Kleksa

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Równanie pierwszego stopnia to na przykład 3x−5=163x - 5 = 16: niewiadoma występuje w nim tylko w pierwszej potędze. Na tej stronie nauczysz się rozwiązywać takie równania metodą równań równoważnych, także z nawiasami i ułamkami, sprawdzać, czy liczba jest rozwiązaniem, przekształcać wzory i układać równanie do zadania tekstowego. Znajdziesz tu zadania z arkuszy CKE egzaminu ósmoklasisty i matury z rozwiązaniami oraz zadania do sprawdzenia od razu na stronie.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, co roku także w zadaniu otwartym; na maturze podstawowej: w 4 z 4, zwykle jako nierówność liniowa.

  • kl. VII–VIII
  • liceum, zakres podstawowy
  • egzamin ósmoklasisty
  • matura

Najważniejsze

to musisz umieć
  • Rozwiązanie równania to liczba, która wstawiona w miejsce niewiadomej daje prawdziwą równość. Liczba 44 jest rozwiązaniem równania 2x+3=112x + 3 = 11, bo 2⋅4+3=112 \cdot 4 + 3 = 11.
  • Każde równanie możesz sprawdzić podstawieniem, także równanie drugiego czy trzeciego stopnia. Liczba −2-2 spełnia równanie x3+2x2=0x^3 + 2x^2 = 0, bo (−2)3+(-2)^3 +{}2⋅(−2)2= 2 \cdot (-2)^2 ={}−8+8= -8 + 8 ={}0 0.
  • Równania równoważne mają te same rozwiązania. Dostajesz je, gdy do obu stron dodajesz lub od obu stron odejmujesz tę samą liczbę albo wyrażenie, a także gdy obie strony mnożysz lub dzielisz przez tę samą liczbę różną od zera.
  • „Przeniesienie” wyrazu na drugą stronę ze zmienionym znakiem to skrót: z 5x−7=2x+85x - 7 = 2x + 8 odejmujesz od obu stron 2x2x i dodajesz 77, więc 3x=153x = 15 i x=5x = 5.
  • Ze wzoru wyznaczysz dowolną wielkość tak samo jak niewiadomą z równania. Ze wzoru s=v⋅ts = v \cdot t dostajesz t=svt = \frac{s}{v}, dzieląc obie strony przez vv.
  • W zadaniu tekstowym oznacz literą jedną nieznaną wielkość, pozostałe zapisz wyrażeniami z tą literą i ułóż równanie z warunku, którego jeszcze nie użyłeś. Na koniec sprawdź wynik z treścią i odpowiedz na pytanie z zadania.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

  1. 1.Pozbądź się ułamków

    Jeśli w równaniu są ułamki, pomnóż obie strony przez wspólny mianownik. Pomnóż przez niego każdy wyraz, także ten bez ułamka, a licznik z sumą weź w nawias.

  2. 2.Opuść nawiasy

    Wymnóż nawiasy i pamiętaj, że minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku.

  3. 3.Zbierz niewiadome po jednej stronie

    Wyrazy z xx przenieś na jedną stronę, liczby na drugą, zmieniając znak każdego przenoszonego wyrazu. Zredukuj obie strony, aż dostaniesz postać ax=bax = b.

  4. 4.Podziel przez współczynnik

    Podziel obie strony przez liczbę stojącą przy xx: z ax=bax = b dostajesz x=bax = \frac{b}{a}. Jeśli wynik jest ułamkiem, skróć go.

  5. 5.Sprawdź

    Wstaw wynik do równania wyjściowego i policz osobno lewą i prawą stronę. Jeśli wychodzą równe liczby, rozwiązanie jest dobre. W zadaniu tekstowym sprawdź jeszcze wszystkie warunki z treści.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

  1. 1.Równanie z nawiasami

    Rozwiąż równanie 3(x−2)−2(x+1)=3(x - 2) - 2(x + 1) ={}4−x 4 - x.

  2. 2.Równanie z ułamkami

    Rozwiąż równanie x2+x−13=\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} ={}3 3.

  3. 3.Zadanie tekstowe z procentami

    Po obniżce ceny o 20%20\% kurtka kosztuje 192192 zł. Oblicz cenę kurtki przed obniżką.

  4. 4.Wyznaczanie wielkości ze wzoru

    Pole trapezu wyraża się wzorem P=P ={}(a+b)⋅h2 \frac{(a + b) \cdot h}{2}. Wyznacz z niego hh i oblicz wysokość trapezu o polu 3030 cm² i podstawach 77 cm i 55 cm.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE
Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.
Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2026, zadanie 15

Zadanie 15. (0–2 pkt)

Do wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160160 kartek. Każda z tych kartek była w jednym z czterech kolorów: białym, niebieskim, zielonym lub czerwonym. Kartek białych było 3737. Kartek niebieskich było 1,51{,}5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było o 1010 mniej niż czerwonych. Oblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2026, arkusz OMAP-100-2605, zadanie 15 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym równania pierwszego stopnia są narzędziem w niemal każdym zadaniu, a osobno pytają o nie trzy wymagania. Pierwsze to równoważne przekształcanie równań i nierówności, także takich, w których niewiadoma stoi w mianowniku, jak x+23x−1=\frac{x + 2}{3x - 1} ={}25 \frac{2}{5}. Zanim pomnożysz na krzyż, zapisz, że mianownik nie może być zerem.
Drugie wymaganie to równania i nierówności sprzeczne i tożsamościowe. Równanie 2x+1=2x+52x + 1 = 2x + 5 jest sprzeczne, bo po odjęciu 2x2x zostaje fałszywa równość 1=51 = 5, więc nie ma rozwiązań. Równanie 2(x+1)=2x+22(x + 1) = 2x + 2 jest tożsamościowe: spełnia je każda liczba rzeczywista.
Trzecie to nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Rozwiązujesz je jak równania, z jedną różnicą: gdy mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, zmieniasz zwrot nierówności. Z 3−2x≥73 - 2x \geq 7 dostajesz −2x≥4-2x \geq 4, a po podzieleniu przez −2-2 wychodzi x≤−2x \leq -2, czyli przedział (−∞,−2](-\infty, -2]. Wynik zaznaczasz na osi liczbowej z zamalowanym końcem, gdy nierówność jest nieostra.
Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 9

Zadanie 9. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rozwiązaniem równania x+23x−1=\frac{x + 2}{3x - 1} ={}25 \frac{2}{5} jest liczba

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 9 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu
Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.
egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Rozwiąż równanie 8x+6=4x+308x + 6 = 4x + 30. Podaj liczbę, która je spełnia.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

Rozwiąż równanie 6x+15=4x+96x + 15 = 4x + 9. Podaj liczbę, która je spełnia.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

Do 1010 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze, łącznie 400400 sztuk tych owoców. W każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek jest o 66 większa od liczby pomarańczy. Ile sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 7 z arkusza CKE OMAP-100-2605 (egzamin ósmoklasisty 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 4. (0–1)

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia nierówność 3x−15>43x - 15 > 4.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt
  • Przeniesienie wyrazu na drugą stronę bez zmiany znaku. Z x+7=3x + 7 = 3 wychodzi x=3−7=−4x = 3 - 7 = -4, a nie x=10x = 10. Przeniesienie to odjęcie tej samej liczby od obu stron.
  • Mnożenie przez wspólny mianownik tylko ułamków. W równaniu x2+1=5\frac{x}{2} + 1 = 5 mnożysz przez 22 także jedynkę i piątkę: x+2=10x + 2 = 10, więc x=8x = 8, a nie x+1=10x + 1 = 10.
  • Zgubiony nawias przy liczniku po minusie. −x−13-\frac{x - 1}{3} po pomnożeniu przez 33 daje −(x−1)=−x+1-(x - 1) = -x + 1, a nie −x−1-x - 1.
  • Odpowiedź na inne pytanie niż w zadaniu. W zadaniu z kartkami x=38x = 38 to liczba kartek czerwonych, a pytanie dotyczy niebieskich. Po rozwiązaniu równania przeczytaj pytanie jeszcze raz.

Do zapamiętania

  • Do obu stron równania możesz dodać to samo i obie strony pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.
  • Przeniesienie wyrazu na drugą stronę zmienia jego znak.
  • Ułamki usuwasz, mnożąc każdy wyraz przez wspólny mianownik.
  • Rozwiązanie zawsze sprawdzasz, wstawiając je do równania wyjściowego.
  • W zadaniu tekstowym literą oznaczasz jedną wielkość, a pozostałe zapisujesz za jej pomocą.

Pytania i odpowiedzi

  1. 1.Jak rozwiązać równanie pierwszego stopnia?+
    Odp.:Doprowadź je do postaci ax=bax = b: usuń ułamki, mnożąc przez wspólny mianownik, opuść nawiasy, przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą, i zredukuj. Potem podziel obie strony przez aa. Na przykład 5x−7=2x+85x - 7 = 2x + 8 daje 3x=153x = 15, czyli x=5x = 5. Na koniec sprawdź wynik podstawieniem.
  2. 2.Jak sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem równania?+
    Odp.:Wstaw ją w miejsce niewiadomej i policz osobno lewą i prawą stronę. Jeśli wyniki są równe, liczba jest rozwiązaniem. Ten sposób działa dla każdego równania, także drugiego i trzeciego stopnia, i podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga go wprost. W zadaniach zamkniętych często szybciej jest sprawdzić odpowiedzi niż rozwiązywać równanie.
  3. 3.Jak rozwiązać równanie z ułamkami?+
    Odp.:Znajdź wspólny mianownik wszystkich ułamków i pomnóż przez niego obie strony równania, czyli każdy wyraz. Liczniki, które są sumą lub różnicą, weź w nawias, zanim pomnożysz. Dostaniesz równanie bez ułamków, które rozwiązujesz zwykłą metodą. Przykład: x2+x−13=\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} ={}3 3 po pomnożeniu przez 66 daje 3x+2(x−1)=183x + 2(x - 1) = 18.
  4. 4.Jak rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania?+
    Odp.:Przeczytaj treść i wybierz jedną nieznaną wielkość, najlepiej tę, z którą porównywane są inne. Oznacz ją literą, a pozostałe wielkości zapisz wyrażeniami z tą literą. Ułóż równanie z warunku o sumie, różnicy albo stosunku. Rozwiąż je, sprawdź wynik z treścią i zapisz odpowiedź na pytanie, które naprawdę zadano.
  5. 5.Czy równanie może nie mieć rozwiązania?+
    Odp.:Tak. Jeśli po przekształceniach niewiadoma znika i zostaje fałszywa równość, na przykład 1=51 = 5, równanie jest sprzeczne i nie ma rozwiązań. Jeśli zostaje prawdziwa równość, na przykład 2=22 = 2, spełnia je każda liczba. Nazwy równanie sprzeczne i równanie tożsamościowe wymienia wprost dopiero podstawa programowa liceum i pojawiają się one na maturze.
  6. 6.Czy na egzaminie ósmoklasisty są nierówności?+
    Odp.:Rozwiązywanie nierówności nie należy do wymagań szkoły podstawowej. Na egzaminie ósmoklasisty możesz najwyżej zaznaczyć na osi liczbowej zbiór liczb spełniających prosty warunek, na przykład x≥1,5x \geq 1{,}5. Nierówności liniowe rozwiązujesz w liceum, a na maturze podstawowej są w każdym arkuszu.
  7. 7.Czy na egzaminie ósmoklasisty można liczyć na kalkulatorze?+
    Odp.:Nie. Według komunikatu CKE o przyborach na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę, a kalkulator dostaje jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Dlatego dobieraj działania tak, żeby liczyć wygodnie: najpierw usuń ułamki dziesiętne, mnożąc równanie przez 1010, a dopiero potem dziel.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.