Potenz- und Polynomfunktionen: Grad, Verlauf, Nullstellen und Extremstellen
Polynomfunktionen beschreiben Gewinne, Volumina und Bewegungen, Potenzfunktionen Zusammenhänge wie „doppelt so schnell, halb so lang“. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du am Grad und am Vorzeichen des höchsten Koeffizienten den Verlauf eines Graphen erkennst, wie viele Null-, Extrem- und Wendestellen möglich sind, wie Symmetrie und die Parameter der Potenzfunktion wirken und wie du Parameter aus gegebenen Punkten bestimmst.
Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HTL 1: in 7 der 8.
In der Klausur
aus den Katalogen des BMB
Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.
Mathe-Matura (AHS)
FA 3.1verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
FA 3.2aus Tabellen, Graphen und Gleichungen dieser Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können
FA 3.3die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
FA 3.4indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x)=xa (bzw. f(x)=a⋅x−1) beschreiben können
FA 4.1typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
FA 4.2zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
FA 4.3aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
FA 4.4den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der (möglichen) Null-, Extrem- und Wendestellen wissen
Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.
Deskriptor 2.11Polynomgleichungen, Exponentialgleichungen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mittels Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis interpretieren
Deskriptor 3.3Graphen von Potenzfunktionen (y=c⋅xn mit n∈Z,c∈R sowie y=x) skizzieren, ihre Definitions- und Wertemenge angeben können, ihre Eigenschaften (Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihrer Graphen interpretieren und damit argumentieren
Deskriptor 3.4Null-, Extrem- und Wendestellen sowie das Monotonieverhalten bei Polynomfunktionen bestimmen, interpretieren und damit argumentieren, zugehörige Graphen skizzieren; bei Polynomfunktionen 2. Grades vom Typ f(x)=a⋅x2+b mit a,b∈R die Parameter interpretieren und damit argumentieren
Deskriptor 3.7die Nullstellen einer Funktion gegebenenfalls mittels Technologieeinsatz bestimmen und als Lösungen einer Gleichung interpretieren
Deskriptor 3.8Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mittels Technologieeinsatz bestimmen und diese im Kontext interpretieren
Deskriptor 3.9anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen (lineare Funktion, Polynomfunktion bis zum Grad 3 und Exponentialfunktion) modellieren
B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a,b und c bei a⋅f(x+b)+c verstehen und anwenden, wenn f eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
B_T1_3.3Polynomfunktionen zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden, mittels Technologieeinsatz Berechnungen durchführen, interpretieren und damit argumentieren
B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a,b und c bei a⋅f(x+b)+c verstehen und anwenden, wenn f eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
B_T2_3.3die in B_T_3.2 genannten Funktionen, Polynomfunktionen sowie die Funktionen mit den Gleichungen y=a⋅sin(b⋅x+c)+d und y=a⋅cos(b⋅x)+d zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden, zugehörige Rechnungen mittels Technologieeinsatz durchführen; im Kontext interpretieren und argumentieren
B_P_3.1bei anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mithilfe von Polynomfunktionen bis zum Grad 4 modellieren, diese Aufgabenstellungen lösen, Sachverhalte grafisch darstellen und Zusammenhänge beschreiben
B_P_4.1bei anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mithilfe von Polynomfunktionen bis zum Grad 4 modellieren („Umkehraufgaben“)
Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.
Das Wichtigste
was du wissen musst
Eine Polynomfunktion vom Grad n hat die Form f(x)=an⋅xn+an−1⋅xn−1+…+a1⋅x+a0 mit an=0. Der Grad ist der höchste vorkommende Exponent, an heißt Leitkoeffizient. Grad 1 ist eine lineare, Grad 2 eine quadratische Funktion. Konkrete Aufgaben im Grundkompetenzenkatalog der AHS beschränken sich auf n≤4.
Der Verlauf an den Enden hängt von Grad und Leitkoeffizient ab. Bei geradem Grad zeigen beide Enden des Graphen in dieselbe Richtung, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte. Deshalb hat jede Polynomfunktion von ungeradem Grad mindestens eine Nullstelle.
Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, höchstens n−1 Extremstellen und höchstens n−2 Wendestellen. Dieser Zusammenhang (FA 4.4) gilt für beliebiges n.
Eine Potenzfunktion hat die Form f(x)=a⋅xz+b mit ganzzahligem z=0 oder z=21, also x. Der Parameter a streckt, staucht oder spiegelt den Graphen, b verschiebt ihn in senkrechter Richtung. Bei geradem z ist der Graph symmetrisch zur senkrechten Achse, bei ungeradem z punktsymmetrisch zum Punkt (0∣b), für b=0 also zum Ursprung. Für z<0 hat die Funktion bei 0 eine Polstelle.
Die indirekte Proportionalitätf(x)=xa (auch a⋅x−1) beschreibt Zusammenhänge mit konstantem Produkt x⋅f(x)=a: Verdoppelst du x, halbiert sich f(x). Die direkte Proportionalität f(x)=a⋅x ist dagegen eine lineare Funktion.
Funktions- und Argumentwerte entnimmst du Tabellen und Graphen oder berechnest sie. Gleichungen höheren Grades löst du mit Technologie; bei quadratischen Funktionen auch ohne. Die Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten stehen in der Formelsammlung des BMB in Kapitel 3 (Seiten 3 und 4).
Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.
Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.
So gehst du vor
Schritt für Schritt
1.Grad und Leitkoeffizient bestimmen
Lies den höchsten Exponenten und das Vorzeichen seines Koeffizienten ab. Daraus folgen der Verlauf an den Enden und die Höchstzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen.
2.Symmetrie und Besonderheiten prüfen
Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph symmetrisch zur senkrechten Achse; kommen nur ungerade vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Ein Bruch mit x im Nenner bedeutet eine Polstelle.
3.Den Ansatz wählen
Sind Nullstellen bekannt, nimmst du Linearfaktoren: a⋅(x−x1)⋅(x−x2)⋅…. Bei Symmetrie genügen die passenden Potenzen, etwa a⋅x4+b⋅x2+c.
4.Bedingungen einsetzen
Jeder bekannte Punkt, jede Nullstelle und jede Extremstelle liefert eine Gleichung. Bei einer Extremstelle ist die Ableitung dort null. Zähle, ob du so viele Gleichungen wie Parameter hast.
5.Rechnen, mit Technologie dokumentiert
Gleichungen höheren Grades löst du mit deiner Technologie. Halte fest, welche Funktion du mit welchen Eingaben verwendet hast, und gib die Gleichung an, die du gelöst hast.
6.Im Kontext deuten
Prüfe, welche Lösungen im betrachteten Bereich liegen, und deute Null-, Extrem- und Wendestellen im Sachzusammenhang. Außerhalb des Bereichs, für den das Modell gilt, passt eine Polynomfunktion meist nicht mehr.
Beispiele
Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.
1.Wie viele Null-, Extrem- und Wendestellen?
Gegeben ist f(x)=x3−3⋅x2−9⋅x. Gib an, wie viele Null-, Extrem- und Wendestellen eine Polynomfunktion 3. Grades höchstens hat, und prüfe, wie viele f tatsächlich hat.
Nullstellen: Aus x⋅(x2−3⋅x−9)=0 folgt x=0 oder x=23±45, also x≈4,85 und x≈−1,85. Es sind drei Nullstellen.
Höchstens möglich sind beim Grad 3 also 3 Nullstellen, 2 Extremstellen und 1 Wendestelle.
Extremstellen: f′(x)=3⋅x2−6⋅x−9=3⋅(x−3)⋅(x+1) ist an den Stellen −1 und 3 null und wechselt dort das Vorzeichen. Das sind 2 Extremstellen, so viele wie möglich.
Wendestelle: f′′(x)=6⋅x−6 ist nur an der Stelle 1 null. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat immer genau eine Wendestelle.
Antwort: f hat die Nullstellen 0, rund 4,85 und rund −1,85, die Extremstellen −1 und 3 und die Wendestelle 1. Wie du daraus Hoch-, Tief- und Wendepunkte bestimmst, zeigt die Seite zur Kurvendiskussion.
2.Indirekte Proportionalität
Eine Strecke wird mit konstanter Geschwindigkeit gefahren. Bei 80 km/h dauert die Fahrt 3,5 Stunden. Gib die Dauer t in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v an, berechne die Dauer bei 100 km/h und die Geschwindigkeit, mit der die Fahrt 2 Stunden dauert.
Das Produkt v⋅t ist die Strecke und bleibt gleich: 80⋅3,5=280 (in km). Also gilt t(v)=v280.
Bei 100 km/h: t(100)=100280=2,8.
Aus v280=2 folgt v=140.
Antwort: t(v)=v280; bei 100 km/h dauert die Fahrt 2,8 Stunden, für 2 Stunden braucht man 140 km/h. Doppelte Geschwindigkeit halbiert die Dauer.
3.Eine symmetrische Polynomfunktion 4. Grades
Eine Polynomfunktion f vom Grad 4 ist symmetrisch zur senkrechten Achse. Es gilt f(0)=2, und der Graph verläuft durch die Punkte (1∣0) und (2∣6). Bestimme die Funktionsgleichung.
Wegen der Symmetrie kommen nur gerade Exponenten vor: f(x)=a⋅x4+b⋅x2+c. Aus f(0)=2 folgt c=2.
Aus f(1)=0 folgt a+b+2=0, also a+b=−2. Aus f(2)=6 folgt 16⋅a+4⋅b+2=6, also 4⋅a+b=1.
Die Differenz der beiden Gleichungen gibt 3⋅a=3, also a=1 und b=−3.
Probe: f(2)=16−12+2=6.
Antwort: f(x)=x4−3⋅x2+2.
4.Ein Volumen als Polynomfunktion, mit Technologie
Aus einem quadratischen Karton mit 30 cm Seitenlänge werden an den Ecken Quadrate mit der Seitenlänge x ausgeschnitten, der Rest wird zu einer offenen Schachtel gefaltet. Das Volumen in cm³ ist V(x)=x⋅(30−2⋅x)2 mit 0<x<15. Berechne V(4) und löse mit Technologie V(x)=1500.
V(4)=4⋅222=1936.
Ausmultiplizieren ergibt eine Polynomfunktion 3. Grades, V(x) ist die Summe von 4⋅x3,−120⋅x2 und 900⋅x. Mit Technologie dokumentiert: Gleichung V(x)=1500 lösen, Intervall 0<x<15.
Die Lösungen sind x≈2,34 und x≈8,26. Eine dritte Lösung liegt bei x≈19,40, außerhalb des Intervalls, und gilt daher nicht.
Antwort: V(4)=1936 cm³; das Volumen von 1 500 cm³ erreicht die Schachtel bei Ausschnitten von rund 2,34 cm und rund 8,26 cm.
Eine Aufgabe aus der Zentralmatura
eine echte Maturaaufgabe
So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.
ZentralmaturaAHS
Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)
Aufgabe 9.
Potenzfunktionen
In der unten stehenden Abbildung sind die Graphen der Potenzfunktionen f und g dargestellt.
Es gilt:
f(x)=a⋅x4+b mit a∈Z∖{0} und b∈Zg(x)=c⋅x3+d mit c∈Z∖{0} und d∈ZErgänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)
Für die Parameter der Funktionen f und g gilt und .
Aus der Abbildung liest du f(0)=1 und g(0)=0 ab. Mit f(0)=b und g(0)=d folgt b=1 und d=0, also b=d+1.
Beide Graphen schneiden einander im Punkt (−1∣−1). Aus f(−1)=a+b=−1 folgt a=−2, und aus g(−1)=−c+d=−1 folgt c=1.
Daher gilt a=−2⋅c.
Folgerung: Lücke 1: A, Lücke 2: B.
Je nach Schulform und Cluster
AHS, Teil A, Teil B
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, steht das Thema in mehreren Deskriptoren: Du sollst Polynomgleichungen mit Technologieeinsatz lösen (Deskriptor 2.11), Graphen von Potenzfunktionen skizzieren und ihre Eigenschaften wie Symmetrie, Polstelle und asymptotisches Verhalten deuten (Deskriptor 3.3), bei Polynomfunktionen Null-, Extrem- und Wendestellen sowie das Monotonieverhalten bestimmen (Deskriptor 3.4), Nullstellen und Schnittpunkte zweier Graphen bestimmen (Deskriptoren 3.7 und 3.8) und Problemstellungen mit Polynomfunktionen bis zum Grad 3 modellieren (Deskriptor 3.9). Schreib den Rechenansatz auf, auch wenn du die Gleichung mit Technologie löst.
Angewandte Mathematik (HTL 1)
In Teil B der HTL 1 (B_T1_3.3) und der HTL 2 (B_T2_3.3) verlangt der Katalog, Polynomfunktionen zur anwendungsbezogenen Modellierung zu verwenden, Berechnungen mittels Technologieeinsatz durchzuführen, im Kontext zu interpretieren und damit zu argumentieren. Die Potenzfunktion steht in beiden Clustern in B_T_3.2 neben anderen Funktionstypen. Bei HTL 2 nennt dieselbe Zeile zusätzlich die Funktionen a⋅sin(b⋅x+c)+d und a⋅cos(b⋅x)+d.
Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)
Im Cluster P (BAfEP, BASOP, BRP) steht die Polynomfunktion in B_P_3.1 und B_P_4.1: Du sollst anwendungsbezogene Aufgaben mit Polynomfunktionen bis zum Grad 4 modellieren und lösen, Sachverhalte grafisch darstellen und Zusammenhänge beschreiben. Unter „Umkehraufgaben“ sind Aufgaben zu verstehen, bei denen aus Eigenschaften wie Nullstellen oder Extremstellen die Funktion aufgestellt wird. Ein Beispiel dafür ist das dritte Beispiel dieser Seite.
Teste dich selbst
gleich auswerten
Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.
AHS
Aufgabe 1.
Eine Polynomfunktion f hat den Grad 6 und einen positiven Leitkoeffizienten. Welche Aussage trifft auf jeden Fall zu?
Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.
AHS
Aufgabe 2.
Für x>0 ist die Funktion f(x)=x12 gegeben. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.
Wähle höchstens 2
Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.
Cluster P
Aufgabe 3.
Der Graph der Polynomfunktion f mit f(x)=a⋅x3+2⋅x verläuft durch den Punkt (2∣20). Berechne a.
Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.
HTL 1
Aufgabe 4.
Gegeben ist f(x)=0,2⋅x3−1,5⋅x2+4. Berechne mit Technologie die kleinste positive Nullstelle von f. Runde auf zwei Nachkommastellen.
Den Grad mit der Anzahl der Nullstellen gleichsetzen. Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen; x2+1 hat keine, x3 nur eine.
Bei der Potenzfunktion mit negativem Exponenten die Polstelle übersehen. f(x)=x12 ist an der Stelle 0 nicht definiert; der Definitionsbereich ist R∖{0}.
Aus einem einzigen Punkt auf Symmetrie schließen. Symmetrie zur senkrechten Achse heißt f(−x)=f(x) für alle x, nicht nur für einen.
Eine doppelte Nullstelle für zwei verschiedene halten oder übersehen. Bei x⋅(x−3)2 berührt der Graph die waagrechte Achse an der Stelle 3, ohne sie zu schneiden.
Extremstelle und Extremwert verwechseln. Die Extremstelle ist das x mit f′(x)=0, der Extremwert ist der Funktionswert dort.
Merk dir
Grad n: höchstens n Nullstellen, n−1 Extremstellen, n−2 Wendestellen.
Gerader Grad: Die Enden zeigen in dieselbe Richtung; ungerader Grad: in entgegengesetzte.
Ungerader Grad: mindestens eine Nullstelle.
Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph symmetrisch zur senkrechten Achse, bei nur ungeraden punktsymmetrisch zum Ursprung.
Indirekte Proportionalität: x⋅f(x)=a ist konstant.
Technologie dokumentieren: Funktion und Eingaben nennen.
Häufige Fragen
1.Wie erkenne ich den Grad aus dem Graphen?+
Antwort:Zähle die Extremstellen: Der Grad ist mindestens um 1 größer. Siehst du zwei Extremstellen, ist der Grad mindestens 3. Dazu kommt der Verlauf an den Enden: Zeigen beide nach oben oder beide nach unten, ist der Grad gerade, zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, ist er ungerade. Aus dem Graphen allein kannst du den Grad nie ganz sicher bestimmen, nur eingrenzen.
2.Wie viele Null-, Extrem- und Wendestellen kann eine Polynomfunktion haben?+
Antwort:Vom Grad n hat sie höchstens n Nullstellen, höchstens n−1 Extremstellen und höchstens n−2 Wendestellen. Das sind Obergrenzen, keine festen Zahlen: Eine Funktion 4. Grades hat vielleicht nur eine Extremstelle, wie x4. Bei ungeradem Grad gibt es mindestens eine Nullstelle, bei Grad 3 genau eine Wendestelle.
3.Woran erkenne ich die Symmetrie einer Polynomfunktion?+
Antwort:Kommen in der Funktionsgleichung nur gerade Exponenten vor, etwa x4,x2 und eine Konstante, ist der Graph symmetrisch zur senkrechten Achse; man spricht von einer geraden Funktion. Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, es ist eine ungerade Funktion. Kommen gerade und ungerade Exponenten vor, hat der Graph keine dieser beiden Symmetrien.
4.Was ist der Unterschied zwischen direkter und indirekter Proportionalität?+
Antwort:Bei der direkten Proportionalität f(x)=k⋅x ist der Quotient xf(x) konstant: Doppeltes Argument heißt doppelter Funktionswert. Bei der indirekten Proportionalität f(x)=xa ist das Produkt x⋅f(x) konstant: Doppeltes Argument heißt halber Funktionswert. Die erste ist eine lineare Funktion, die zweite eine Potenzfunktion mit Exponent −1.
5.Wie löse ich eine Gleichung 3. oder 4. Grades?+
Antwort:Mit deiner Technologie: Du gibst die Gleichung oder die Funktion ein und lässt die Lösungen berechnen. Schreib in der Bearbeitung auf, welche Gleichung du gelöst hast und in welchem Bereich du gesucht hast. Ohne Technologie hilft Herausheben, etwa x⋅(x2−3⋅x−9)=0, oder bei geraden Funktionen eine Substitution u=x2.
6.Was bedeutet eine doppelte Nullstelle?+
Antwort:Der Funktionsterm enthält den Linearfaktor zweimal, etwa (x−3)2. Der Graph berührt die waagrechte Achse an dieser Stelle nur und wechselt das Vorzeichen nicht. Dort liegt zugleich eine Extremstelle: Die Ableitung ist null, und der Graph kehrt um. Eine Funktion 3. Grades kann so zwei verschiedene Nullstellen haben, von denen eine doppelt zählt.