Co to jest wartość bezwzględna liczby?

Wartość bezwzględna liczby $x$ to jej odległość od zera na osi liczbowej, zapisywana $|x|$. Dla liczb nieujemnych jest równa samej liczbie, a dla ujemnych liczbie przeciwnej: $|4| = 4$ i $|{-4}| = 4$. Dlatego wynik nigdy nie jest ujemny.

Jak rozwiązać równanie |x + 4| = 5?

Wyrażenie $x + 4$ musi być równe $5$ albo $-5$. Z równania $x + 4 = 5$ dostajesz $x = 1$, a z równania $x + 4 = -5$ dostajesz $x = -9$. Rozwiązaniami są liczby $-9$ i $1$. Na osi liczbowej leżą one w odległości $5$ od liczby $-4$.

Ile rozwiązań ma równanie z wartością bezwzględną?

Równanie $|x - a| = b$ ma dwa rozwiązania, gdy $b > 0$, jedno rozwiązanie, gdy $b = 0$, i żadnego, gdy $b < 0$. Wynika to z tego, że $|x - a|$ jest odległością punktu $x$ od punktu $a$, a odległość nie jest ujemna.

Czy na maturze podstawowej są nierówności z wartością bezwzględną?

Nie w wymaganiach z 2024 roku. Podstawa programowa wymienia w zakresie podstawowym tylko równania typu $|x + 4| = 5$, a równania i nierówności z wartością bezwzględną w ogólnej postaci to zakres rozszerzony. W arkuszach z 2023 i 2024 roku CKE zadała jeszcze nierówności, ale to było przed wejściem obecnej podstawy.

Czemu jest równe √(a²)?

Pierwiastek kwadratowy jest zawsze nieujemny, więc $\sqrt{a^2} = |a|$, a nie $a$. Na przykład $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 = |{-2}|$. Ten wzór jest wydrukowany w broszurze CKE na stronie 4, w części 2.

Jak obliczyć odległość dwóch liczb na osi liczbowej?

Odejmij je od siebie i weź wartość bezwzględną wyniku: odległość liczb $a$ i $b$ to $|a - b|$. Odległość liczb $-1$ i $6$ wynosi $|6 - (-1)| = 7$. Kolejność nie ma znaczenia, bo $|a - b| = |b - a|$.

Co jest na karcie wzorów o wartości bezwzględnej?

Na stronie 4 broszury, w części 1, są definicja i podstawowe własności: $|x| \ge 0$, $|{-x}| = |x|$, iloczyn, iloraz i nierówność trójkąta. Wzory na rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną musisz znać z nauki, bo karta ich nie podaje.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Wartość bezwzględna — definicja i proste równania

Q: Czy na maturze podstawowej są nierówności z wartością bezwzględną?

Nie w wymaganiach z 2024 roku. Podstawa programowa wymienia w zakresie podstawowym tylko równania typu $|x + 4| = 5$, a równania i nierówności z wartością bezwzględną w ogólnej postaci to zakres rozszerzony. W arkuszach z 2023 i 2024 roku CKE zadała jeszcze nierówności, ale to było przed wejściem obecnej podstawy.

Q: Czemu jest równe √(a²)?

Pierwiastek kwadratowy jest zawsze nieujemny, więc $\sqrt{a^2} = |a|$, a nie $a$. Na przykład $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 = |{-2}|$. Ten wzór jest wydrukowany w broszurze CKE na stronie 4, w części 2.

Q: Jak obliczyć odległość dwóch liczb na osi liczbowej?

Odejmij je od siebie i weź wartość bezwzględną wyniku: odległość liczb $a$ i $b$ to $|a - b|$. Odległość liczb $-1$ i $6$ wynosi $|6 - (-1)| = 7$. Kolejność nie ma znaczenia, bo $|a - b| = |b - a|$.

Q: Co jest na karcie wzorów o wartości bezwzględnej?

Na stronie 4 broszury, w części 1, są definicja i podstawowe własności: $|x| \ge 0$, $|{-x}| = |x|$, iloczyn, iloraz i nierówność trójkąta. Wzory na rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną musisz znać z nauki, bo karta ich nie podaje.

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej, dlatego nigdy nie jest ujemna. Na maturze podstawowej wystarczy ci ta definicja i umiejętność rozwiązania równania typu $|x + 4| = 5$ . Na tej stronie znajdziesz interpretację geometryczną i algebraiczną, metodę rozwiązywania równań krok po kroku, przykłady z rozwiązaniami oraz zadania do sprawdzenia, a także wyjaśnienie, czego z wartości bezwzględnej na poziomie podstawowym nie musisz umieć.

Na maturze podstawowej: w żadnym z 4 arkuszy 2023–2026 nie było równania z wartością bezwzględną; dawne nierówności są dziś poziomem rozszerzonym.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Definicja: jeśli $x \ge 0$ , to $|x| = x$ ; jeśli $x < 0$ , to $|x| = -x$ . Zatem $|7| = 7$ i $|{-7}| = 7$ . Wartość bezwzględna zostawia liczby nieujemne bez zmian, a liczbom ujemnym zmienia znak.
Interpretacja geometryczna: $|x|$ to odległość punktu $x$ od punktu $0$ na osi liczbowej. Ogólniej $|a - b|$ to odległość między liczbami $a$ i $b$ : odległość liczb $2$ i $7$ wynosi $|7 - 2| = 5$ i tyle samo $|2 - 7|$ .
Wartość bezwzględna nie jest ujemna: $|x| \ge 0$ , a $|x| = 0$ tylko dla $x = 0$ . Zawsze $|{-x}| = |x|$ i $|x \cdot y| ={}$ $|x| \cdot |y|$ . Natomiast $|x + y|$ na ogół nie jest równe $|x| + |y|$ .
Równanie $|x - a| = b$ rozwiązujesz, pytając, które liczby są odległe od $a$ o $b$ . Gdy $b > 0$ , są dwie takie liczby: $x = a - b$ oraz $x = a + b$ . Gdy $b = 0$ , jest jedna: $x = a$ . Gdy $b < 0$ , nie ma żadnej, bo odległość nie bywa ujemna.
Równanie $|x + 4| = 5$ ma postać $|x - a| = b$ dla $a = -4$ , bo $x + 4 = x - (-4)$ . Pamiętaj o tym przy znaku: liczba dodana do $x$ wewnątrz wartości bezwzględnej to $a$ ze zmienionym znakiem.
Z definicji wynika też, że $\sqrt{a^2} = |a|$ dla każdej liczby $a$ . Na przykład $\sqrt{(-5)^2} ={}$ $\sqrt{25} ={}$ $5 ={}$ $|{-5}|$ .
Na maturze podstawowej wartość bezwzględna występuje w równaniach typu $|x + 4| = 5$ : jedna wartość bezwzględna, przy $x$ współczynnik $1$ i liczba po prawej stronie. Równania z dwiema wartościami bezwzględnymi, z wyrażeniem $2x - 3$ w środku i wszystkie nierówności z wartością bezwzględną należą do zakresu rozszerzonego.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Doprowadź równanie do postaci |x − a| = b
Sprowadź wartość bezwzględną do postaci z różnicą w środku. Równanie $|x + 10| = 4$ to $|x - (-10)| = 4$ , więc $a = -10$ , a $b = 4$ . Jeśli wartość bezwzględna jest po obu stronach albo przy $x$ stoi współczynnik różny od $1$ , to nie jest zadanie na poziomie podstawowym.
2.Sprawdź liczbę po prawej stronie
Jeśli $b < 0$ , równanie nie ma rozwiązań i na tym kończysz. Jeśli $b = 0$ , jest jedno rozwiązanie $x = a$ . Jeśli $b > 0$ , będą dwa rozwiązania.
3.Zapisz dwa równania bez wartości bezwzględnej
Wyrażenie w środku jest równe $b$ albo $-b$ : $x - a = b$ lub $x - a = -b$ . Na osi liczbowej to dwie liczby po obu stronach punktu $a$ , każda w odległości $b$ od niego.
4.Rozwiąż każde równanie osobno
Dodaj $a$ do obu stron każdego z równań. Dostajesz $x = a + b$ oraz $x = a - b$ . Rozwiązania możesz podać jako dwie liczby albo jako zbiór.
5.Sprawdź wynik
Podstaw obie liczby do wyjściowego równania albo sprawdź na osi liczbowej, czy są odległe od $a$ o $b$ . Obie muszą spełniać równanie.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Obliczanie wartości bezwzględnej
Oblicz $|{-7}|$ , $|3 - 8|$ , $|\sqrt{5} - 3|$ i $|5 - \sqrt{2}|$ .
2.Odległość na osi liczbowej
Na osi liczbowej zaznaczono punkty $A = -4$ i $B = 9$ . Oblicz odległość między nimi i zapisz ją dwoma sposobami.
3.Równanie typu |x − a| = b
Rozwiąż równanie $|x + 10| = 4$ . Następnie rozstrzygnij, ile rozwiązań mają równania $|x - 9| = 0$ i $|x + 1| = -6$ .

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Rozwiązaniami równania

|x - 6| = 1

są liczby

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 2. (0–1)

Rozwiązaniami równania

|x + 4| = 7

są liczby

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia

|1 - \sqrt{3}| +{}

|\sqrt{3} - 2|

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich liczb, których odległość od liczby

3

na osi liczbowej jest równa

4

, jest

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 5. (0–1)

Dane są trzy zdania o wartości bezwzględnej. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest równość

|{-x}| = x

Dla

a = -3

b = 5

prawdziwa jest równość

|a + b| = |a| + |b|

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest nierówność

|x| \ge x

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Ujemny wynik wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględna nie bywa ujemna, więc $|\sqrt{5} - 3| ={}$ $3 - \sqrt{5}$ , a nie $\sqrt{5} - 3$ . Najpierw ustal znak wyrażenia w środku, dopiero potem zdejmij kreski.
Znalezienie tylko jednego rozwiązania. Równanie $|x - a| = b$ dla $b > 0$ ma zawsze dwa rozwiązania, po jednym z każdej strony punktu $a$ . Samo $x - a = b$ daje ci tylko jedno z nich.
Pomylenie znaku przy przejściu do $|x - a|$ . Z równania $|x + 10| = 4$ nie dostaniesz rozwiązań $6$ i $14$ , bo rozwiązania leżą w odległości $4$ od liczby $-10$ , a nie od $10$ : są to $-6$ i $-14$ .
Zapisywanie rozwiązań jako $x = \pm b$ w każdym równaniu. Wynik $\pm b$ jest dobry tylko dla $|x| = b$ . W równaniu $|x - a| = b$ rozwiązania leżą symetrycznie wokół $a$ , nie wokół zera.
Rozbicie różnicy na różnicę wartości bezwzględnych. Wyrażenie $|x - a|$ nie jest równe $|x| - |a|$ : dla $x = 2$ i $a = 5$ po lewej stronie jest $|2 - 5| = 3$ , a po prawej $|2| - |5| = -3$ .

Do zapamiętania

$|x| = x$ dla $x \ge 0$ i $|x| = -x$ dla $x < 0$ . Zawsze $|x| \ge 0$ .
$|a - b|$ to odległość liczb $a$ i $b$ na osi liczbowej.
$|x - a| = b$ , $b > 0$ : dwa rozwiązania $x = a - b$ i $x = a + b$ . Dla $b = 0$ jedno, dla $b < 0$ żadnego.
$|x + 4| = 5$ to $|x - (-4)| = 5$ : szukasz liczb odległych o $5$ od $-4$ .
$\sqrt{a^2} = |a|$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Wartość bezwzględna liczby§ 1 · strona 4
Potęgi i pierwiastki§ 2 · strona 4–5

Wartość bezwzględna jest na stronie 4 broszury „Wybrane wzory matematyczne”, w części 1. Znajdziesz tam definicję, informację, że

|x|

to odległość punktu

x

od zera, oraz własności

|x| \ge 0

|{-x}| = |x|

|x \cdot y| ={}

|x| \cdot |y|

|x + y| \le |x| + |y|

. Równość

\sqrt{a^2} = |a|

jest na dole tej samej strony, w części 2.

Na stronie 4 są też równoważności

|x - a| \le r

oraz

|x - a| \ge r

zapisane bez wartości bezwzględnej. Służą do rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, a te należą do zakresu rozszerzonego, więc na maturze podstawowej tych wzorów nie potrzebujesz.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Co to jest wartość bezwzględna liczby?+
Odp.:Wartość bezwzględna liczby $x$ to jej odległość od zera na osi liczbowej, zapisywana $|x|$ . Dla liczb nieujemnych jest równa samej liczbie, a dla ujemnych liczbie przeciwnej: $|4| = 4$ i $|{-4}| = 4$ . Dlatego wynik nigdy nie jest ujemny.
2.Jak rozwiązać równanie |x + 4| = 5?+
Odp.:Wyrażenie $x + 4$ musi być równe $5$ albo $-5$ . Z równania $x + 4 = 5$ dostajesz $x = 1$ , a z równania $x + 4 = -5$ dostajesz $x = -9$ . Rozwiązaniami są liczby $-9$ i $1$ . Na osi liczbowej leżą one w odległości $5$ od liczby $-4$ .
3.Ile rozwiązań ma równanie z wartością bezwzględną?+
Odp.:Równanie $|x - a| = b$ ma dwa rozwiązania, gdy $b > 0$ , jedno rozwiązanie, gdy $b = 0$ , i żadnego, gdy $b < 0$ . Wynika to z tego, że $|x - a|$ jest odległością punktu $x$ od punktu $a$ , a odległość nie jest ujemna.
4.Czy na maturze podstawowej są nierówności z wartością bezwzględną?+
Odp.:Nie w wymaganiach z 2024 roku. Podstawa programowa wymienia w zakresie podstawowym tylko równania typu $|x + 4| = 5$ , a równania i nierówności z wartością bezwzględną w ogólnej postaci to zakres rozszerzony. W arkuszach z 2023 i 2024 roku CKE zadała jeszcze nierówności, ale to było przed wejściem obecnej podstawy.
5.Czemu jest równe √(a²)?+
Odp.:Pierwiastek kwadratowy jest zawsze nieujemny, więc $\sqrt{a^2} = |a|$ , a nie $a$ . Na przykład $\sqrt{(-2)^2} ={}$ $\sqrt{4} ={}$ $2 ={}$ $|{-2}|$ . Ten wzór jest wydrukowany w broszurze CKE na stronie 4, w części 2.
6.Jak obliczyć odległość dwóch liczb na osi liczbowej?+
Odp.:Odejmij je od siebie i weź wartość bezwzględną wyniku: odległość liczb $a$ i $b$ to $|a - b|$ . Odległość liczb $-1$ i $6$ wynosi $|6 - (-1)| = 7$ . Kolejność nie ma znaczenia, bo $|a - b| = |b - a|$ .
7.Co jest na karcie wzorów o wartości bezwzględnej?+
Odp.:Na stronie 4 broszury, w części 1, są definicja i podstawowe własności: $|x| \ge 0$ , $|{-x}| = |x|$ , iloczyn, iloraz i nierówność trójkąta. Wzory na rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną musisz znać z nauki, bo karta ich nie podaje.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 26 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Wartość bezwzględna — definicja i proste równania

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Doprowadź równanie do postaci |x − a| = b

2.Sprawdź liczbę po prawej stronie

3.Zapisz dwa równania bez wartości bezwzględnej

4.Rozwiąż każde równanie osobno

5.Sprawdź wynik

Przykłady

1.Obliczanie wartości bezwzględnej

2.Odległość na osi liczbowej

3.Równanie typu |x − a| = b

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła