Як знайти об’єм піраміди?

Помнож площу основи на висоту й поділи на три: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$. Для основи площею $36$ і висоти $5$ маємо $\dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 60$. Формула однакова для будь-якої піраміди, бо залежить лише від площі основи й висоти.

Що таке апофема піраміди?

Апофема — це висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини піраміди до сторони основи. Усі апофеми правильної піраміди рівні. Апофема, висота піраміди й відстань від центра основи до сторони утворюють прямокутний трикутник, у якому апофема — гіпотенуза.

Як знайти площу бічної поверхні правильної піраміди?

Помнож периметр основи на апофему й поділи на два: $S_{\text{б}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$. Для сторони основи $8$ і апофеми $5$ правильної чотирикутної піраміди периметр дорівнює $32$, а бічна поверхня $80$.

Як знайти висоту піраміди, якщо відоме бічне ребро?

Знайди відстань $R$ від центра основи до її вершини і застосуй теорему Піфагора: $H = \sqrt{l^2 - R^2}$, де $l$ — бічне ребро. Для квадрата ця відстань — половина діагоналі: $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Пам’ятай, що це працює, коли всі бічні ребра рівні, бо тоді висота проходить через центр кола, описаного навколо основи.

Які формули піраміди є в довідкових матеріалах НМТ?

На сторінці 24 у блоці «Об’ємні фігури та тіла»: об’єм правильної піраміди $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$ і бічна поверхня $S_{\text{б}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$. Формули повної поверхні та відстаней усередині основи треба вивести самому.

Чи входить піраміда до НМТ щороку?

Так, у 2023–2026 роках піраміда є в кожному році: у завданнях 8, 9 і 21. Це може бути формула об’єму, площа бічної поверхні правильної піраміди або задача з короткою відповіддю, де піраміду поєднано з конусом чи призмою. Тож тренуй і формули, і теорему Піфагора всередині тіла.

НМТ 2027 · математика

Піраміда: об’єм, площа бічної поверхні, апофема і висота

Піраміда — це многогранник, в основі якого многокутник, а бічні грані — трикутники зі спільною вершиною. Два головні результати — об’єм через площу основи й висоту та площа бічної поверхні через периметр основи й апофему. Решта задач зводиться до теореми Піфагора в трикутнику, що містить висоту піраміди. На НМТ піраміда є щороку. Тут зібрано формули, метод, приклади та два справжні завдання УЦОЯО з розв’язаннями.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 8, 9 і 21: від формули об’єму до бічної поверхні й задач разом з конусом чи призмою.

Головне

це треба вміти

Висота піраміди $H$ — перпендикуляр, опущений з вершини на площину основи. У правильній піраміді в основі лежить правильний многокутник, а висота проходить через його центр, тому всі бічні ребра рівні, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.
Об’єм піраміди: $V ={}$ $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$ . Це втричі менше за об’єм призми з тією ж основою й висотою. Площа основи залежить від її виду: для ромба $S ={}$ $\dfrac{1}{2} d_1 d_2$ .
Апофема $m$ правильної піраміди — висота її бічної грані, проведена з вершини. Площа бічної поверхні: $S_{\text{б}} ={}$ $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$ , де $P_{\text{осн}}$ — периметр основи. Повна поверхня: $S ={}$ $S_{\text{б}} + S_{\text{осн}}$ , бо основа одна.
Висота $H$ , апофема $m$ і відрізок від центра основи до середини сторони утворюють прямокутний трикутник. Інший прямокутний трикутник утворюють висота, бічне ребро $l$ і відрізок від центра основи до вершини. Для квадрата зі стороною $a$ ці відрізки дорівнюють $\dfrac{a}{2}$ і $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ відповідно.
Для правильного трикутника зі стороною $a$ відстань від центра до сторони дорівнює $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ , а до вершини — $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ . Площу такого трикутника можна знайти за формулою $S ={}$ $\dfrac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin 60°$ .

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Назви піраміду й виділи основу
З’ясуй, правильна піраміда чи ні, і що лежить в основі: квадрат, прямокутник, ромб чи трикутник. Знайди площу й периметр основи; у правильній піраміді висота проходить через центр основи.
2.Знайди висоту піраміди
Якщо висоти в умові немає, шукай її з прямокутного трикутника: катети — висота й відстань від центра основи до вершини або до сторони, гіпотенуза — бічне ребро або апофема. Запиши теорему Піфагора й знайди $H$ .
3.Вибери формулу
Об’єм шукай як $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} H$ . Бічну поверхню правильної піраміди шукай як $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} m$ , і саме з апофемою, а не з бічним ребром.
4.Підстав числа й порахуй
Підстав площу основи, висоту чи апофему й периметр. Не пропускай множник $\dfrac{1}{3}$ в об’ємі й $\dfrac{1}{2}$ в бічній поверхні.
5.Перевір відповідь
Апофема завжди довша за висоту, а бічне ребро довше за апофему. Об’єм піраміди менший за об’єм призми з тією ж основою й висотою.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Правильна чотирикутна піраміда за апофемою
У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює $16$ , апофема — $10$ . Знайди висоту, об’єм і площу повної поверхні піраміди.
2.Піраміда з прямокутником в основі
В основі піраміди лежить прямокутник зі сторонами $6$ і $8$ , а всі бічні ребра дорівнюють $13$ . Знайди об’єм піраміди.
3.Правильна трикутна піраміда
У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює $12$ , а висота — $2$ . Знайди апофему й площу бічної поверхні.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 2, завдання 8

Завдання 8. (0–1)

Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють 20 см і 12 см. Обчисліть об’єм (см³) піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 8. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 21

Завдання 21. (0–2)

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по 25 см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см²) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює

500\pi

см².

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 21. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює 3, а висота

H

дорівнює 3. Визначте об’єм цієї піраміди.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–2)

У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 14 см, а бічне ребро — 25 см. Обчисліть площу (см²) бічної поверхні піраміди.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–1)

Основою правильної чотирикутної піраміди є квадрат зі стороною

8\sqrt{2}

см, а бічне ребро дорівнює 17 см. Обчисліть об’єм (см³) піраміди.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–3)

У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 18 см, а апофема — 15 см. Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А–Д).

Величина

Значення

1висота піраміди (см)

2площа бічної поверхні (см²)

3об’єм піраміди (см³)

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Пропустити множник $\dfrac{1}{3}$ в об’ємі. Формула $S_{\text{осн}} \cdot H$ дає об’єм призми, а піраміда втричі менша.
Прийняти апофему або бічне ребро за висоту піраміди. Висота — це перпендикуляр до площини основи, і вона коротша за апофему й за бічне ребро.
Знайти бічну поверхню з бічним ребром замість апофеми: $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l$ . У формулі стоїть апофема, висота бічної грані, а не її сторона.
Переплутати катети в прямокутних трикутниках піраміди. Разом з апофемою працює відстань від центра основи до сторони (половина сторони квадрата), а з бічним ребром — відстань до вершини (половина діагоналі).
Додати до бічної поверхні дві основи. У піраміді основа одна, тому $S ={}$ $S_{\text{б}} + S_{\text{осн}}$ .

Запам’ятай

$V ={}$ $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$ .
$S_{\text{б}} ={}$ $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$ , де $m$ — апофема правильної піраміди.
Повна поверхня піраміди: $S_{\text{б}} + S_{\text{осн}}$ , одна основа.
Висота й апофема працюють з відстанню до сторони, висота й бічне ребро — з відстанню до вершини.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Об’ємні фігури та тілас. 24
Трикутникис. 24
Чотирикутникис. 24
Таблиця квадратів від 10 до 49с. 2

На сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Об’ємні фігури та тіла», є рисунок правильної піраміди з висотою

H

та відрізком

m

і дві формули:

V ={}

\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H

S_{\text{б}} ={}

\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m

. Поруч, у блоках «Чотирикутники» й «Трикутники», є площі основ і теорема Піфагора, а на сторінці 2 — таблиця квадратів чисел від 10 до 49.

Чого немає: формули повної поверхні піраміди (бічна плюс одна основа), формул для відстані від центра правильного многокутника до сторони чи до вершини та готової площі правильного трикутника зі стороною

a

. Їх виводять із теореми Піфагора та формули

S ={}

\dfrac{1}{2} b c \sin\alpha

, яка є в блоці «Трикутники».

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як знайти об’єм піраміди?+
Відп.:Помнож площу основи на висоту й поділи на три: $V ={}$ $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$ . Для основи площею $36$ і висоти $5$ маємо $\dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 ={}$ $60$ . Формула однакова для будь-якої піраміди, бо залежить лише від площі основи й висоти.
2.Що таке апофема піраміди?+
Відп.:Апофема — це висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини піраміди до сторони основи. Усі апофеми правильної піраміди рівні. Апофема, висота піраміди й відстань від центра основи до сторони утворюють прямокутний трикутник, у якому апофема — гіпотенуза.
3.Як знайти площу бічної поверхні правильної піраміди?+
Відп.:Помнож периметр основи на апофему й поділи на два: $S_{\text{б}} ={}$ $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$ . Для сторони основи $8$ і апофеми $5$ правильної чотирикутної піраміди периметр дорівнює $32$ , а бічна поверхня $80$ .
4.Як знайти висоту піраміди, якщо відоме бічне ребро?+
Відп.:Знайди відстань $R$ від центра основи до її вершини і застосуй теорему Піфагора: $H = \sqrt{l^2 - R^2}$ , де $l$ — бічне ребро. Для квадрата ця відстань — половина діагоналі: $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ . Пам’ятай, що це працює, коли всі бічні ребра рівні, бо тоді висота проходить через центр кола, описаного навколо основи.
5.Які формули піраміди є в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:На сторінці 24 у блоці «Об’ємні фігури та тіла»: об’єм правильної піраміди $V ={}$ $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$ і бічна поверхня $S_{\text{б}} ={}$ $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$ . Формули повної поверхні та відстаней усередині основи треба вивести самому.
6.Чи входить піраміда до НМТ щороку?+
Відп.:Так, у 2023–2026 роках піраміда є в кожному році: у завданнях 8, 9 і 21. Це може бути формула об’єму, площа бічної поверхні правильної піраміди або задача з короткою відповіддю, де піраміду поєднано з конусом чи призмою. Тож тренуй і формули, і теорему Піфагора всередині тіла.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Піраміда: об’єм, площа бічної поверхні, апофема і висота

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Назви піраміду й виділи основу

2.Знайди висоту піраміди

3.Вибери формулу

4.Підстав числа й порахуй

5.Перевір відповідь

Приклади

1.Правильна чотирикутна піраміда за апофемою

2.Піраміда з прямокутником в основі

3.Правильна трикутна піраміда

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела