakuje wyrazu wolnego, wyłącz $x$ przed nawias: $x^2 - 5x = 0$ , czyli $x(x - 5) = 0$ , więc $x = 0$ lub $x = 5$ . Gdy brakuje wyrazu z $x$ , przenieś liczbę na drugą stronę: $x^2 = 9$ daje $x = -3$ lub $x = 3$ .
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem. Dlatego równanie $(x - 1)(x + 2)(x^2 + 4) ={}$ $0$ ma dokładnie dwa rozwiązania, $1$ i $-2$ : czynnik $x^2 + 4$ jest zawsze dodatni.
Nierówność kwadratową rozwiązujesz z wykresu. Gdy $a > 0$ , ramiona paraboli są skierowane do góry: trójmian jest dodatni na zewnątrz pierwiastków i ujemny między nimi. Gdy $a < 0$ , jest odwrotnie.
Znak nieostry ( $\geq$ , $\leq$ ) oznacza, że pierwiastki należą do zbioru rozwiązań, więc przy nich stawiasz nawias domknięty: $\langle 2, +\infty)$ . Przy znaku ostrym ( $>$ , $<$ ) nawias jest otwarty. Przy nieskończoności nawias jest zawsze otwarty.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Przenieś wszystko na jedną stronę
Zapisz nierówność tak, żeby po prawej stronie zostało zero, na przykład $3x^2 - 2x - 8 \geq 0$ . Uporządkuj wyrazy od najwyższej potęgi i odczytaj współczynniki $a$ , $b$ , $c$ razem ze znakami.
2.Wyznacz pierwiastki trójmianu
Oblicz $\Delta = b^2 - 4ac$ i pierwiastki ze wzorów. Jeśli trójmian łatwo rozłożyć na czynniki, na przykład $x^2 - 9 ={}$ $(x - 3)(x + 3)$ , pierwiastki odczytasz od razu, bez delty.
3.Naszkicuj parabolę
Zaznacz pierwiastki na osi liczbowej i narysuj przez nie parabolę: ramiona do góry, gdy $a > 0$ , do dołu, gdy $a < 0$ . Wierzchołka nie musisz dokładnie wyznaczać, liczy się tylko, gdzie wykres jest nad osią, a gdzie pod nią.
4.Odczytaj zbiór rozwiązań
Dla znaku $>$ lub $\geq$ bierzesz te $x$ , dla których wykres leży nad osią, dla znaku $<$ lub $\leq$ te, dla których leży pod osią. Przy znaku nieostrym dołącz pierwiastki, przy ostrym je odrzuć.
5.Zapisz odpowiedź i sprawdź
Zapisz wynik w postaci przedziału albo sumy przedziałów. Sprawdź go dwiema liczbami: podstaw do nierówności liczbę z wnętrza zbioru i liczbę spoza niego. Pierwsza musi spełniać nierówność, druga nie.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Równanie kwadratowe ze wzoru z deltą
Rozwiąż równanie $2x^2 - 3x - 2 = 0$ .
2.Nierówność, w której ramiona paraboli idą w dół
Rozwiąż nierówność $-x^2 + x + 6 \geq 0$ .
3.Nierówność bez wyrazu wolnego
Rozwiąż nierówność $x^2 < 9x$ .
4.Gdy delta jest ujemna
Rozwiąż nierówności $x^2 - 4x + 7 > 0$ oraz $x^2 - 4x + 7 \leq 0$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 10

Zadanie 10. (0–2 pkt)

Rozwiąż nierówność

3x^2 + 4x \geq 6x + 8

Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 10 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Dane jest równanie

3(x + 3)(x - m)(2x + 4) ={}

0

gdzie

x

jest niewiadomą, natomiast

m

jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa

0

. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

m

jest równa

Zadanie 8 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

(x + 5)(x - 2) \le 0

jest

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 3. (0–1)

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f(x) = x^2 - 8x + 12

są liczby

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania

x(x - 2)(x + 7) = 0

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

matura(0–2 pkt)

Rozwiąż nierówność

x^2 - 3x - 18 > 0

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Dzielenie obu stron przez $x$ . Z nierówności $x^2 < 9x$ nie wolno przejść do $x < 9$ , bo nie wiesz, jaki znak ma $x$ . Przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz $x$ przed nawias.
Pominięcie znaku współczynnika $a$ . Gdy $a < 0$ , ramiona paraboli są skierowane do dołu i trójmian jest dodatni między pierwiastkami, a nie na zewnątrz. Zanim odczytasz zbiór, sprawdź, w którą stronę idą ramiona.
Błąd znaku w delcie. Gdy $b = -3$ , to $b^2 = 9$ , a nie $-9$ . Gdy $c$ jest ujemne, wyrażenie $-4ac$ jest dodatnie: dla $a = 3$ i $c = -8$ wychodzi $+96$ .
Zły nawias na końcach przedziału. Przy $\geq$ i $\leq$ pierwiastki należą do zbioru rozwiązań, przy $>$ i $<$ nie należą. Za niejednoznaczny zapis końców CKE nie przyznaje punktu za zbiór rozwiązań.
Zakończenie na pierwiastkach. W nierówności sama para liczb $x_1$ , $x_2$ nie jest odpowiedzią: według zasad oceniania z 2026 roku za nią dostajesz 1 punkt z 2. Drugi jest za zbiór rozwiązań.

Do zapamiętania

$\Delta = b^2 - 4ac$ ; dwa pierwiastki, gdy $\Delta > 0$ , jeden, gdy $\Delta = 0$ , żadnego, gdy $\Delta < 0$ .
$x_1 ={}$ $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_2 ={}$ $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ , a dla $\Delta = 0$ : $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .
Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem.
Dla $a > 0$ trójmian jest dodatni na zewnątrz pierwiastków, ujemny między nimi; dla $a < 0$ odwrotnie.
$\geq$ , $\leq$ : nawias domknięty przy pierwiastkach; $>$ , $<$ : otwarty; przy nieskończoności zawsze otwarty.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Funkcja kwadratowa§ 7 · strona 7–9

Wzory potrzebne na tej stronie są w części o funkcji kwadratowej. Na stronie 7 broszury jest definicja wyróżnika

\Delta = b^2 - 4ac

, a na stronie 8 wzory na pierwiastki w zależności od znaku delty i współrzędne wierzchołka paraboli. Na stronie 9 jest postać iloczynowa funkcji kwadratowej.

Wzory Viète’a, wydrukowane pod postacią iloczynową, należą do zakresu rozszerzonego. Broszura nie mówi natomiast, jak odczytać zbiór rozwiązań nierówności: szkic paraboli i dobór nawiasów to twoja część pracy.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć deltę?+
Odp.:Odczytaj współczynniki równania $ax^2 + bx + c = 0$ razem ze znakami i podstaw do wzoru $\Delta = b^2 - 4ac$ . Dla $2x^2 - 3x - 2 = 0$ masz $a = 2$ , $b = -3$ , $c = -2$ , więc $\Delta = 9 + 16 = 25$ . Uważaj na znaki: kwadrat liczby ujemnej jest dodatni.
2.Co oznacza ujemna delta?+
Odp.:Gdy $\Delta < 0$ , równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, a parabola nie przecina osi $x$ . W nierówności decyduje wtedy znak $a$ : dla $a > 0$ trójmian jest zawsze dodatni, więc nierówność z $>$ spełnia każda liczba, a nierówność z $<$ żadna.
3.Jak rozwiązać nierówność kwadratową?+
Odp.:Przenieś wszystko na jedną stronę, wyznacz pierwiastki trójmianu, naszkicuj parabolę z ramionami w górę lub w dół zależnie od znaku $a$ i odczytaj, gdzie wykres leży nad osią, a gdzie pod nią. Na koniec zapisz zbiór w postaci przedziałów, pilnując nawiasów przy pierwiastkach.
4.Czy zawsze trzeba liczyć deltę?+
Odp.:Nie. Gdy w równaniu brakuje wyrazu wolnego, wyłącz $x$ przed nawias. Gdy brakuje wyrazu z $x$ , przenieś liczbę na drugą stronę i wyciągnij pierwiastek. Gdy trójmian łatwo rozłożyć na czynniki albo równanie jest już w postaci iloczynowej, pierwiastki odczytasz od razu. Delta jest pewną metodą wtedy, gdy nic prostszego nie widać.
5.Jaki nawias postawić przy końcu przedziału?+
Odp.:Domknięty, gdy koniec należy do zbioru rozwiązań, czyli przy znakach $\geq$ i $\leq$ ; otwarty przy $>$ i $<$ oraz zawsze przy nieskończoności. W polskich podręcznikach przedział domknięty zapisuje się zwykle nawiasami $\langle$ i $\rangle$ , spotkasz też zapis z nawiasami kwadratowymi. Ważne, żeby było jednoznaczne, które końce należą do rozwiązania.
6.Ile punktów jest za nierówność kwadratową na maturze?+
Odp.:W arkuszach 2025 i 2026 nierówność kwadratowa była zadaniem otwartym za 2 punkty: jeden za poprawnie wyznaczone pierwiastki trójmianu, drugi za poprawny zbiór rozwiązań. Zapisz obliczenia, bo w zadaniu otwartym sam wynik bez rachunków nie wystarczy.
7.Czy na maturze podstawowej są równania wyższych stopni?+
Odp.:Tylko w postaci iloczynowej, na przykład $3(x + 3)(x - m)(2x + 4) ={}$ $0$ : każdy czynnik przyrównujesz do zera. Rozkładanie wielomianu metodą grupowania wyrazów, równania dwukwadratowe i badanie liczby rozwiązań w zależności od parametru należą do zakresu rozszerzonego i na poziomie podstawowym nie obowiązują.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Równania i nierówności kwadratowe

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Przenieś wszystko na jedną stronę

2.Wyznacz pierwiastki trójmianu

3.Naszkicuj parabolę

4.Odczytaj zbiór rozwiązań

5.Zapisz odpowiedź i sprawdź

Przykłady

1.Równanie kwadratowe ze wzoru z deltą

2.Nierówność, w której ramiona paraboli idą w dół

3.Nierówność bez wyrazu wolnego

4.Gdy delta jest ujemna

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Zadanie otwarte krok po kroku

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła