Kleksa

НМТ 2027 · математика

Циліндр, конус і куля: об’єми, площі поверхонь, перерізи

Циліндр, конус і куля — тіла обертання. Кожне описують радіусом, а циліндр і конус ще й висотою; у конуса додається твірна, яку знаходять із теореми Піфагора. На НМТ ці тіла трапляються щороку: то як питання про обертання, то як задача на об’єм чи площу поверхні, то разом із призмою, пірамідою або координатами. Тут зібрано формули, метод, приклади й два справжні завдання УЦОЯО з розв’язаннями.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 4, 5, 8 і 21: від питань про обертання до задач на об’єм і поверхню.

Головне

це треба вміти
  • Циліндр утворюється обертанням прямокутника навколо його сторони, конус — обертанням прямокутного трикутника навколо катета, куля — обертанням круга навколо його діаметра. Поверхня кулі — сфера.
  • Циліндр: V=πR2HV = \pi R^2 H, Sб=2πRHS_{\text{б}} = 2\pi R H, повна поверхня S=S ={}2πRH+2πR2 2\pi R H + 2\pi R^2 (дві основи). Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами 2R2R і HH. Твірна циліндра дорівнює його висоті.
  • Конус: V=V ={}13πR2H \dfrac{1}{3}\pi R^2 H, Sб=πRLS_{\text{б}} = \pi R L, повна поверхня S=πRL+πR2S = \pi R L + \pi R^2 (одна основа). Твірна LL, висота HH і радіус RR пов’язані рівністю L2=R2+H2L^2 = R^2 + H^2. Осьовий переріз — рівнобедрений трикутник з основою 2R2R і бічними сторонами LL.
  • Куля: V=V ={}43πR3 \dfrac{4}{3}\pi R^3, площа сфери S=4πR2S = 4\pi R^2. Об’єм містить R3R^3, а площа — R2R^2, це легко переплутати.
  • Переріз кулі площиною — круг. Якщо відстань від центра кулі до площини дорівнює dd, то радіус перерізу r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2}. Перерізи циліндра й конуса площиною, паралельною основі, — теж круги.
  • Кулі дотикаються зовні, коли відстань між їхніми центрами дорівнює сумі радіусів, а зсередини — коли вона дорівнює різниці радіусів.
RHL

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

  1. 1.З’ясуй тіло і запиши, що відомо

    Визнач, про яке тіло йдеться: циліндр, конус чи куля. Випиши радіус, висоту й твірну, які задано, і познач їх на рисунку. Якщо в умові діаметр, поділи його навпіл.

  2. 2.Знайди бракуючий елемент

    У конуса за двома з трьох величин RR, HH, LL знайди третю за теоремою Піфагора: L2=R2+H2L^2 = R^2 + H^2. Для осьового перерізу виходить прямокутник (циліндр) або рівнобедрений трикутник (конус): його сторони — це 2R2R, HH та LL.

  3. 3.Вибери формулу під запитання

    Об’єм — πR2H\pi R^2 H для циліндра, 13πR2H\dfrac{1}{3}\pi R^2 H для конуса, 43πR3\dfrac{4}{3}\pi R^3 для кулі. Бічна поверхня — 2πRH2\pi R H і πRL\pi R L. Повну поверхню збирай із бічної й основ: у циліндра їх дві, у конуса одна.

  4. 4.Підстав числа й порахуй

    Піднось радіус до квадрата або до куба окремо, і лише тоді множ. Тримай π\pi множником до кінця, а якщо задача просить записати значення виразу Sπ\dfrac{S}{\pi} чи Vπ\dfrac{V}{\pi}, поділи результат на π\pi: з 238π238\pi виходить 238238.

  5. 5.Перевір відповідь

    Твірна конуса довша за його висоту й радіус. Об’єм конуса втричі менший за об’єм циліндра з тією ж основою й висотою. Радіус перерізу кулі менший за радіус кулі.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

  1. 1.Циліндр: об’єм і поверхні

    Радіус основи циліндра дорівнює 77, висота — 1010. Знайди об’єм, площу бічної поверхні та площу повної поверхні циліндра.
    RH

  2. 2.Конус: твірна, об’єм і повна поверхня

    Радіус основи конуса дорівнює 99, висота — 1212. Знайди твірну, об’єм і площу повної поверхні конуса.

  3. 3.Переріз кулі площиною

    Куля радіуса 2929 перетнута площиною, віддаленою від центра на 2020. Знайди радіус перерізу й площу цього перерізу.
    OdrR

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО
Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.
Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 1, завдання 5

Завдання 5. (0–1)

Кулю утворено обертанням

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 5. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО · Розв’язати весь тест безкоштовно

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 21

Завдання 21. (0–2)

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8 см. Визначте площу SS (см²) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу Sπ\dfrac{S}{\pi}.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 21. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу
Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.
НМТ

Завдання 1. (0–1)

На рисунку зображено циліндр, радіус основи якого дорівнює 2, а висота — 7. Визначте об’єм цього циліндра.
27

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–2)

Твірна конуса дорівнює 17 см, а його висота — 15 см. Обчисліть площу SS (см²) бічної поверхні конуса. У відповіді запишіть значення виразу Sπ\dfrac{S}{\pi}.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–1)

Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Обчисліть об’єм конуса.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–3)

Радіус кулі дорівнює 6 см. Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням, поділеним на π\pi (А–Д).

Величина

Значення, поділене на π

1. площа поверхні кулі (см²)
2. об’єм кулі (см³)
3. площа перерізу кулі площиною, віддаленою від центра на 4 см (см²)

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал
  • Підставити в об’єм конуса твірну замість висоти. У формулі V=V ={}13πR2H \dfrac{1}{3}\pi R^2 H стоїть висота, а твірна LL потрібна лише для бічної поверхні πRL\pi R L.
  • Пропустити множник 13\dfrac{1}{3} в об’ємі конуса або поставити його в об’єм циліндра. Циліндр має πR2H\pi R^2 H без дробу.
  • Взяти діаметр за радіус. У задачах з осьовим перерізом сторона перерізу часто дорівнює 2R2R, і тоді радіус — половина.
  • Додати до бічної поверхні циліндра одну основу чи до бічної поверхні конуса дві. У циліндра основ дві, у конуса одна.
  • Переплутати формули кулі: об’єм — 43πR3\dfrac{4}{3}\pi R^3, площа поверхні — 4πR24\pi R^2. Якщо в об’ємі радіус стоїть у квадраті, це формула площі, а не об’єму.

Запам’ятай

  • Циліндр: V=πR2HV = \pi R^2 H, Sб=2πRHS_{\text{б}} = 2\pi R H.
  • Конус: V=V ={}13πR2H \dfrac{1}{3}\pi R^2 H, Sб=πRLS_{\text{б}} = \pi R L, L2=R2+H2L^2 = R^2 + H^2.
  • Куля: V=V ={}43πR3 \dfrac{4}{3}\pi R^3, S=4πR2S = 4\pi R^2.
  • Переріз кулі площиною: r2=R2−d2r^2 = R^2 - d^2. Дві кулі дотикаються зовні, коли відстань між центрами — сума радіусів.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.
  • Об’ємні фігури та тілас. 24
  • Коло, кругс. 24
  • Трикутникис. 24
  • Таблиця квадратів від 10 до 49с. 2
На сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Об’ємні фігури та тіла», є рисунки й формули трьох тіл: циліндр (V=πR2HV = \pi R^2 H, Sб=2πRHS_{\text{б}} = 2\pi R H), конус (V=V ={}13πR2H \dfrac{1}{3}\pi R^2 H, Sб=πRLS_{\text{б}} = \pi R L, на рисунку підписано HH і LL) та куля, сфера (V=V ={}43πR3 \dfrac{4}{3}\pi R^3, S=4πR2S = 4\pi R^2). У блоці «Круг» є площа круга, а в блоці «Трикутники» — теорема Піфагора. На сторінці 2 є таблиця квадратів від 10 до 49.
Чого немає: формул повної поверхні циліндра й конуса (бічна плюс основи), рівності L2=R2+H2L^2 = R^2 + H^2, формули радіуса перерізу кулі r2=R2−d2r^2 = R^2 - d^2, правила дотику куль. Їх виводять із теореми Піфагора й наведених формул.
Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

  1. 1.Які формули циліндра потрібні на НМТ?+
    Відп.:Об’єм V=πR2HV = \pi R^2 H, бічна поверхня Sб=2πRHS_{\text{б}} = 2\pi R H і повна поверхня S=S ={}2πRH+2πR2 2\pi R H + 2\pi R^2. Для радіуса 33 і висоти 55 виходить V=45πV = 45\pi. Перші дві формули є в довідкових матеріалах, повну поверхню збирають із бічної й двох основ.
  2. 2.Як знайти твірну конуса?+
    Відп.:Твірна — гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого — радіус і висота: L=R2+H2L = \sqrt{R^2 + H^2}. Для R=3R = 3 і H=4H = 4 твірна дорівнює 55. Якщо твірну задано, а шукаєш радіус чи висоту, перебудуй цю рівність: R=L2−H2R = \sqrt{L^2 - H^2}.
  3. 3.Як знайти площу бічної поверхні конуса?+
    Відп.:Помнож число π\pi на радіус основи й твірну: Sб=πRLS_{\text{б}} = \pi R L. Формула є в довідкових матеріалах разом із підписом LL на рисунку. Не плутай твірну з висотою: висота перпендикулярна до основи, а твірна лежить на бічній поверхні.
  4. 4.Яка різниця між кулею й сферою?+
    Відп.:Куля — тіло, а сфера — його поверхня. Об’єм має куля: V=V ={}43πR3 \dfrac{4}{3}\pi R^3, а площу має сфера: S=4πR2S = 4\pi R^2. Для радіуса 22 об’єм дорівнює 323π\dfrac{32}{3}\pi, а площа поверхні — 16π16\pi.
  5. 5.Що таке осьовий переріз циліндра та конуса?+
    Відп.:Це переріз площиною, що проходить через вісь тіла. У циліндра він є прямокутником зі сторонами 2R2R і HH, у конуса — рівнобедреним трикутником з основою 2R2R і бічними сторонами, що дорівнюють твірній. Задачі часто дають саме переріз і просять знайти радіус чи висоту.
  6. 6.Які тіла утворює обертання і як це питають на НМТ?+
    Відп.:Обертання прямокутника навколо сторони дає циліндр, прямокутного трикутника навколо катета — конус, круга навколо діаметра — кулю. Таке запитання було в завданні 8 у 2023 році й у завданні 5 у 2026 році; питали й закінчення речення, і яке тіло утворилося. А обертання прямокутного трикутника навколо гіпотенузи дає не конус, а тіло з двох конусів зі спільною основою.
  7. 7.Як тіла обертання трапляються в завданнях НМТ?+
    Відп.:У 2023–2026 роках у восьми опублікованих варіантах їх було десять завдань: питання про обертання (завдання 5 і 8), твірна циліндра на рисунку (завдання 4), а також задачі з короткою відповіддю в завданні 21, де циліндр чи конус часто поєднано з призмою, пірамідою або координатами. Куля з координатами центрів була у завданні 8 у 2025 році.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.