Co to jest wielomian?

Wielomian jednej zmiennej to suma jednomianów postaci $a x^n$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą nieujemną. Największy wykładnik przy niezerowym współczynniku to jego stopień. Wielomian $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ ma stopień $3$, a $x^2 + 25$ stopień $2$.

Jak rozwiązać równanie wielomianowe w postaci iloczynowej?

Przyrównaj każdy czynnik do zera i rozwiąż osobno każde równanie. Dla $(x - 6)(x + 2) \cdot 3 = 0$ czynnik $3$ pomijasz, z $x - 6 = 0$ dostajesz $6$, a z $x + 2 = 0$ dostajesz $-2$. Rozwiązania to wszystkie liczby, które zerują któryś czynnik.

Jak wyłączyć jednomian przed nawias?

Znajdź największy wspólny dzielnik współczynników i najniższą potęgę $x$, która występuje w każdym wyrazie, a potem podziel przez nią każdy wyraz. Dla $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$ wspólnym czynnikiem jest $4x^2$ i dostajesz $4x^2(3x^2 - 2x + 1)$. Wynik sprawdzisz, mnożąc nawias z powrotem.

Jak policzyć stopień wielomianu?

Stopień sumy lub różnicy to najwyższa potęga $x$, która nie zniknęła po redukcji wyrazów podobnych. Stopień iloczynu to suma stopni czynników, więc iloczyn trzech dwumianów, jak w czwartym przykładzie, ma stopień $1 + 1 + 1 = 3$.

Czy na maturze podstawowej trzeba dzielić wielomiany albo szukać pierwiastków całkowitych?

Nie. Dzielenie wielomianów przez dwumian, rozkład metodą grupowania wyrazów, szukanie pierwiastków całkowitych i nierówności wielomianowe to zakres rozszerzony. W zakresie podstawowym równanie wielomianowe jest już w postaci iloczynowej albo wystarczy wyłączyć jednomian przed nawias.

Czy na karcie wzorów są wielomiany?

Nie ma na niej osobnej części o wielomianach. Jest część 6 z wzorami skróconego mnożenia na stronie 7, która pomaga rozkładać wielomiany na czynniki. Samo mnożenie wielomianów, wyłączanie przed nawias i zasadę iloczynu równego zeru musisz znać z nauki.

Ile rozwiązań może mieć równanie wielomianowe?

Równanie w postaci iloczynowej ma tyle różnych rozwiązań, ile jest różnych liczb zerujących któryś czynnik. Równanie $x(x - 1)(x + 1) = 0$ ma trzy rozwiązania, a $x^2(x - 1) = 0$ tylko dwa: $0$ i $1$. Rozwiązań rzeczywistych nie ma więcej niż stopień wielomianu.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Wielomiany — działania i równania w postaci iloczynowej

Wielomian to suma jednomianów, na przykład $2x^3 - 3x^2 + x - 5$ . Na maturze podstawowej dodajesz i mnożysz wielomiany, wyłączasz wspólny jednomian przed nawias i rozwiązujesz równania, w których wielomian jest już zapisany jako iloczyn. Wystarczy do tego jedna zasada: iloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest równy zero. Na tej stronie znajdziesz metodę, przykłady, zadanie z arkusza CKE i zadania do sprawdzenia.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, jako równanie w postaci iloczynowej albo zadanie o wielomianie zapisanym jako suma.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie $W(x) ={}$ $a_n x^n +{}$ $\ldots + a_1 x +{}$ $a_0$ , gdzie $a_n \neq 0$ . Liczba $n$ jest stopniem wielomianu. Wielomian $2x^3 - 3x^2 + x - 5$ ma stopień $3$ .
Wielomiany dodajesz i odejmujesz, łącząc wyrazy podobne, czyli te z tą samą potęgą $x$ . Mnożysz, mnożąc każdy wyraz jednego czynnika przez każdy wyraz drugiego, a potem łącząc wyrazy podobne. Stopień iloczynu jest sumą stopni czynników.
Wyłączanie jednomianu przed nawias to mnożenie „od tyłu”: z każdego wyrazu wyciągasz wspólny czynnik. Na przykład $10x^4 + 15x^2 ={}$ $5x^2(2x^2 + 3)$ .
Wzory skróconego mnożenia pomagają rozłożyć wielomian na czynniki: $x^2 - 9 ={}$ $(x - 3)(x + 3)$ , a ogólnie $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ . Czynnik kwadratowy rozłożysz też, licząc jego miejsca zerowe.
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy któryś czynnik jest równy zero. Równanie $(x - 3)(x + 5) \cdot x ={}$ $0$ rozbijasz więc na trzy równania: $x - 3 = 0$ , $x + 5 = 0$ i $x = 0$ .
Czynnik, który nie przyjmuje wartości zero, nie daje rozwiązań. Tak jest z czynnikiem $x^2 + 9$ : kwadrat jest nieujemny, więc $x^2 + 9 \ge 9 > 0$ .
Na poziomie podstawowym rozwiązujesz równania wielomianowe tylko takie, w których wielomian jest zapisany w postaci iloczynowej albo łatwo ją otrzymasz, wyłączając jednomian przed nawias lub stosując wzór skróconego mnożenia. Dzielenie wielomianów, grupowanie wyrazów, szukanie pierwiastków całkowitych i nierówności wielomianowe to zakres rozszerzony.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Doprowadź wielomian do postaci iloczynowej
Jeśli równanie nie jest jeszcze iloczynem, wyłącz wspólny jednomian przed nawias: $2x^3 - 6x^2 - 8x ={}$ $2x(x^2 - 3x - 4)$ . Gdy zostaje różnica kwadratów, użyj wzoru $a^2 - b^2$ .
2.Rozłóż czynnik kwadratowy
Policz miejsca zerowe trójmianu kwadratowego. Jeśli ma pierwiastki $x_1$ i $x_2$ , zapisz go jako $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Jeśli $\Delta < 0$ , czynnik nie ma rozwiązań rzeczywistych i zostaje, jak jest.
3.Przyrównaj każdy czynnik do zera
Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. Pomiń czynniki stałe, na przykład liczbę $2$ albo $\sqrt{3}$ z przodu, bo nie dają rozwiązań.
4.Rozwiąż równania i zbierz rozwiązania
Rozwiąż osobno każde równanie z poprzedniego kroku. Zapisz wszystkie różne rozwiązania, a liczby powtórzone wypisz raz. Czynnik bez pierwiastków rzeczywistych nie dodaje niczego.
5.Sprawdź przez podstawienie
Podstaw każde rozwiązanie do pierwotnego równania. Jeśli któryś czynnik jest równy zeru, cały iloczyn jest zerem. Sprawdź też, czy nie zginęło rozwiązanie $x = 0$ , gdy przed nawiasami stoi $x$ .

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Dodawanie i odejmowanie wielomianów
Dane są wielomiany $W(x) ={}$ $2x^3 - 3x^2 + x - 5$ i $V(x) ={}$ $x^3 + 4x^2 - 2x + 3$ . Oblicz $W(x) + V(x)$ oraz $W(x) - V(x)$ .
2.Mnożenie wielomianów
Oblicz iloczyn $(x + 3)(2x^2 - x + 4)$ i podaj stopień wyniku.
3.Wyłączanie przed nawias i równanie w postaci iloczynowej
Rozwiąż równanie $2x^3 - 6x^2 - 8x = 0$ .
4.Mnożenie trzech nawiasów i sprawdzenie liczby
Wielomian $W$ jest dany wzorem $W(x) ={}$ $(x - 1)(x + 2)(x - 3)$ . Zapisz go w postaci sumy jednomianów i sprawdź, czy liczba $-2$ jest rozwiązaniem równania $W(x) = 0$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2025, zadanie 7

Zadanie 7. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie

2x(x + 3)(x^2 + 25) ={}

0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2025, arkusz MMAP-P0-100-2505, zadanie 7 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania

x(x - 8)(x + 5) = 0

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 2. (0–1)

Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania

x(x - 5)(x + 9) = 0

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Wielomian

6x^3 - 9x^2

zapisano w postaci

3x^2(ax + b)

. Oblicz

a + b

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloczyn wielomianów

(x - 2)(x^2 + 3x - 1)

jest równy

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 5. (0–1)

Dane są trzy zdania o wielomianach i równaniach. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wielomian

(x^2 + 2)(3x^3 - x)

ma stopień

6

Liczba

-1

jest rozwiązaniem równania

x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0

Suma dwóch wielomianów stopnia trzeciego jest zawsze wielomianem stopnia trzeciego.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Pominięcie wyrazów przy mnożeniu nawiasów. Dwumian razy trójmian to sześć iloczynów, a nie cztery: $(2x + 1)(x^2 - 4x + 3) ={}$ $2x^3 -{}$ $8x^2 +{}$ $6x +{}$ $x^2 -{}$ $4x +{}$ $3 ={}$ $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ .
Zły znak przy odejmowaniu wielomianów. Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu: $(3x^2 + 2x - 1) -{}$ $(x^2 - 4x + 5) ={}$ $2x^2 + 6x - 6$ , a nie $2x^2 - 2x - 6$ .
Pomylenie znaku rozwiązania z czynnika. Z czynnika $x + 6$ dostajesz $x = -6$ , a z czynnika $x - 3$ dostajesz $x = 3$ . Rozwiązanie ma znak przeciwny do liczby w nawiasie.
Szukanie rozwiązań w czynniku bez pierwiastków rzeczywistych. Równanie $x^2 + 9 = 0$ nie ma rozwiązań, bo $x^2 \ge 0$ . Taki czynnik pomijasz, bo nie zeruje się dla żadnego $x$ .
Skracanie równania przez $x$ . Z równania $x(x - 3) = 0$ nie wolno dzielić obu stron przez $x$ , bo tracisz rozwiązanie $x = 0$ . Przenieś wszystko na jedną stronę i przyrównaj każdy czynnik do zera.

Do zapamiętania

Iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy któryś czynnik jest zerem.
Stopień iloczynu to suma stopni czynników.
Wyłączanie przed nawias: $ax^n + bx^m ={}$ $x^m(ax^{n-m} + b)$ dla $n > m$ .
$a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ .
Czynnik $x^2 + c$ z $c > 0$ nie daje rozwiązań rzeczywistych.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Wzory skróconego mnożenia§ 6 · strona 7

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie ma osobnej części o wielomianach, więc działania na nich i postać iloczynową musisz umieć z nauki. Pomocna jest strona 7, w części 6: znajdziesz tam wzory skróconego mnożenia

(a + b)^2

(a - b)^2

a^2 - b^2

, które przydają się przy rozkładaniu na czynniki.

Na tej samej stronie 7 są też wzory na

(a \pm b)^3

a^3 \pm b^3

a^n - b^n

. W zakresie podstawowym nie obowiązują, należą do zakresu rozszerzonego.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Co to jest wielomian?+
Odp.:Wielomian jednej zmiennej to suma jednomianów postaci $a x^n$ , gdzie $n$ jest liczbą całkowitą nieujemną. Największy wykładnik przy niezerowym współczynniku to jego stopień. Wielomian $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ ma stopień $3$ , a $x^2 + 25$ stopień $2$ .
2.Jak rozwiązać równanie wielomianowe w postaci iloczynowej?+
Odp.:Przyrównaj każdy czynnik do zera i rozwiąż osobno każde równanie. Dla $(x - 6)(x + 2) \cdot 3 ={}$ $0$ czynnik $3$ pomijasz, z $x - 6 = 0$ dostajesz $6$ , a z $x + 2 = 0$ dostajesz $-2$ . Rozwiązania to wszystkie liczby, które zerują któryś czynnik.
3.Jak wyłączyć jednomian przed nawias?+
Odp.:Znajdź największy wspólny dzielnik współczynników i najniższą potęgę $x$ , która występuje w każdym wyrazie, a potem podziel przez nią każdy wyraz. Dla $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$ wspólnym czynnikiem jest $4x^2$ i dostajesz $4x^2(3x^2 - 2x + 1)$ . Wynik sprawdzisz, mnożąc nawias z powrotem.
4.Jak policzyć stopień wielomianu?+
Odp.:Stopień sumy lub różnicy to najwyższa potęga $x$ , która nie zniknęła po redukcji wyrazów podobnych. Stopień iloczynu to suma stopni czynników, więc iloczyn trzech dwumianów, jak w czwartym przykładzie, ma stopień $1 + 1 + 1 = 3$ .
5.Czy na maturze podstawowej trzeba dzielić wielomiany albo szukać pierwiastków całkowitych?+
Odp.:Nie. Dzielenie wielomianów przez dwumian, rozkład metodą grupowania wyrazów, szukanie pierwiastków całkowitych i nierówności wielomianowe to zakres rozszerzony. W zakresie podstawowym równanie wielomianowe jest już w postaci iloczynowej albo wystarczy wyłączyć jednomian przed nawias.
6.Czy na karcie wzorów są wielomiany?+
Odp.:Nie ma na niej osobnej części o wielomianach. Jest część 6 z wzorami skróconego mnożenia na stronie 7, która pomaga rozkładać wielomiany na czynniki. Samo mnożenie wielomianów, wyłączanie przed nawias i zasadę iloczynu równego zeru musisz znać z nauki.
7.Ile rozwiązań może mieć równanie wielomianowe?+
Odp.:Równanie w postaci iloczynowej ma tyle różnych rozwiązań, ile jest różnych liczb zerujących któryś czynnik. Równanie $x(x - 1)(x + 1) = 0$ ma trzy rozwiązania, a $x^2(x - 1) = 0$ tylko dwa: $0$ i $1$ . Rozwiązań rzeczywistych nie ma więcej niż stopień wielomianu.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 26 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Wielomiany — działania i równania w postaci iloczynowej

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Doprowadź wielomian do postaci iloczynowej

2.Rozłóż czynnik kwadratowy

3.Przyrównaj każdy czynnik do zera

4.Rozwiąż równania i zbierz rozwiązania

5.Sprawdź przez podstawienie

Przykłady

1.Dodawanie i odejmowanie wielomianów

2.Mnożenie wielomianów

3.Wyłączanie przed nawias i równanie w postaci iloczynowej

4.Mnożenie trzech nawiasów i sprawdzenie liczby

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła