Як знайти об’єм призми?

Помнож площу основи на висоту: $V = S_{\text{осн}} \cdot H$. Для призми на прямокутнику зі сторонами $5$ і $7$ та висотою $4$ виходить $5 \cdot 7 \cdot 4 = 140$. Головне — правильно знайти площу основи, а вона залежить від того, що в основі: прямокутник, ромб чи трикутник.

Чим бічна поверхня відрізняється від повної?

Бічна поверхня — це сума площ усіх бічних граней, у прямій призмі $S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H$. Повна поверхня додає ще обидві основи: $S = S_{\text{б}} + 2S_{\text{осн}}$. У довідкових матеріалах є лише формула бічної поверхні, а повну треба скласти самому.

Як знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда?

Додай квадрати трьох вимірів і добудь корінь: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Для вимірів $2$, $6$ і $9$ діагональ дорівнює $\sqrt{4 + 36 + 81} = 11$. Формулу легко вивести: спочатку діагональ основи за теоремою Піфагора, потім діагональ паралелепіпеда з висотою.

Чим пряма призма відрізняється від правильної?

Пряма призма — це призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основ. Правильна призма — пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник: рівносторонній трикутник, квадрат тощо. Кожна правильна призма пряма, але не навпаки.

Що таке діагональний переріз призми?

Це переріз площиною, що проходить через два бічні ребра, які не лежать в одній грані. У прямій призмі діагональним перерізом є прямокутник: одна його сторона — діагональ основи, інша — висота призми. Саме на ньому побудовано завдання 21 першого варіанта НМТ 2023 року.

Які формули призми є в довідкових матеріалах НМТ?

На сторінці 24 є об’єм прямої призми $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ і площа бічної поверхні $S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H$, а також площі чотирикутників і теорема Піфагора. Діагоналі паралелепіпеда, формул куба і повної поверхні призми там немає.

Яке завдання НМТ про призму?

Призма трапляється в завданні 21 з короткою відповіддю: у 2023, 2024, 2025 і 2026 роках. Її часто поєднують із циліндром, пірамідою чи координатами в просторі, тож для розв’язання знадобиться кілька формул стереометрії одразу. Розв’язуй такі задачі крок за кроком: основа, висота, потім потрібна формула.

НМТ 2027 · математика

Призма і паралелепіпед: об’єм, площа поверхні, діагональ

Призма — це многогранник з двома рівними паралельними основами, а паралелепіпед — призма, в основі якої паралелограм. Усі задачі зводяться до трьох величин: площі основи, периметра основи і висоти. З них знаходять об’єм, бічну та повну поверхню, а діагональ паралелепіпеда виводять із теореми Піфагора. На НМТ призма трапляється в завданні 21 з короткою відповіддю. Тут є формули, метод, приклади та два справжні завдання УЦОЯО з розв’язаннями.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданні 21 з короткою відповіддю, де призму часто поєднують з циліндром, пірамідою або координатами.

Головне

це треба вміти

У прямій призмі бічні ребра перпендикулярні до основ, а бічні грані — прямокутники. Висота $H$ прямої призми дорівнює її бічному ребру. Правильна призма — пряма призма, в основі якої правильний многокутник.
Об’єм призми: $V ={}$ $S_{\text{осн}} \cdot H$ . Площа основи залежить від її виду: для ромба $S ={}$ $\dfrac{1}{2} d_1 d_2$ , для прямокутного трикутника — половина добутку катетів.
Площа бічної поверхні прямої призми: $S_{\text{б}} ={}$ $P_{\text{осн}} \cdot H$ , де $P_{\text{осн}}$ — периметр основи. Площа повної поверхні: $S ={}$ $S_{\text{б}} +{}$ $2S_{\text{осн}}$ , бо в призмі дві основи.
У прямокутного паралелепіпеда з вимірами $a$ , $b$ , $c$ : $V = abc$ , $S = 2(ab + bc + ac)$ , а діагональ $d ={}$ $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . Куб з ребром $a$ — частковий випадок: $V = a^3$ , $S = 6a^2$ , $d = a\sqrt{3}$ .
Діагональний переріз призми проходить через два протилежні бічні ребра. У прямій призмі це прямокутник, одна сторона якого — діагональ основи, а друга — висота призми.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.З’ясуй, яка призма і що в основі
Прочитай, чи призма пряма, і який многокутник лежить в основі: прямокутник, ромб, трикутник. Намалюй основу окремо й познач на ній усі відомі довжини.
2.Знайди площу й периметр основи
За даними основи знайди її площу й периметр. Невідому сторону ромба чи гіпотенузу трикутника шукай за теоремою Піфагора: сторона ромба — гіпотенуза трикутника з півдіагоналями як катетами.
3.Запиши, що спитали
Об’єм — це $S_{\text{осн}} \cdot H$ . Бічна поверхня — $P_{\text{осн}} \cdot H$ . Повна поверхня — бічна плюс дві основи. Для діагоналі паралелепіпеда додай квадрати трьох вимірів.
4.Підстав числа й порахуй
Підстав знайдені площу, периметр і висоту у формулу. Обчислюй крок за кроком і не пропускай другу основу, коли шукаєш повну поверхню.
5.Перевір одиниці й здоровий глузд
Об’єм вимірюють у кубічних одиницях, а площу — у квадратних. Діагональ паралелепіпеда довша за кожен його вимір, а діагональ основи коротша за діагональ паралелепіпеда.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Діагональ і поверхня прямокутного паралелепіпеда
Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють $3$ , $4$ і $12$ . Знайди його діагональ і площу повної поверхні.
2.Призма на прямокутному трикутнику
Основа прямої призми — прямокутний трикутник з катетами $8$ і $15$ , висота призми дорівнює $5$ . Знайди об’єм, площу бічної поверхні та площу повної поверхні.
3.Призма на ромбі
Основа прямої призми — ромб з діагоналями $10$ і $24$ . Висота призми дорівнює $9$ . Знайди об’єм і площу бічної поверхні.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 1, завдання 21

Завдання 21. (0–2)

Основою прямої призми є ромб зі стороною 20. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 58. Визначте об’єм призми, якщо її висота дорівнює 5.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 21. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 2, завдання 21

Завдання 21. (0–2)

На рисунку зображено циліндр і прямокутний паралелепіпед. Діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда. Довжина діагоналі паралелепіпеда дорівнює 39 см, сторони основи паралелепіпеда дорівнюють 9 см і 12 см. Визначте об’єм

V

(см³) циліндра, якщо висота циліндра відноситься до висоти паралелепіпеда як

2 : 3

. У відповіді запишіть значення

\dfrac{V}{\pi}

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 21. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–2)

На рисунку зображено пряму чотирикутну призму й чотирикутну піраміду

SABCD

, основою якої є ромб

ABCD

. Основою призми є прямокутник, більша сторона якого дорівнює 20 см, а менша сторона дорівнює діагоналі

AC

ромба.

BD = 20

см,

SA = SC = 25

см,

SB = SD = 26

см. Визначте об’єм (см³) призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 680 см².

Завдання 21 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед, виміри якого дорівнюють 2, 10 і 11. Визначте довжину діагоналі

d

цього паралелепіпеда.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–3)

Ребро куба дорівнює 5 см. Узгодьте величину (1–3) з її числовим значенням (А–Д).

1площа повної поверхні куба (см²)

2об’єм куба (см³)

3сума довжин усіх ребер куба (см)

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 4. (0–2)

Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 9 і 12 (див. рисунок). Висота призми дорівнює 7. Обчисліть площу повної поверхні призми.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Знайти площу повної поверхні як $P_{\text{осн}} \cdot H$ . Ця формула дає лише бічну поверхню; до неї треба додати дві основи, $2S_{\text{осн}}$ .
Додати виміри замість квадратів: $d = a + b + c$ . Діагональ паралелепіпеда — це $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ , і вона завжди коротша за суму трьох вимірів.
Прийняти діагональ ромба за його сторону. Сторона ромба — гіпотенуза трикутника, катети якого дорівнюють половинам діагоналей.
Переплутати діагональ куба з діагоналлю його грані. Діагональ грані куба з ребром $a$ дорівнює $a\sqrt{2}$ , а діагональ самого куба — $a\sqrt{3}$ .
Записати об’єм у квадратних одиницях або площу в кубічних. Об’єм вимірюють у см³, а площу поверхні — у см²: за одиницями легко помітити помилку у формулі.

Запам’ятай

$V ={}$ $S_{\text{осн}} \cdot H$ для будь-якої призми.
$S_{\text{б}} ={}$ $P_{\text{осн}} \cdot H$ ; повна поверхня — $S_{\text{б}} +{}$ $2S_{\text{осн}}$ .
Паралелепіпед: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ , $S = 2(ab + bc + ac)$ .
Ромб: $S ={}$ $\dfrac{1}{2} d_1 d_2$ ; сторона — гіпотенуза трикутника з півдіагоналями як катетами.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Об’ємні фігури та тілас. 24
Чотирикутникис. 24
Трикутникис. 24
Таблиця квадратів від 10 до 49с. 2

На сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Об’ємні фігури та тіла», є рисунок прямої призми з двома формулами:

V ={}

S_{\text{осн}} \cdot H

S_{\text{б}} ={}

P_{\text{осн}} \cdot H

. У блоці «Чотирикутники» є площі паралелограма, прямокутника, ромба (

S ={}

\dfrac{1}{2} d_1 d_2

) і трапеції, у блоці «Трикутники» — теорема Піфагора. На сторінці 2 є таблиця квадратів від 10 до 49, з якою легко добувати корінь.

Чого немає: формули повної поверхні призми (її збираєш сам: бічна плюс дві основи), діагоналі паралелепіпеда

d ={}

\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

, формул куба, формули сторони ромба через діагоналі та формули діагонального перерізу. Усе це виводять із наведених формул і теореми Піфагора.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як знайти об’єм призми?+
Відп.:Помнож площу основи на висоту: $V ={}$ $S_{\text{осн}} \cdot H$ . Для призми на прямокутнику зі сторонами $5$ і $7$ та висотою $4$ виходить $5 \cdot 7 \cdot 4 ={}$ $140$ . Головне — правильно знайти площу основи, а вона залежить від того, що в основі: прямокутник, ромб чи трикутник.
2.Чим бічна поверхня відрізняється від повної?+
Відп.:Бічна поверхня — це сума площ усіх бічних граней, у прямій призмі $S_{\text{б}} ={}$ $P_{\text{осн}} \cdot H$ . Повна поверхня додає ще обидві основи: $S ={}$ $S_{\text{б}} +{}$ $2S_{\text{осн}}$ . У довідкових матеріалах є лише формула бічної поверхні, а повну треба скласти самому.
3.Як знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда?+
Відп.:Додай квадрати трьох вимірів і добудь корінь: $d ={}$ $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . Для вимірів $2$ , $6$ і $9$ діагональ дорівнює $\sqrt{4 + 36 + 81} = 11$ . Формулу легко вивести: спочатку діагональ основи за теоремою Піфагора, потім діагональ паралелепіпеда з висотою.
4.Чим пряма призма відрізняється від правильної?+
Відп.:Пряма призма — це призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основ. Правильна призма — пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник: рівносторонній трикутник, квадрат тощо. Кожна правильна призма пряма, але не навпаки.
5.Що таке діагональний переріз призми?+
Відп.:Це переріз площиною, що проходить через два бічні ребра, які не лежать в одній грані. У прямій призмі діагональним перерізом є прямокутник: одна його сторона — діагональ основи, інша — висота призми. Саме на ньому побудовано завдання 21 першого варіанта НМТ 2023 року.
6.Які формули призми є в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:На сторінці 24 є об’єм прямої призми $V ={}$ $S_{\text{осн}} \cdot H$ і площа бічної поверхні $S_{\text{б}} ={}$ $P_{\text{осн}} \cdot H$ , а також площі чотирикутників і теорема Піфагора. Діагоналі паралелепіпеда, формул куба і повної поверхні призми там немає.
7.Яке завдання НМТ про призму?+
Відп.:Призма трапляється в завданні 21 з короткою відповіддю: у 2023, 2024, 2025 і 2026 роках. Її часто поєднують із циліндром, пірамідою чи координатами в просторі, тож для розв’язання знадобиться кілька формул стереометрії одразу. Розв’язуй такі задачі крок за кроком: основа, висота, потім потрібна формула.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Призма і паралелепіпед: об’єм, площа поверхні, діагональ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.З’ясуй, яка призма і що в основі

2.Знайди площу й периметр основи

3.Запиши, що спитали

4.Підстав числа й порахуй

5.Перевір одиниці й здоровий глузд

Приклади

1.Діагональ і поверхня прямокутного паралелепіпеда

2.Призма на прямокутному трикутнику

3.Призма на ромбі

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела