Jakie wzory skróconego mnożenia obowiązują na maturze podstawowej?

Trzy: kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ i różnica kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Tak zapisuje to podstawa programowa w wymaganiu II.1 zakresu podstawowego. Wzory z sześcianami są w zakresie rozszerzonym.

Czym się różni kwadrat różnicy od różnicy kwadratów?

Kwadrat różnicy to $(a - b)^2$: najpierw odejmujesz, potem podnosisz do kwadratu, i wychodzą trzy wyrazy $a^2 - 2ab + b^2$. Różnica kwadratów to $a^2 - b^2$: najpierw podnosisz każdą liczbę do kwadratu, potem odejmujesz, a wynik zapisujesz jako iloczyn $(a - b)(a + b)$. Na przykład $(5 - 3)^2 = 4$, a $5^2 - 3^2 = 16$.

Jak łatwo zapamiętać wzory skróconego mnożenia?

Zapamiętaj jeden: kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, plus podwojony iloczyn, plus kwadrat drugiego. Kwadrat różnicy różni się tylko minusem przy podwojonym iloczynie. Różnicę kwadratów sprawdzisz, mnożąc $(a - b)(a + b)$: wyrazy $ab$ i $-ab$ się redukują i zostaje $a^2 - b^2$.

Czy wzory skróconego mnożenia są na karcie wzorów?

Tak. Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne”, którą dostajesz na maturze, ma je na stronie 7. Zanim jednak zaczniesz ich tam szukać, zadanie zamknięte z kwadratem dwumianu możesz już mieć rozwiązane, jeśli znasz wzory na pamięć. Na maturze liczy się czas.

Czy na egzaminie ósmoklasisty trzeba znać wzory skróconego mnożenia?

Nie. Podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga tylko mnożenia dwumianu przez dwumian z redukcją wyrazów podobnych (wymaganie IV.4), więc $(x + 3)^2$ policzysz tam jako $(x + 3)(x + 3)$. Nazwane wzory poznajesz w liceum.

Do czego przydają się wzory skróconego mnożenia?

Do szybkiego rozwijania nawiasów, do upraszczania wyrażeń z pierwiastkami, do rozkładu wyrażeń na czynniki i do skracania ułamków algebraicznych, na przykład $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$ dla $x \neq 3$. Kwadrat różnicy pomaga też w dowodach nierówności, bo kwadrat każdej liczby jest nieujemny.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Wzory skróconego mnożenia

Trzy wzory: kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. Dzięki nim podniesiesz dwumian do kwadratu bez mnożenia wyraz po wyrazie, zamienisz sumę na iloczyn i policzysz wartość wyrażenia z pierwiastkami w jednej linijce. Na maturze podstawowej pojawiają się co roku. Tu znajdziesz wzory, metodę, przykłady, zadanie z arkusza CKE i zadania do sprawdzenia się.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, zawsze jako zadanie zamknięte z kwadratem dwumianu.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Kwadrat sumy: $(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$ . Kwadrat różnicy: $(a - b)^2 ={}$ $a^2 - 2ab + b^2$ . Różnica kwadratów: $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ . Tylko te trzy wzory obowiązują na poziomie podstawowym.
Wzory działają dla dowolnych liczb i wyrażeń w miejscu $a$ i $b$ : dla $2x$ , dla $\sqrt{3}$ , dla $-5$ . W $(3x - 4)^2$ masz $a = 3x$ i $b = 4$ , więc $a^2 = 9x^2$ , a nie $3x^2$ .
Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn. Bez niego wynik jest zły: $(a + b)^2$ to nie $a^2 + b^2$ .
Wzory czytasz w obie strony. Od lewej do prawej rozwijasz nawias, od prawej do lewej zapisujesz sumę jako iloczyn: $x^2 + 10x + 25 ={}$ $(x + 5)^2$ , $4x^2 - 9 ={}$ $(2x - 3)(2x + 3)$ .
Suma kwadratów $a^2 + b^2$ nie rozkłada się w ten sposób na iloczyn. Różnica kwadratów tak.
Wzory na sześcian sumy i różnicy oraz na sumę i różnicę sześcianów są w broszurze CKE, ale należą do zakresu rozszerzonego.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Rozpoznaj wzór
Sprawdź, co stoi w zadaniu: kwadrat nawiasu z plusem, kwadrat nawiasu z minusem czy iloczyn dwóch nawiasów, które różnią się tylko znakiem. Gdy masz sumę trzech wyrazów, zobacz, czy dwa z nich są kwadratami.
2.Nazwij $a$ i $b$
Zapisz, co jest pierwszym wyrazem, a co drugim, razem ze współczynnikami i pierwiastkami. W $(2\sqrt{3} + 1)^2$ jest $a = 2\sqrt{3}$ i $b = 1$ . Znak minus zostaw we wzorze, a nie w $b$ .
3.Policz trzy wyrazy osobno
Oblicz $a^2$ , potem $2ab$ , potem $b^2$ . Każdy kwadrat liczy się z całym wyrazem: $(2\sqrt{3})^2 ={}$ $4 \cdot 3 ={}$ $12$ . Dopiero na końcu zapisz sumę.
4.Uprość wynik
Zredukuj wyrazy podobne. Jeśli od kwadratu odejmujesz drugi kwadrat, weź go najpierw w nawias, bo minus zmienia znaki wszystkich jego wyrazów.
5.Sprawdź liczbą
Podstaw prostą liczbę, na przykład $x = 1$ , do wyrażenia z zadania i do swojego wyniku. Jeśli wartości się różnią, w rachunku jest błąd. Na maturze masz kalkulator prosty, więc takie sprawdzenie zajmie chwilę.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Kwadrat różnicy
Zapisz wyrażenie $(3x - 2)^2$ w postaci sumy algebraicznej.
2.Wzory z pierwiastkami
Oblicz $(2\sqrt{3} + 1)^2$ oraz $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$ .
3.Różnica dwóch kwadratów dwumianów
Uprość wyrażenie $(x + 3)^2 - (x - 3)^2$ .
4.Rachunek w pamięci
Oblicz bez kalkulatora $101^2 - 99^2$ oraz $51^2$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 6

Zadanie 6. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia

x^2 + 10x + 25

dla

x = \sqrt{2} - 5

jest równa

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 6 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Wyrażenie

(3x - 5)^2

jest równe

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 2. (0–1)

Wyrażenie

(2x + 3)^2

jest równe

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 3. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia

\frac{x^2 - 36}{x - 6}

dla

x = 1

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

matura(0–2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

16x^2 + 9y^2 \ge 24xy

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Zapisanie $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . Brakuje podwojonego iloczynu $2ab$ : dla $a = b = 1$ po lewej jest $4$ , a po prawej $2$ .
Podniesienie do kwadratu tylko liczby albo tylko litery: $(3x)^2 = 9x^2$ , a nie $3x^2$ ani $9x$ .
Zgubienie nawiasu przy odejmowaniu kwadratu. W $(x + 3)^2 - (x - 3)^2$ minus stoi przed całym rozwinięciem $x^2 - 6x + 9$ i zmienia znak każdego z trzech wyrazów.
Mylenie kwadratu różnicy z różnicą kwadratów: $(a - b)^2$ to $a^2 - 2ab + b^2$ , a $a^2 - b^2$ to $(a - b)(a + b)$ .
Znak środkowego wyrazu w kwadracie różnicy. W $(a - b)^2$ środkowy wyraz jest ujemny, a $b^2$ zawsze dodatni.

Do zapamiętania

$(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 ={}$ $a^2 - 2ab + b^2$
$a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$
Środkowy wyraz to podwojony iloczyn $2ab$ .
Wzory czytasz w obie strony: rozwijasz nawias albo zwijasz sumę w iloczyn.
Sprawdzaj wynik, podstawiając $x = 1$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Wzory skróconego mnożenia§ 6 · strona 7

Wzory skróconego mnożenia są na stronie 7 broszury „Wybrane wzory matematyczne”, w części 6. Znajdziesz tam kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów, a także przypadek szczególny

a^2 - 1 ={}

(a - 1)(a + 1)

Na tej samej stronie są też wzory na sześcian sumy i różnicy, na sumę i różnicę sześcianów oraz na

a^n - b^n

. Na poziomie podstawowym nie obowiązują, należą do zakresu rozszerzonego. Trzy podstawowe wzory warto znać na pamięć, bo przydają się w prawie każdym dziale.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jakie wzory skróconego mnożenia obowiązują na maturze podstawowej?+
Odp.:Trzy: kwadrat sumy $(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$ , kwadrat różnicy $(a - b)^2 ={}$ $a^2 - 2ab + b^2$ i różnica kwadratów $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ . Tak zapisuje to podstawa programowa w wymaganiu II.1 zakresu podstawowego. Wzory z sześcianami są w zakresie rozszerzonym.
2.Czym się różni kwadrat różnicy od różnicy kwadratów?+
Odp.:Kwadrat różnicy to $(a - b)^2$ : najpierw odejmujesz, potem podnosisz do kwadratu, i wychodzą trzy wyrazy $a^2 - 2ab + b^2$ . Różnica kwadratów to $a^2 - b^2$ : najpierw podnosisz każdą liczbę do kwadratu, potem odejmujesz, a wynik zapisujesz jako iloczyn $(a - b)(a + b)$ . Na przykład $(5 - 3)^2 = 4$ , a $5^2 - 3^2 = 16$ .
3.Jak łatwo zapamiętać wzory skróconego mnożenia?+
Odp.:Zapamiętaj jeden: kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, plus podwojony iloczyn, plus kwadrat drugiego. Kwadrat różnicy różni się tylko minusem przy podwojonym iloczynie. Różnicę kwadratów sprawdzisz, mnożąc $(a - b)(a + b)$ : wyrazy $ab$ i $-ab$ się redukują i zostaje $a^2 - b^2$ .
4.Czy wzory skróconego mnożenia są na karcie wzorów?+
Odp.:Tak. Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne”, którą dostajesz na maturze, ma je na stronie 7. Zanim jednak zaczniesz ich tam szukać, zadanie zamknięte z kwadratem dwumianu możesz już mieć rozwiązane, jeśli znasz wzory na pamięć. Na maturze liczy się czas.
5.Czy na egzaminie ósmoklasisty trzeba znać wzory skróconego mnożenia?+
Odp.:Nie. Podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga tylko mnożenia dwumianu przez dwumian z redukcją wyrazów podobnych (wymaganie IV.4), więc $(x + 3)^2$ policzysz tam jako $(x + 3)(x + 3)$ . Nazwane wzory poznajesz w liceum.
6.Do czego przydają się wzory skróconego mnożenia?+
Odp.:Do szybkiego rozwijania nawiasów, do upraszczania wyrażeń z pierwiastkami, do rozkładu wyrażeń na czynniki i do skracania ułamków algebraicznych, na przykład $\frac{x^2 - 9}{x - 3} ={}$ $x + 3$ dla $x \neq 3$ . Kwadrat różnicy pomaga też w dowodach nierówności, bo kwadrat każdej liczby jest nieujemny.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Wzory skróconego mnożenia

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Rozpoznaj wzór

2.Nazwij aaa i bbb

3.Policz trzy wyrazy osobno

4.Uprość wynik

5.Sprawdź liczbą

Przykłady

1.Kwadrat różnicy

2.Wzory z pierwiastkami

3.Różnica dwóch kwadratów dwumianów

4.Rachunek w pamięci

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Zadanie otwarte krok po kroku

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła

2.Nazwij $a$ i $b$