Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

Pierwsza współrzędna wierzchołka to $p = -\frac{b}{2a}$, a druga to $q = f(p)$ albo, równoważnie, $q = -\frac{\Delta}{4a}$. Dla $f(x) = x^2 - 2x - 3$ wychodzi $p = 1$ i $q = -4$. Jeśli funkcja jest dana w postaci kanonicznej $a(x - p)^2 + q$, wierzchołek odczytujesz bez liczenia.

Jakie są postacie funkcji kwadratowej?

Trzy. Postać ogólna $f(x) = ax^2 + bx + c$ pokazuje punkt przecięcia z osią $y$. Postać kanoniczna $f(x) = a(x - p)^2 + q$ pokazuje wierzchołek. Postać iloczynowa $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ pokazuje miejsca zerowe, ale istnieje tylko wtedy, gdy $\Delta \geq 0$. We wszystkich trzech współczynnik $a$ jest ten sam.

Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?

Policz wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$. Gdy jest dodatni, miejsca zerowe to $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Gdy jest równy zeru, jedynym miejscem zerowym jest $-\frac{b}{2a}$. Gdy jest ujemny, funkcja nie ma miejsc zerowych. Przy $c = 0$ szybciej jest wyłączyć $x$ przed nawias.

Jak znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale?

Najpierw policz $p = -\frac{b}{2a}$ i sprawdź, czy należy do przedziału. Potem policz wartości funkcji na obu końcach przedziału i, jeśli $p$ do niego należy, w wierzchołku. Największa z tych liczb jest wartością największą, a najmniejsza najmniejszą. Tak opisuje to wymaganie V.10 podstawy programowej.

Jak rozwiązać zadanie optymalizacyjne na maturze podstawowej?

Wprowadź zmienną $x$ i zapisz wielkość, którą trzeba zmaksymalizować albo zminimalizować, jako funkcję kwadratową. Podaj, jakie wartości $x$ mają sens w zadaniu. Potem wyznacz $p = -\frac{b}{2a}$, sprawdź, czy należy do tego przedziału, i policz szukaną wartość. Na końcu odpowiedz na pytanie z zadania, na przykład podaj wymiary.

Czy wzory Viète’a obowiązują tylko w zakresie rozszerzonym?

Tak, wzory Viète’a podstawa programowa wymienia tylko w zakresie rozszerzonym. Na poziomie podstawowym sumę i iloczyn miejsc zerowych możesz policzyć wprost, z wyróżnika albo z postaci iloczynowej. Pamiętaj też, że $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$: to wynika z symetrii paraboli.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Funkcja kwadratowa — wierzchołek, postacie, wykres

Funkcja kwadratowa ma wzór $f(x) = ax^2 + bx + c$ , a jej wykresem jest parabola. Na maturze podstawowej trzeba umieć znaleźć jej wierzchołek i miejsca zerowe, przejść od jednej postaci wzoru do drugiej, odczytać zbiór wartości, wyznaczyć wartość najmniejszą i największą w przedziale i rozwiązać zadanie optymalizacyjne. Wszystko to znajdziesz tu krok po kroku, z przykładami i zadaniami z arkuszy CKE.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, zwykle w dwóch zadaniach lub więcej: o wierzchołku, miejscach zerowych, wykresie i optymalizacji.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej: $f(x) = ax^2 + bx + c$ , gdzie $a \neq 0$ . Jej wykresem jest parabola. Gdy $a > 0$ , ramiona paraboli są skierowane do góry, gdy $a < 0$ , do dołu. Liczba $c = f(0)$ mówi, gdzie parabola przecina oś $y$ .
Wierzchołek paraboli to punkt $W = (p, q)$ , gdzie $p = -\frac{b}{2a}$ i $q ={}$ $-\frac{\Delta}{4a}$ . Drugą współrzędną możesz też policzyć jako $q = f(p)$ . Prosta $x = p$ jest osią symetrii paraboli.
Postać kanoniczna: $f(x) = a(x - p)^2 + q$ . Wierzchołek odczytujesz z niej od razu, ale uważaj na znak: dla $f(x) = 2(x - 3)^2 - 2$ wierzchołek to $(3, -2)$ .
Wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ decyduje o liczbie miejsc zerowych. Gdy $\Delta > 0$ , są dwa: $x_1 ={}$ $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x_2 ={}$ $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Gdy $\Delta = 0$ , jest jedno: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ . Gdy $\Delta < 0$ , nie ma żadnego.
Postać iloczynowa istnieje, gdy $\Delta \geq 0$ : $f(x) ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ .
Zbiór wartości: $[q, +\infty)$ , gdy $a > 0$ , i $(-\infty, q]$ , gdy $a < 0$ . Funkcja z $a > 0$ maleje w przedziale $(-\infty, p]$ i rośnie w przedziale $[p, +\infty)$ , a funkcja z $a < 0$ odwrotnie.
W przedziale domkniętym $[m, n]$ największej i najmniejszej wartości szukasz wśród $f(m)$ , $f(n)$ oraz $f(p)$ , ale $f(p)$ bierzesz pod uwagę tylko wtedy, gdy $p$ leży w tym przedziale.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Odczytaj współczynniki
Zapisz $a$ , $b$ i $c$ razem ze znakami. Znak $a$ powie ci, w którą stronę są skierowane ramiona, a $c$ , gdzie parabola przecina oś $y$ .
2.Policz deltę i miejsca zerowe
Oblicz $\Delta = b^2 - 4ac$ . Jeśli $\Delta \geq 0$ , policz miejsca zerowe ze wzorów i zapisz postać iloczynową. Gdy brakuje ci tylko jednego miejsca zerowego, wystarczy symetria: drugie leży tak samo daleko od $p$ .
3.Wyznacz wierzchołek
Policz $p = -\frac{b}{2a}$ , a potem $q = f(p)$ . Zapisz postać kanoniczną $f(x) = a(x - p)^2 + q$ i sprawdź ją, podstawiając $x = 0$ : musi wyjść $c$ .
4.Naszkicuj wykres
Zaznacz wierzchołek, miejsca zerowe i punkt $(0, c)$ , narysuj oś symetrii i poprowadź parabolę z ramionami w dobrą stronę. Z takiego szkicu odczytasz zbiór wartości i przedziały monotoniczności.
5.Szukaj wartości w przedziale
Gdy zadanie pyta o wartość największą lub najmniejszą w przedziale domkniętym, sprawdź, czy $p$ do niego należy. Policz wartości na końcach przedziału i ewentualnie w wierzchołku, a potem porównaj.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Od postaci ogólnej do kanonicznej i iloczynowej
Dana jest funkcja $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . Wyznacz jej miejsca zerowe, wierzchołek paraboli, postać kanoniczną, postać iloczynową i zbiór wartości. Parabola jest na rysunku w części „Najważniejsze”.
2.Największa i najmniejsza wartość w przedziale
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ w przedziale $[0, 3]$ , a potem w przedziale $[3, 5]$ .
3.Wzór z wierzchołka i jednego punktu
Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ , ma współrzędne $(2, -1)$ . Parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0, 3)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej.
4.Zadanie optymalizacyjne
Suma dwóch liczb jest równa $10$ . Jakie to liczby, jeśli ich iloczyn jest największy z możliwych? Oblicz ten iloczyn.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 14

Zadanie 14. (0–4 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (3, -2)

. Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g(x) = f(x + 1)

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

g

jest liczba

0

. Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 14 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h(t) ={}

-4{,}9t^2 + 14{,}7t

gdzie: czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię; wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Zadanie 33.1 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h(t) ={}

-4{,}9t^2 + 14{,}7t

gdzie: czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię; wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

Zadanie 33.2 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 3. (0–1)

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji

f(x) = x^2 + 4x + 2

jest punkt

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f(x) = x^2 - 8x + 15

są liczby

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 5. (0–1)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej

f(x) = x^2 + 2x - 3

w przedziale

\langle -3, 2 \rangle

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

matura(0–4 pkt)

Pan Adam ma 96 m siatki i chce ogrodzić nią prostokątny teren pod wybieg dla kur, przylegający jednym bokiem do muru (wzdłuż muru siatka nie jest potrzebna). Oblicz wymiary terenu, dla których jego pole jest największe, oraz to największe pole.

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Zgubienie minusa albo dwójki we wzorze na wierzchołek. Pierwsza współrzędna to $p = -\frac{b}{2a}$ : dla $f(x) = x^2 - 6x + 1$ wychodzi $p = 3$ , a nie $-3$ ani $6$ .
Zły znak przy odczytywaniu wierzchołka z postaci kanonicznej. Z $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$ odczytujesz $W = (3, -2)$ , a z $f(x) = a(x + 3)^2 - 2$ odczytujesz $W = (-3, -2)$ .
Branie wartości w wierzchołku, gdy wierzchołek nie leży w przedziale z zadania. Wtedy największa i najmniejsza wartość są na końcach przedziału.
Zapisanie postaci iloczynowej przy $\Delta < 0$ . Taka funkcja nie ma miejsc zerowych, więc postaci iloczynowej nie ma.
Pominięcie współczynnika $a$ w postaci kanonicznej lub iloczynowej. Wzór $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ opisuje inną funkcję niż $f(x) ={}$ $-2(x - 1)(x - 5)$ , choć obie mają te same miejsca zerowe.

Do zapamiętania

$\Delta = b^2 - 4ac$
$p = -\frac{b}{2a}$ , $q ={}$ $-\frac{\Delta}{4a} ={}$ $f(p)$
Postać kanoniczna: $f(x) = a(x - p)^2 + q$ .
Postać iloczynowa (dla $\Delta \geq 0$ ): $f(x) ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
$a > 0$ : ramiona do góry, zbiór wartości $[q, +\infty)$ . $a < 0$ : ramiona do dołu, zbiór wartości $(-\infty, q]$ .
W przedziale domkniętym porównaj wartości na końcach i w wierzchołku, jeśli do niego należy.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Funkcja kwadratowa§ 7 · strona 7–9

Funkcja kwadratowa ma w broszurze „Wybrane wzory matematyczne” część 7. Na stronie 7 jest wyróżnik

\Delta = b^2 - 4ac

i postać ogólna, a na stronie 8 współrzędne wierzchołka, kierunek ramion paraboli, liczba miejsc zerowych w zależności od

\Delta

ze wzorami na

x_1

x_2

oraz postać kanoniczna.

Postać iloczynowa jest na początku strony 9. Tuż pod nią są wzory Viète’a, które należą do zakresu rozszerzonego, więc na poziomie podstawowym nie musisz z nich korzystać.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć wierzchołek paraboli?+
Odp.:Pierwsza współrzędna wierzchołka to $p = -\frac{b}{2a}$ , a druga to $q = f(p)$ albo, równoważnie, $q ={}$ $-\frac{\Delta}{4a}$ . Dla $f(x) = x^2 - 2x - 3$ wychodzi $p = 1$ i $q = -4$ . Jeśli funkcja jest dana w postaci kanonicznej $a(x - p)^2 + q$ , wierzchołek odczytujesz bez liczenia.
2.Jakie są postacie funkcji kwadratowej?+
Odp.:Trzy. Postać ogólna $f(x) = ax^2 + bx + c$ pokazuje punkt przecięcia z osią $y$ . Postać kanoniczna $f(x) = a(x - p)^2 + q$ pokazuje wierzchołek. Postać iloczynowa $f(x) ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ pokazuje miejsca zerowe, ale istnieje tylko wtedy, gdy $\Delta \geq 0$ . We wszystkich trzech współczynnik $a$ jest ten sam.
3.Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?+
Odp.:Policz wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ . Gdy jest dodatni, miejsca zerowe to $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Gdy jest równy zeru, jedynym miejscem zerowym jest $-\frac{b}{2a}$ . Gdy jest ujemny, funkcja nie ma miejsc zerowych. Przy $c = 0$ szybciej jest wyłączyć $x$ przed nawias.
4.Jak znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale?+
Odp.:Najpierw policz $p = -\frac{b}{2a}$ i sprawdź, czy należy do przedziału. Potem policz wartości funkcji na obu końcach przedziału i, jeśli $p$ do niego należy, w wierzchołku. Największa z tych liczb jest wartością największą, a najmniejsza najmniejszą. Tak opisuje to wymaganie V.10 podstawy programowej.
5.Jak rozwiązać zadanie optymalizacyjne na maturze podstawowej?+
Odp.:Wprowadź zmienną $x$ i zapisz wielkość, którą trzeba zmaksymalizować albo zminimalizować, jako funkcję kwadratową. Podaj, jakie wartości $x$ mają sens w zadaniu. Potem wyznacz $p = -\frac{b}{2a}$ , sprawdź, czy należy do tego przedziału, i policz szukaną wartość. Na końcu odpowiedz na pytanie z zadania, na przykład podaj wymiary.
6.Czy wzory Viète’a obowiązują tylko w zakresie rozszerzonym?+
Odp.:Tak, wzory Viète’a podstawa programowa wymienia tylko w zakresie rozszerzonym. Na poziomie podstawowym sumę i iloczyn miejsc zerowych możesz policzyć wprost, z wyróżnika albo z postaci iloczynowej. Pamiętaj też, że $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ : to wynika z symetrii paraboli.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Funkcja kwadratowa — wierzchołek, postacie, wykres

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Odczytaj współczynniki

2.Policz deltę i miejsca zerowe

3.Wyznacz wierzchołek

4.Naszkicuj wykres

5.Szukaj wartości w przedziale

Przykłady

1.Od postaci ogólnej do kanonicznej i iloczynowej

2.Największa i najmniejsza wartość w przedziale

3.Wzór z wierzchołka i jednego punktu

4.Zadanie optymalizacyjne

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Zadanie otwarte krok po kroku

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła